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10. 一种香皂的包装盒的规格如图所示。厂家要把一批这样的香皂运往外地，包装箱长 45 cm，高 15 cm，宽 30 cm，一个包装箱内最多能装多少盒香皂？
答案
10.$(45÷9)×(30÷6)×(15÷3)=5×5×5=125$(盒)
解析
【分析】
要计算包装箱最多能装多少盒香皂，核心是最大化利用包装箱的空间。首先要找到包装箱的长、宽、高分别对应适配香皂盒的边长，分别用包装箱的各条边长度除以香皂盒对应的边长，就能得到每个方向可以摆放的香皂盒数量，最后将三个方向的数量相乘，就能得到总装盒数量，本题中包装箱的长宽高刚好能分别被香皂盒的长宽高整除，没有空间浪费，此时计算出的就是最多可装的数量。
【解析】
第一步：计算包装箱长的方向可放香皂盒数量：包装箱长45cm，香皂盒长9cm，可放 $ 45÷9=5 $（盒）
第二步：计算包装箱宽的方向可放香皂盒数量：包装箱宽30cm，香皂盒宽6cm，可放 $ 30÷6=5 $（盒）
第三步：计算包装箱高的方向可放香皂盒数量：包装箱高15cm，香皂盒高3cm，可放 $ 15÷3=5 $（盒）
第四步：计算总数量：$ 5×5×5=125 $（盒）
【答案】
125盒
【知识点】
整数除法应用、长方体装箱问题、整数连乘计算
【点评】
这是一道结合生活实际的应用题，解题关键是明确要最大化利用空间，需让包装箱各边适配香皂盒的边长，分别计算单方向可放数量后相乘即可得到结果，解题思路清晰，属于生活中常见的实际应用类题型。
【难度系数】
0.8
要计算包装箱最多能装多少盒香皂，核心是最大化利用包装箱的空间。首先要找到包装箱的长、宽、高分别对应适配香皂盒的边长，分别用包装箱的各条边长度除以香皂盒对应的边长，就能得到每个方向可以摆放的香皂盒数量，最后将三个方向的数量相乘，就能得到总装盒数量，本题中包装箱的长宽高刚好能分别被香皂盒的长宽高整除，没有空间浪费，此时计算出的就是最多可装的数量。
【解析】
第一步：计算包装箱长的方向可放香皂盒数量：包装箱长45cm，香皂盒长9cm，可放 $ 45÷9=5 $（盒）
第二步：计算包装箱宽的方向可放香皂盒数量：包装箱宽30cm，香皂盒宽6cm，可放 $ 30÷6=5 $（盒）
第三步：计算包装箱高的方向可放香皂盒数量：包装箱高15cm，香皂盒高3cm，可放 $ 15÷3=5 $（盒）
第四步：计算总数量：$ 5×5×5=125 $（盒）
【答案】
125盒
【知识点】
整数除法应用、长方体装箱问题、整数连乘计算
【点评】
这是一道结合生活实际的应用题，解题关键是明确要最大化利用空间，需让包装箱各边适配香皂盒的边长，分别计算单方向可放数量后相乘即可得到结果，解题思路清晰，属于生活中常见的实际应用类题型。
【难度系数】
0.8
11.“六一”才艺表演设一、二、三等奖。一、二等奖获奖人数占获奖总人数的$\frac{3}{7}$，二、三等奖获奖人数占获奖总人数的$\frac{4}{5}$。二等奖获奖人数占获奖总人数的几分之几？
答案
11.$\frac{3}{7}+\frac{4}{5}-1=\frac{8}{35}$
解析
【分析】
我们可以把获奖总人数看作单位“1”。已知一、二等奖的获奖人数占比、二三等奖的获奖人数占比，把这两个占比相加时，二等奖的占比会被重复计算1次，得到的和就等于总人数的占比（也就是单位“1”）加上二等奖的占比，因此用两个占比的和减去单位“1”，就能求出二等奖获奖人数的占比。
【解析】
把获奖总人数看作单位“1”：
$\frac{3}{7}+\frac{4}{5}-1$
$=\frac{15}{35}+\frac{28}{35}-\frac{35}{35}$
$=\frac{43}{35}-\frac{35}{35}$
$=\frac{8}{35}$
【答案】
$\frac{8}{35}$
【知识点】
分数加减运算，单位“1”应用，重叠问题求解
【点评】
这道题是分数加减法的典型应用题型，解题核心是找准单位“1”，理解两个部分占比相加后，重复计算的部分就是二等奖的占比，计算时要注意异分母分数加减先通分，保证计算结果准确。
【难度系数】
0.7
我们可以把获奖总人数看作单位“1”。已知一、二等奖的获奖人数占比、二三等奖的获奖人数占比，把这两个占比相加时，二等奖的占比会被重复计算1次，得到的和就等于总人数的占比（也就是单位“1”）加上二等奖的占比，因此用两个占比的和减去单位“1”，就能求出二等奖获奖人数的占比。
【解析】
把获奖总人数看作单位“1”：
$\frac{3}{7}+\frac{4}{5}-1$
$=\frac{15}{35}+\frac{28}{35}-\frac{35}{35}$
$=\frac{43}{35}-\frac{35}{35}$
$=\frac{8}{35}$
【答案】
$\frac{8}{35}$
【知识点】
分数加减运算，单位“1”应用，重叠问题求解
【点评】
这道题是分数加减法的典型应用题型，解题核心是找准单位“1”，理解两个部分占比相加后，重复计算的部分就是二等奖的占比，计算时要注意异分母分数加减先通分，保证计算结果准确。
【难度系数】
0.7
12.一个长方体木块，长5 dm，宽4 dm，高3 dm，先在它的六个面上都涂上黄色，然后把它锯成棱长都是1 dm的小正方体木块。在锯成的小正方体木块中，多少块三面有黄色？两面、一面有黄色的各有多少块？六个面都没有黄色的有多少块？
答案
12.$(5-2)×4+(4-2)×4+(3-2)×4=24$(块)
$(5-2)×(4-2)×2+(5-2)×(3-2)×2+(4-2)×(3-2)×2=12+6+4=22$(块)
$5×4×3-8-24-22=6$(块)
$(5-2)×(4-2)×2+(5-2)×(3-2)×2+(4-2)×(3-2)×2=12+6+4=22$(块)
$5×4×3-8-24-22=6$(块)
解析
【分析】
解题时首先明确不同涂色情况的小正方体在原长方体上的位置：1. 三面涂黄色的小正方体仅在长方体的顶点处，长方体共有8个顶点，可直接得到数量；2. 两面涂黄色的小正方体在各条棱上，需去掉两端顶点处的三面涂色块，长方体12条棱中长、宽、高方向各有4条，分别计算每条棱上符合要求的块数再求和即可；3. 一面涂黄色的小正方体在每个面的中间区域，要去掉面四周靠近棱的部分，长方体相对的面完全相同，分别计算每组对面的符合要求的块数再求和；4. 六个面都没有涂色的块数，用总小正方体数量减去前三类的数量即可，总数量等于长方体长×宽×高。
【解析】
首先计算小正方体总块数：$5×4×3=60$（块）
1. 三面有黄色的小正方体：仅长方体8个顶点处的小正方体三面接触原表面，共8块。
2. 两面有黄色的小正方体：
每条棱上去掉两端顶点的块数后，长方向每条棱有$5-2=3$块，共4条长棱；宽方向每条棱有$4-2=2$块，共4条宽棱；高方向每条棱有$3-2=1$块，共4条高棱。
综合算式：$(5-2)×4+(4-2)×4+(3-2)×4=12+8+4=24$（块）
3. 一面有黄色的小正方体：
每个面上去掉周边棱上的块数后，长×宽的面每面有$(5-2)×(4-2)$块，共2个；长×高的面每面有$(5-2)×(3-2)$块，共2个；宽×高的面每面有$(4-2)×(3-2)$块，共2个。
综合算式：$(5-2)×(4-2)×2+(5-2)×(3-2)×2+(4-2)×(3-2)×2=12+6+4=22$（块）
4. 六个面都没有黄色的小正方体：
用总块数减去前三类的数量：$60-8-24-22=6$（块）
【答案】
三面有黄色的有8块，两面有黄色的有24块，一面有黄色的有22块，六个面都没有黄色的有6块。
【知识点】
长方体的特征；涂色方块计数；立体图形切分
【点评】
本题解题关键是明确不同涂色情况的小正方体对应的位置，结合长方体顶点、棱、面的特征分类计算即可，计算时要注意计数规则，避免重复或漏算。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确不同涂色情况的小正方体在原长方体上的位置：1. 三面涂黄色的小正方体仅在长方体的顶点处，长方体共有8个顶点，可直接得到数量；2. 两面涂黄色的小正方体在各条棱上，需去掉两端顶点处的三面涂色块，长方体12条棱中长、宽、高方向各有4条，分别计算每条棱上符合要求的块数再求和即可；3. 一面涂黄色的小正方体在每个面的中间区域，要去掉面四周靠近棱的部分，长方体相对的面完全相同，分别计算每组对面的符合要求的块数再求和；4. 六个面都没有涂色的块数，用总小正方体数量减去前三类的数量即可，总数量等于长方体长×宽×高。
【解析】
首先计算小正方体总块数：$5×4×3=60$（块）
1. 三面有黄色的小正方体：仅长方体8个顶点处的小正方体三面接触原表面，共8块。
2. 两面有黄色的小正方体：
每条棱上去掉两端顶点的块数后，长方向每条棱有$5-2=3$块，共4条长棱；宽方向每条棱有$4-2=2$块，共4条宽棱；高方向每条棱有$3-2=1$块，共4条高棱。
综合算式：$(5-2)×4+(4-2)×4+(3-2)×4=12+8+4=24$（块）
3. 一面有黄色的小正方体：
每个面上去掉周边棱上的块数后，长×宽的面每面有$(5-2)×(4-2)$块，共2个；长×高的面每面有$(5-2)×(3-2)$块，共2个；宽×高的面每面有$(4-2)×(3-2)$块，共2个。
综合算式：$(5-2)×(4-2)×2+(5-2)×(3-2)×2+(4-2)×(3-2)×2=12+6+4=22$（块）
4. 六个面都没有黄色的小正方体：
用总块数减去前三类的数量：$60-8-24-22=6$（块）
【答案】
三面有黄色的有8块，两面有黄色的有24块，一面有黄色的有22块，六个面都没有黄色的有6块。
【知识点】
长方体的特征；涂色方块计数；立体图形切分
【点评】
本题解题关键是明确不同涂色情况的小正方体对应的位置，结合长方体顶点、棱、面的特征分类计算即可，计算时要注意计数规则，避免重复或漏算。
【难度系数】
0.6
