登录
9.如图7,已知∠1=∠2,∠A=∠D,则下列推理正确的是（
A.∵∠1=∠2,∴AB//CD
B.∵∠1=∠2,∴BE//CF
C.∵∠A=∠D,∴AB//CD
D.∵∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠3=∠4
图7 图8
C
）A.∵∠1=∠2,∴AB//CD
B.∵∠1=∠2,∴BE//CF
C.∵∠A=∠D,∴AB//CD
D.∵∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠3=∠4
图7 图8
答案
9.C
解析
【分析】
解题时先回忆平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。再逐一分析每个选项中给出的相等角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，判断是否符合平行线的判定条件，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的内错角或同位角，因此由∠1=∠2无法推出AB//CD，该选项错误；
B选项：∠1和∠2不是直线BE、CF被第三条直线所截形成的内错角或同位角，因此由∠1=∠2无法推出BE//CF，该选项错误；
C选项：∠A和∠D是直线AB、CD被直线AD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，由∠A=∠D可推出AB//CD，该选项正确；
D选项：仅已知∠1=∠2，没有条件能证明∠1、∠2和∠3、∠4相等，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题的关键是准确识别相等的角对应的被截直线与截线，不要混淆角的位置关系，否则容易错选干扰选项。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行。再逐一分析每个选项中给出的相等角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，判断是否符合平行线的判定条件，排除错误选项后即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：∠1和∠2不是直线AB、CD被第三条直线所截形成的内错角或同位角，因此由∠1=∠2无法推出AB//CD，该选项错误；
B选项：∠1和∠2不是直线BE、CF被第三条直线所截形成的内错角或同位角，因此由∠1=∠2无法推出BE//CF，该选项错误；
C选项：∠A和∠D是直线AB、CD被直线AD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，由∠A=∠D可推出AB//CD，该选项正确；
D选项：仅已知∠1=∠2，没有条件能证明∠1、∠2和∠3、∠4相等，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；内错角的识别
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题，解题的关键是准确识别相等的角对应的被截直线与截线，不要混淆角的位置关系，否则容易错选干扰选项。
【难度系数】
0.7
10.如图8，已知$DE// BC$，$EF// AB$，则图中和$∠ B$相等的角(不包括$∠ B$)有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10.C
解析
【分析】
解题时可依据平行线的性质逐步推导和∠B相等的角：首先回忆平行线的核心性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等。先根据DE//BC找出第一组和∠B相等的角，再根据EF//AB找出第二组和∠B相等的角，最后通过等量代换找出间接和∠B相等的角，统计时排除∠B本身即可。
【解析】
1. 已知$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ADE = ∠ B$；
2. 已知$EF// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ EFC = ∠ B$；
3. 又因为$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DEF = ∠ EFC$，结合$∠ EFC = ∠ B$，等量代换得$∠ DEF = ∠ B$。
综上，和∠B相等且不包括∠B本身的角有$∠ ADE$、$∠ EFC$、$∠ DEF$，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等量代换；同位角与内错角
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用类题目，解题时要按逻辑顺序逐一找角，避免漏数或多数，熟练掌握平行线的性质是得分的关键。
【难度系数】
0.7
解题时可依据平行线的性质逐步推导和∠B相等的角：首先回忆平行线的核心性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等。先根据DE//BC找出第一组和∠B相等的角，再根据EF//AB找出第二组和∠B相等的角，最后通过等量代换找出间接和∠B相等的角，统计时排除∠B本身即可。
【解析】
1. 已知$DE// BC$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ ADE = ∠ B$；
2. 已知$EF// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ EFC = ∠ B$；
3. 又因为$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ DEF = ∠ EFC$，结合$∠ EFC = ∠ B$，等量代换得$∠ DEF = ∠ B$。
综上，和∠B相等且不包括∠B本身的角有$∠ ADE$、$∠ EFC$、$∠ DEF$，共3个，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等量代换；同位角与内错角
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用类题目，解题时要按逻辑顺序逐一找角，避免漏数或多数，熟练掌握平行线的性质是得分的关键。
【难度系数】
0.7
11. 如图9，下列条件中，能判定$AB// CE$的是（
A.$∠ B=∠ ACE$
B.$∠ A=∠ ECD$
C.$∠ B=∠ ACB$
D.$∠ A=∠ ACE$
D
）A.$∠ B=∠ ACE$
B.$∠ A=∠ ECD$
C.$∠ B=∠ ACB$
D.$∠ A=∠ ACE$
答案
11.D
解析
【分析】
要判定$AB// CE$，需结合平行线的判定定理分析：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，均可判定两直线平行。解题时先找到$AB$、$CE$被同一条直线所截形成的角，再判断各选项中角的关系是否符合判定定理即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $∠ B$和$∠ ACE$不是$AB$、$CE$被同一直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角，无法判定$AB// CE$，该选项错误；
B. $∠ A$和$∠ ECD$不是$AB$、$CE$被同一直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角，无法判定$AB// CE$，该选项错误；
C. $∠ B$和$∠ ACB$是$△ ABC$的内角，仅与直线$AB$、$BC$、$AC$相关，和$CE$无关联，无法判定$AB// CE$，该选项错误；
D. $∠ A$和$∠ ACE$是直线$AB$、$CE$被直线$AC$所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CE$，该选项正确。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 平行线的判定 2. 内错角的识别
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题型，解题核心是准确识别两条直线被第三条直线所截形成的特殊位置角，再结合平行线的判定定理判断即可。
【难度系数】
0.8
要判定$AB// CE$，需结合平行线的判定定理分析：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，均可判定两直线平行。解题时先找到$AB$、$CE$被同一条直线所截形成的角，再判断各选项中角的关系是否符合判定定理即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. $∠ B$和$∠ ACE$不是$AB$、$CE$被同一直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角，无法判定$AB// CE$，该选项错误；
B. $∠ A$和$∠ ECD$不是$AB$、$CE$被同一直线所截形成的同位角、内错角或同旁内角，无法判定$AB// CE$，该选项错误；
C. $∠ B$和$∠ ACB$是$△ ABC$的内角，仅与直线$AB$、$BC$、$AC$相关，和$CE$无关联，无法判定$AB// CE$，该选项错误；
D. $∠ A$和$∠ ACE$是直线$AB$、$CE$被直线$AC$所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定$AB// CE$，该选项正确。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
1. 平行线的判定 2. 内错角的识别
【点评】
本题是平行线判定的基础应用题型，解题核心是准确识别两条直线被第三条直线所截形成的特殊位置角，再结合平行线的判定定理判断即可。
【难度系数】
0.8
12.如图10，已知$AB// EF$，$BC// DE$，则$∠ E+∠ B$的度数为
180°
。答案
12.180°
解析
【分析】
解题时先结合已知的两组平行线，运用平行线的性质推导角的等量关系：首先AB和EF平行，BC是截线，可得到∠B与内错角∠BFG相等；其次BC和DE平行，EG是截线，可得到∠E与同位角∠GFC相等；最后结合∠BFG和∠GFC组成平角，和为180°，通过等量代换就能求出∠E+∠B的度数。
【解析】
解：
∵$AB// EF$（已知）
∴$∠ B = ∠ BFG$（两直线平行，内错角相等）
∵$BC// DE$（已知）
∴$∠ E = ∠ GFC$（两直线平行，同位角相等）
又
∵$∠ BFG + ∠ GFC = 180°$（平角的定义）
∴$∠ B + ∠ E = 180°$（等量代换）
【答案】
$180°$
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；等量代换
【点评】
本题属于基础的几何角度计算类题目，核心是熟练运用平行线的性质找到角之间的等量关系，结合平角的特征完成代换即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知的两组平行线，运用平行线的性质推导角的等量关系：首先AB和EF平行，BC是截线，可得到∠B与内错角∠BFG相等；其次BC和DE平行，EG是截线，可得到∠E与同位角∠GFC相等；最后结合∠BFG和∠GFC组成平角，和为180°，通过等量代换就能求出∠E+∠B的度数。
【解析】
解：
∵$AB// EF$（已知）
∴$∠ B = ∠ BFG$（两直线平行，内错角相等）
∵$BC// DE$（已知）
∴$∠ E = ∠ GFC$（两直线平行，同位角相等）
又
∵$∠ BFG + ∠ GFC = 180°$（平角的定义）
∴$∠ B + ∠ E = 180°$（等量代换）
【答案】
$180°$
【知识点】
平行线的性质；平角的定义；等量代换
【点评】
本题属于基础的几何角度计算类题目，核心是熟练运用平行线的性质找到角之间的等量关系，结合平角的特征完成代换即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
13. 如图11,已知D是BC延长线上一点,CE//AB.若∠A=63°,∠ACD=87°,则∠B的度数为
24°
.答案
13.24°
解析
【分析】
解题思路：首先观察图形可知∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即∠ACD=∠A+∠B。已知∠A和∠ACD的度数，将数值代入该关系式，通过减法计算即可求出∠B的度数。也可结合CE//AB的条件，利用平行线的性质分别得到∠A与∠ACE相等、∠B与∠ECD相等，再结合∠ACD=∠ACE+∠ECD推导计算，结果一致。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
已知$∠ A=63°$，$∠ ACD=87°$，代入得：
$∠ B = ∠ ACD - ∠ A = 87° - 63° = 24°$
【答案】
$24°$
【知识点】
三角形外角的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对三角形外角性质的理解与应用，熟练掌握相关性质即可快速求出结果，计算量小。
【难度系数】
0.9
解题思路：首先观察图形可知∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即∠ACD=∠A+∠B。已知∠A和∠ACD的度数，将数值代入该关系式，通过减法计算即可求出∠B的度数。也可结合CE//AB的条件，利用平行线的性质分别得到∠A与∠ACE相等、∠B与∠ECD相等，再结合∠ACD=∠ACE+∠ECD推导计算，结果一致。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ ACD = ∠ A + ∠ B$
已知$∠ A=63°$，$∠ ACD=87°$，代入得：
$∠ B = ∠ ACD - ∠ A = 87° - 63° = 24°$
【答案】
$24°$
【知识点】
三角形外角的性质，角的和差计算
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查对三角形外角性质的理解与应用，熟练掌握相关性质即可快速求出结果，计算量小。
【难度系数】
0.9
14.如图12，已知DE平分∠BDF，AF平分∠BAC，且∠1=∠2，试判断AC与DF的位置关系，并说明理由。
答案
14.平行,理由略.
解析
【分析】
要判断AC与DF的位置关系，优先考虑平行关系。结合已知的角平分线条件和∠1=∠2的条件，我们先利用角平分线的定义，分别将∠BDF、∠BAC用∠1、∠2表示，再通过∠1=∠2等量代换得到∠BDF和∠BAC相等，这两个角是AC、DF被AB所截的同位角，根据平行线的判定定理即可推出两直线平行。
【解析】
解：AC与DF的位置关系是平行，理由如下：
∵ DE平分∠BDF（已知），
∴ ∠BDF = 2∠1（角平分线的定义）。
∵ AF平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAC = 2∠2（角平分线的定义）。
又
∵ ∠1 = ∠2（已知），
∴ ∠BDF = ∠BAC（等量代换）。
∴ AC//DF（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
AC和DF平行（AC//DF）
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题是平行线判定的基础应用，解题的核心是结合角平分线的性质，推导得到两条直线被截所得的同位角相等，进而判定平行，是几何入门阶段的典型题型。
【难度系数】
0.7
要判断AC与DF的位置关系，优先考虑平行关系。结合已知的角平分线条件和∠1=∠2的条件，我们先利用角平分线的定义，分别将∠BDF、∠BAC用∠1、∠2表示，再通过∠1=∠2等量代换得到∠BDF和∠BAC相等，这两个角是AC、DF被AB所截的同位角，根据平行线的判定定理即可推出两直线平行。
【解析】
解：AC与DF的位置关系是平行，理由如下：
∵ DE平分∠BDF（已知），
∴ ∠BDF = 2∠1（角平分线的定义）。
∵ AF平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAC = 2∠2（角平分线的定义）。
又
∵ ∠1 = ∠2（已知），
∴ ∠BDF = ∠BAC（等量代换）。
∴ AC//DF（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
AC和DF平行（AC//DF）
【知识点】
角平分线的定义；平行线的判定；等量代换
【点评】
本题是平行线判定的基础应用，解题的核心是结合角平分线的性质，推导得到两条直线被截所得的同位角相等，进而判定平行，是几何入门阶段的典型题型。
【难度系数】
0.7
15.如图13，已知∠DEF=∠B，EF//AB.
(1)求证：DE//BC；
(2)若DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，求∠EFC的度数.
(1)求证：DE//BC；
(2)若DE平分∠ADC，∠BDC=3∠B，求∠EFC的度数.
答案
15.(1)略
(2)$∠ EFC=72°$
(2)$∠ EFC=72°$
解析
【分析】
(1) 要证$DE// BC$，可通过证明同位角相等推导：已知$EF// AB$，根据平行线性质可得$∠ DEF=∠ ADE$，结合已知$∠ DEF=∠ B$，等量代换得到同位角$∠ ADE=∠ B$，即可推出$DE// BC$。
(2) 先利用角平分线定义得$∠ ADC=2∠ ADE$，结合$DE// BC$的性质得$∠ ADE=∠ B$，因此$∠ ADC=2∠ B$；再根据$∠ BDC$和$∠ ADC$是邻补角，和为$180°$，结合$∠ BDC=3∠ B$列方程求出$∠ B$的度数，最后根据$EF// AB$的性质，同位角相等求出$∠ EFC$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// AB$（已知）
$\therefore ∠ DEF=∠ ADE$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ DEF=∠ B$（已知）
$\therefore ∠ ADE=∠ B$（等量代换）
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）
(2) 解：
$\because DE$平分$∠ ADC$（已知）
$\therefore ∠ ADC=2∠ ADE$（角平分线的定义）
由(1)得$DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$（两直线平行，同位角相等）
$\therefore ∠ ADC=2∠ B$
$\because ∠ BDC+∠ ADC=180°$（邻补角的和为$180°$），且$∠ BDC=3∠ B$（已知）
$\therefore 3∠ B+2∠ B=180°$
解得$∠ B=36°$
$\therefore ∠ ADC=2×36°=72°$
$\because EF// AB$（已知）
$\therefore ∠ EFC=∠ ADC$（两直线平行，同位角相等）
$\therefore ∠ EFC=72°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{72°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，重点考查平行线判定和性质的应用，解题时要注意逻辑推导的严谨性，每一步结论都要有对应的定理作为依据，熟练掌握角度之间的等量转化是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$DE// BC$，可通过证明同位角相等推导：已知$EF// AB$，根据平行线性质可得$∠ DEF=∠ ADE$，结合已知$∠ DEF=∠ B$，等量代换得到同位角$∠ ADE=∠ B$，即可推出$DE// BC$。
(2) 先利用角平分线定义得$∠ ADC=2∠ ADE$，结合$DE// BC$的性质得$∠ ADE=∠ B$，因此$∠ ADC=2∠ B$；再根据$∠ BDC$和$∠ ADC$是邻补角，和为$180°$，结合$∠ BDC=3∠ B$列方程求出$∠ B$的度数，最后根据$EF// AB$的性质，同位角相等求出$∠ EFC$的度数。
【解析】
(1) 证明：
$\because EF// AB$（已知）
$\therefore ∠ DEF=∠ ADE$（两直线平行，内错角相等）
又$\because ∠ DEF=∠ B$（已知）
$\therefore ∠ ADE=∠ B$（等量代换）
$\therefore DE// BC$（同位角相等，两直线平行）
(2) 解：
$\because DE$平分$∠ ADC$（已知）
$\therefore ∠ ADC=2∠ ADE$（角平分线的定义）
由(1)得$DE// BC$，$\therefore ∠ ADE=∠ B$（两直线平行，同位角相等）
$\therefore ∠ ADC=2∠ B$
$\because ∠ BDC+∠ ADC=180°$（邻补角的和为$180°$），且$∠ BDC=3∠ B$（已知）
$\therefore 3∠ B+2∠ B=180°$
解得$∠ B=36°$
$\therefore ∠ ADC=2×36°=72°$
$\because EF// AB$（已知）
$\therefore ∠ EFC=∠ ADC$（两直线平行，同位角相等）
$\therefore ∠ EFC=72°$
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{72°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，重点考查平行线判定和性质的应用，解题时要注意逻辑推导的严谨性，每一步结论都要有对应的定理作为依据，熟练掌握角度之间的等量转化是解题的关键。
【难度系数】
0.7
