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1 水中涟漪(圆形水波)不断扩大,记它的半径为$r$,则圆周长$C$与$r$的关系式为$C=2π r$.下列判断正确的是 （
A.2是变量
B.$π$是变量
C.$r$是变量
D.$C$是常量
C
）A.2是变量
B.$π$是变量
C.$r$是变量
D.$C$是常量
答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先要明确常量与变量的定义：在一个变化过程中，数值保持不变的量是常量，数值发生变化的量是变量。结合题目中“涟漪不断扩大”的变化过程，先判断关系式$C=2π r$中每个量的数值是否会发生改变，再逐一核对选项即可得到正确答案。
【解析】
根据常量与变量的定义可知：
在关系式$C=2π r$中，2是固定的常数，$π$是圆周率，二者的数值始终固定不变，属于常量；
水面涟漪不断扩大，说明半径$r$的数值在不断变化，圆周长$C$也会随$r$的变化而变化，因此$r$和$C$都属于变量。
对选项逐一判断：
A. 2是常量，不是变量，该选项错误；
B. $π$是常量，不是变量，该选项错误；
C. $r$是变量，该选项正确；
D. $C$是变量，不是常量，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
常量与变量的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将$π$当成变量，只要结合变化过程准确区分数值是否固定，就能轻松解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确常量与变量的定义：在一个变化过程中，数值保持不变的量是常量，数值发生变化的量是变量。结合题目中“涟漪不断扩大”的变化过程，先判断关系式$C=2π r$中每个量的数值是否会发生改变，再逐一核对选项即可得到正确答案。
【解析】
根据常量与变量的定义可知：
在关系式$C=2π r$中，2是固定的常数，$π$是圆周率，二者的数值始终固定不变，属于常量；
水面涟漪不断扩大，说明半径$r$的数值在不断变化，圆周长$C$也会随$r$的变化而变化，因此$r$和$C$都属于变量。
对选项逐一判断：
A. 2是常量，不是变量，该选项错误；
B. $π$是常量，不是变量，该选项错误；
C. $r$是变量，该选项正确；
D. $C$是变量，不是常量，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
常量与变量的识别
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点是容易误将$π$当成变量，只要结合变化过程准确区分数值是否固定，就能轻松解题。
【难度系数】
0.9
2 新情境 学科融合 [2024湖北]铁的密度为$7.9\ \mathrm{g/cm}^3$，铁块的质量$m$（g）与它的体积$V$（$\mathrm{cm}^3$）之间的函数表达式为$m=7.9V$，当$V=10$时，$m=$
79
。答案
2. 79
解析
【分析】本题已知铁块质量m和体积V的函数表达式，要求当V=10时对应的m值，解题思路非常明确：只需将给定的自变量V的取值代入函数表达式，按照乘法运算规则计算就能得到对应的函数值m。
【解析】已知质量与体积的函数表达式为$m=7.9V$，将$V=10$代入表达式中：
$m=7.9×10=79$
【答案】79
【知识点】代入法求函数值；正比例函数应用
【点评】本题结合物理学科的密度知识点考查函数值的计算，属于基础题型，运算难度低，只要掌握代入求值的基本方法即可正确解答。
【难度系数】0.9
【解析】已知质量与体积的函数表达式为$m=7.9V$，将$V=10$代入表达式中：
$m=7.9×10=79$
【答案】79
【知识点】代入法求函数值；正比例函数应用
【点评】本题结合物理学科的密度知识点考查函数值的计算，属于基础题型，运算难度低，只要掌握代入求值的基本方法即可正确解答。
【难度系数】0.9
3 小明从家出发到商场购物后返回，如图所示的图象为小明离家的路程$s(\mathrm{m})$与时间$t(\mathrm{min})$之间的函数关系，已知小明购物用时$30\ \mathrm{min}$，返回速度是去商场的速度的$1.2$倍，则$a$的值为
52
。答案
3. 52
解析
【分析】
首先明确s-t图像各段对应的实际意义：斜向上线段对应小明去商场的过程，水平线段对应小明购物的过程（离家路程不变），斜向下线段对应小明返回家的过程。解题思路如下：①先根据购物总时长和购物结束的时间，算出去商场花费的时间；②路程相同时，速度与时间成反比，结合返回速度和去时速度的关系，算出返回所用的时间；③用购物结束的时间加上返回时间，即可求出a的值。
【解析】
解：
1. 求去商场的时间：
已知小明购物用时30min，图像中购物结束对应的时间为42min，因此去商场花费的时间为：
$ 42 - 30 = 12\ \mathrm{min} $
2. 求返回的时间：
设小明去商场的速度为$ v $，则家到商场的路程$ s = v × 12 $。
由题意得返回速度为$ 1.2v $，根据行程公式$ t=\frac{s}{v} $，返回需要的时间为：
$ t_{\mathrm{返}} = \frac{s}{1.2v} = \frac{12v}{1.2v} = 10\ \mathrm{min} $
3. 求a的值：
a对应小明返回家的总时间，因此：
$ a = 42 + 10 = 52 $
【答案】
52
【知识点】
s-t图像分析，行程问题计算
【点评】
本题结合生活场景考查函数图像的实际应用，解题的核心是准确对应图像分段与实际过程的关系，再利用路程、速度、时间的关系计算，是函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
首先明确s-t图像各段对应的实际意义：斜向上线段对应小明去商场的过程，水平线段对应小明购物的过程（离家路程不变），斜向下线段对应小明返回家的过程。解题思路如下：①先根据购物总时长和购物结束的时间，算出去商场花费的时间；②路程相同时，速度与时间成反比，结合返回速度和去时速度的关系，算出返回所用的时间；③用购物结束的时间加上返回时间，即可求出a的值。
【解析】
解：
1. 求去商场的时间：
已知小明购物用时30min，图像中购物结束对应的时间为42min，因此去商场花费的时间为：
$ 42 - 30 = 12\ \mathrm{min} $
2. 求返回的时间：
设小明去商场的速度为$ v $，则家到商场的路程$ s = v × 12 $。
由题意得返回速度为$ 1.2v $，根据行程公式$ t=\frac{s}{v} $，返回需要的时间为：
$ t_{\mathrm{返}} = \frac{s}{1.2v} = \frac{12v}{1.2v} = 10\ \mathrm{min} $
3. 求a的值：
a对应小明返回家的总时间，因此：
$ a = 42 + 10 = 52 $
【答案】
52
【知识点】
s-t图像分析，行程问题计算
【点评】
本题结合生活场景考查函数图像的实际应用，解题的核心是准确对应图像分段与实际过程的关系，再利用路程、速度、时间的关系计算，是函数应用类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
4 [2024 陕西]若点$A(-2,y_1)$和点$B(2,y_2)$在同一个正比例函数$y=kx(k＜0)$的图象上，则（
A.$y_1=-y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_2＞0$
D.$y_2＞y_1$
A
）A.$y_1=-y_2$
B.$y_1=y_2$
C.$y_2＞0$
D.$y_2＞y_1$
答案
4. A
解析
【分析】
解题时可从正比例函数图象上的点满足函数解析式这一核心思路入手：第一步分别将点A、点B的横坐标代入正比例函数解析式，求出$y_1$和$y_2$的表达式；第二步对比$y_1$和$y_2$的关系，再结合$k＜0$的条件逐一判断各选项是否正确。也可结合正比例函数关于原点对称的性质直接判断，两点横坐标互为相反数，对应的函数值也互为相反数。
【解析】
∵ 点$A(-2,y_1)$在正比例函数$y=kx(k＜0)$的图象上
∴ 将$x=-2$代入解析式得：$y_1 = k×(-2) = -2k$
∵ 点$B(2,y_2)$在正比例函数$y=kx(k＜0)$的图象上
∴ 将$x=2$代入解析式得：$y_2 = k×2 = 2k$
对各选项逐一判断：
A选项：$y_1=-2k = -(2k) = -y_2$，该选项正确；
B选项：$y_1=-2k$，$y_2=2k$，$k＜0$故$k≠0$，因此$y_1≠ y_2$，该选项错误；
C选项：
∵$k＜0$，
∴$y_2=2k＜0$，该选项错误；
D选项：$y_1=-2k＞0$，$y_2=2k＜0$，因此$y_2＜y_1$，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数点的坐标特征
2. 正比例函数的性质
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，解题方法灵活，既可以通过代入计算函数值判断，也可以利用正比例函数的对称性、增减性快速得出结论，核心是掌握函数图象上的点满足函数解析式这一基本规律。
【难度系数】
0.8
解题时可从正比例函数图象上的点满足函数解析式这一核心思路入手：第一步分别将点A、点B的横坐标代入正比例函数解析式，求出$y_1$和$y_2$的表达式；第二步对比$y_1$和$y_2$的关系，再结合$k＜0$的条件逐一判断各选项是否正确。也可结合正比例函数关于原点对称的性质直接判断，两点横坐标互为相反数，对应的函数值也互为相反数。
【解析】
∵ 点$A(-2,y_1)$在正比例函数$y=kx(k＜0)$的图象上
∴ 将$x=-2$代入解析式得：$y_1 = k×(-2) = -2k$
∵ 点$B(2,y_2)$在正比例函数$y=kx(k＜0)$的图象上
∴ 将$x=2$代入解析式得：$y_2 = k×2 = 2k$
对各选项逐一判断：
A选项：$y_1=-2k = -(2k) = -y_2$，该选项正确；
B选项：$y_1=-2k$，$y_2=2k$，$k＜0$故$k≠0$，因此$y_1≠ y_2$，该选项错误；
C选项：
∵$k＜0$，
∴$y_2=2k＜0$，该选项错误；
D选项：$y_1=-2k＞0$，$y_2=2k＜0$，因此$y_2＜y_1$，该选项错误。
【答案】
A
【知识点】
1. 正比例函数点的坐标特征
2. 正比例函数的性质
【点评】
本题是正比例函数的基础应用题，解题方法灵活，既可以通过代入计算函数值判断，也可以利用正比例函数的对称性、增减性快速得出结论，核心是掌握函数图象上的点满足函数解析式这一基本规律。
【难度系数】
0.8
5 [2024长沙]对于一次函数$y=2x-1$，下列结论正确的是 （
A.它的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$
B.$y$随$x$的增大而减小
C.当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$
D.它的图象经过第一、二、三象限
A
）A.它的图象与$y$轴交于点$(0,-1)$
B.$y$随$x$的增大而减小
C.当$x＞\frac{1}{2}$时，$y＜0$
D.它的图象经过第一、二、三象限
答案
5. A
解析
【分析】
本题考查一次函数的相关性质，解题时可根据一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的取值对四个选项逐一分析验证即可：$k$决定函数的增减性，$b$决定函数图象与$y$轴的交点位置，结合$k$、$b$的符号还能判断函数经过的象限，求函数值的取值范围可代入不等式求解。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 求函数图象与$y$轴的交点，令$x=0$，代入$y=2x-1$得$y=2×0-1=-1$，所以图象与$y$轴交于点$(0,-1)$，该选项正确；
B. 一次函数$y=kx+b$中，$k＞0$时$y$随$x$的增大而增大，本题$k=2＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大，该选项错误；
C. 当$y＜0$时，列不等式$2x-1＜0$，解得$x＜\frac{1}{2}$，即只有$x＜\frac{1}{2}$时$y＜0$，$x＞\frac{1}{2}$时$y＞0$，该选项错误；
D. 一次函数$k＞0$时图象过一、三象限，$b＜0$时图象与$y$轴交于负半轴，所以该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数与坐标轴交点；一次函数的图象与象限
【点评】
本题是一次函数性质的基础考查，核心是理解一次函数解析式中$k$、$b$两个参数的意义，通过代入计算、解不等式、性质判断的方法逐个验证选项即可得出答案，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
本题考查一次函数的相关性质，解题时可根据一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$、$b$的取值对四个选项逐一分析验证即可：$k$决定函数的增减性，$b$决定函数图象与$y$轴的交点位置，结合$k$、$b$的符号还能判断函数经过的象限，求函数值的取值范围可代入不等式求解。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 求函数图象与$y$轴的交点，令$x=0$，代入$y=2x-1$得$y=2×0-1=-1$，所以图象与$y$轴交于点$(0,-1)$，该选项正确；
B. 一次函数$y=kx+b$中，$k＞0$时$y$随$x$的增大而增大，本题$k=2＞0$，所以$y$随$x$的增大而增大，该选项错误；
C. 当$y＜0$时，列不等式$2x-1＜0$，解得$x＜\frac{1}{2}$，即只有$x＜\frac{1}{2}$时$y＜0$，$x＞\frac{1}{2}$时$y＞0$，该选项错误；
D. 一次函数$k＞0$时图象过一、三象限，$b＜0$时图象与$y$轴交于负半轴，所以该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，该选项错误。
综上，只有A选项正确。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的增减性；一次函数与坐标轴交点；一次函数的图象与象限
【点评】
本题是一次函数性质的基础考查，核心是理解一次函数解析式中$k$、$b$两个参数的意义，通过代入计算、解不等式、性质判断的方法逐个验证选项即可得出答案，属于常规基础题。
【难度系数】
0.8
6 [2025天津]将直线$y=3x-1$向上平移$m$个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则$m$的值可以是
2(答案不唯一)
（写出一个即可）。答案
6. 2(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数的平移规律，先写出平移后的直线解析式，再结合一次函数图像经过第一、二、三象限的条件，列出关于m的不等式，求出m的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
根据一次函数“上加下减常数项”的平移规律，将直线$y=3x-1$向上平移$m$个单位长度后，所得直线的解析式为$y=3x-1+m$。
一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图像经过第一、二、三象限的条件是：斜率$k＞0$，截距$b＞0$。
本题中$k=3＞0$，已满足条件，因此只需截距大于0即可，即：
$-1+m＞0$
解得$m＞1$。
因此只需取大于1的任意数值均可，例如取$m=2$。
【答案】
2（答案不唯一，任意大于1的数均可）
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 一次函数图像与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的平移规则和图像性质，熟练掌握一次函数中k、b的取值对图像经过象限的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一次函数的平移规律，先写出平移后的直线解析式，再结合一次函数图像经过第一、二、三象限的条件，列出关于m的不等式，求出m的取值范围后，在范围内任取一个值即可。
【解析】
根据一次函数“上加下减常数项”的平移规律，将直线$y=3x-1$向上平移$m$个单位长度后，所得直线的解析式为$y=3x-1+m$。
一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）的图像经过第一、二、三象限的条件是：斜率$k＞0$，截距$b＞0$。
本题中$k=3＞0$，已满足条件，因此只需截距大于0即可，即：
$-1+m＞0$
解得$m＞1$。
因此只需取大于1的任意数值均可，例如取$m=2$。
【答案】
2（答案不唯一，任意大于1的数均可）
【知识点】
1. 一次函数平移规律
2. 一次函数图像与系数的关系
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一次函数的平移规则和图像性质，熟练掌握一次函数中k、b的取值对图像经过象限的影响是解题的关键。
【难度系数】
0.8
7 设直线 $y=-\dfrac{3}{2}x+3$ 分别与 $x$ 轴、$y$ 轴交于点 $A$，$B$，将 $△ OAB$ 绕着点 $A$ 按顺时针方向旋转 $90°$ 得到 $△ CAD$，则点 $B$ 的对应点 $D$ 的坐标是
(5,2)
.答案
7. (5,2)
解析
【分析】
解题分三步思考：①先求直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标：x轴上的点纵坐标为0，代入直线解析式可求点A坐标，y轴上的点横坐标为0，代入可求点B坐标；②利用旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，可得AB=AD，∠BAD=90°，进而推导得到△OAB和△CDA全等的条件；③结合全等三角形的对应边相等，计算点D的横、纵坐标即可。
【解析】
第一步：求点A、B的坐标
对于直线$y=-\dfrac{3}{2}x+3$：
令$y=0$，则$0=-\dfrac{3}{2}x+3$，解得$x=2$，
∴点A坐标为$(2,0)$，$OA=2$；
令$x=0$，则$y=3$，
∴点B坐标为$(0,3)$，$OB=3$。
第二步：利用旋转性质推导对应边关系
将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△CAD，由旋转性质得△OAB≌△CAD，
∴$AC=OB=3$，$CD=OA=2$，∠ACD=∠AOB=90°，即CD垂直于x轴。
第三步：计算点D坐标
点A坐标为$(2,0)$，$AC=3$，
∴点C的横坐标为$2+3=5$，纵坐标为0，即$C(5,0)$，
∵CD⊥x轴且$CD=2$，点D在x轴上方，
∴点D的坐标为$(5,2)$。
【答案】
$(5,2)$
【知识点】
一次函数图象性质，旋转的性质，全等三角形的应用
【点评】
本题属于坐标与旋转的综合题，解题的关键是先求出直线与坐标轴的交点坐标，再结合旋转前后图形全等的性质，找到对应边的长度关系，进而确定旋转后点的坐标，解题时可通过画辅助图帮助理清位置关系。
【难度系数】
0.7
解题分三步思考：①先求直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标：x轴上的点纵坐标为0，代入直线解析式可求点A坐标，y轴上的点横坐标为0，代入可求点B坐标；②利用旋转的性质：旋转前后图形全等，对应边相等、对应角相等，可得AB=AD，∠BAD=90°，进而推导得到△OAB和△CDA全等的条件；③结合全等三角形的对应边相等，计算点D的横、纵坐标即可。
【解析】
第一步：求点A、B的坐标
对于直线$y=-\dfrac{3}{2}x+3$：
令$y=0$，则$0=-\dfrac{3}{2}x+3$，解得$x=2$，
∴点A坐标为$(2,0)$，$OA=2$；
令$x=0$，则$y=3$，
∴点B坐标为$(0,3)$，$OB=3$。
第二步：利用旋转性质推导对应边关系
将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△CAD，由旋转性质得△OAB≌△CAD，
∴$AC=OB=3$，$CD=OA=2$，∠ACD=∠AOB=90°，即CD垂直于x轴。
第三步：计算点D坐标
点A坐标为$(2,0)$，$AC=3$，
∴点C的横坐标为$2+3=5$，纵坐标为0，即$C(5,0)$，
∵CD⊥x轴且$CD=2$，点D在x轴上方，
∴点D的坐标为$(5,2)$。
【答案】
$(5,2)$
【知识点】
一次函数图象性质，旋转的性质，全等三角形的应用
【点评】
本题属于坐标与旋转的综合题，解题的关键是先求出直线与坐标轴的交点坐标，再结合旋转前后图形全等的性质，找到对应边的长度关系，进而确定旋转后点的坐标，解题时可通过画辅助图帮助理清位置关系。
【难度系数】
0.7
8 [2024 南通]在平面直角坐标系中,已知$A(3,0),B(0,3)$. 直线$y=kx+b$($k,b$为常数,且$k＞0$)经过点$(1,0)$,并把$△ AOB$分成两部分,其中靠近原点部分的面积为$\frac{15}{4}$,求$k$的值.
答案
8. 如图,设直线 $y=kx+b$ 与直线 $AB$ 交于点 $D$,与$x$ 轴交于点 $C$. $\because A(3,0),B(0,3),\therefore OA=OB=3$,直线 $AB$ 对应的函数表达式为 $y=-x+3$. $\because C(1,0)$,$\therefore AC=2$. $\because$ 靠近原点部分的面积为$\frac{15}{4}$,即 $S_{四边形OCDB}=S_{△ OAB}-S_{△ ACD}=\frac{15}{4}$,$\therefore \frac{1}{2} × 3 × 3-\frac{1}{2} × 2 × y_D=\frac{15}{4}$,解得 $y_D=\frac{3}{4}$. 把 $y_D=\frac{3}{4}$ 代入 $y=-x+3$,得 $x_D=\frac{9}{4}$.
$\therefore D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$. 由 $C,D$ 两点的坐标可求直线 $CD$ 对应的函数表达式为 $y=\frac{3}{5}x-\frac{3}{5}$. $\therefore k$ 的值为 $\frac{3}{5}$
解析
【分析】
解题时首先梳理已知条件：已知△AOB的顶点坐标，可先计算△AOB的总面积、推导直线AB的解析式；直线$y=kx+b$过x轴上的点$C(1,0)$，它将△AOB分为两部分，已知靠近原点的四边形OCDB的面积，可通过总面积减去四边形面积得到△ACD的面积；再结合AC的长度求出两直线交点D的纵坐标，代入AB的解析式得到D的横坐标，最后将C、D两点坐标代入$y=kx+b$即可求出k的值。
【解析】
设直线$y=kx+b$与直线$AB$交于点$D$，与$x$轴交于点$C$。
1. 求直线$AB$的解析式：
已知$A(3,0)$，$B(0,3)$，可得$OA=OB=3$，设直线$AB$的解析式为$y=mx+n$，代入两点坐标得$\begin{cases}0=3m+n\\3=n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=3\end{cases}$，即直线$AB$对应的函数表达式为$y=-x+3$。
2. 利用面积关系求D点纵坐标：
已知$C(1,0)$，则$AC=OA-OC=3-1=2$。
$△ AOB$的面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
由题意得$S_{四边形OCDB}=\frac{15}{4}$，因此$S_{△ ACD}=S_{△ AOB}-S_{四边形OCDB}=\frac{9}{2}-\frac{15}{4}=\frac{3}{4}$。
又$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× y_D=\frac{1}{2}×2× y_D=y_D$，因此$y_D=\frac{3}{4}$。
3. 求D点坐标：
将$y_D=\frac{3}{4}$代入$y=-x+3$，得$\frac{3}{4}=-x+3$，解得$x=\frac{9}{4}$，即$D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$。
4. 计算k的值：
将$C(1,0)$和$D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}0=k+b\\\frac{3}{4}=\frac{9}{4}k+b\end{cases}$，两式相减得$\frac{3}{4}=\frac{5}{4}k$，解得$k=\frac{3}{5}$。
【答案】
$k$的值为$\frac{3}{5}$
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数与几何综合，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数和三角形面积的综合题型，解题核心是通过面积差求出两条直线的交点坐标，再用待定系数法求解一次函数的系数，解题过程中要注意坐标与线段长度的对应转换，是一次函数板块的常规考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先梳理已知条件：已知△AOB的顶点坐标，可先计算△AOB的总面积、推导直线AB的解析式；直线$y=kx+b$过x轴上的点$C(1,0)$，它将△AOB分为两部分，已知靠近原点的四边形OCDB的面积，可通过总面积减去四边形面积得到△ACD的面积；再结合AC的长度求出两直线交点D的纵坐标，代入AB的解析式得到D的横坐标，最后将C、D两点坐标代入$y=kx+b$即可求出k的值。
【解析】
设直线$y=kx+b$与直线$AB$交于点$D$，与$x$轴交于点$C$。
1. 求直线$AB$的解析式：
已知$A(3,0)$，$B(0,3)$，可得$OA=OB=3$，设直线$AB$的解析式为$y=mx+n$，代入两点坐标得$\begin{cases}0=3m+n\\3=n\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=-1\\n=3\end{cases}$，即直线$AB$对应的函数表达式为$y=-x+3$。
2. 利用面积关系求D点纵坐标：
已知$C(1,0)$，则$AC=OA-OC=3-1=2$。
$△ AOB$的面积$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× OA× OB=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
由题意得$S_{四边形OCDB}=\frac{15}{4}$，因此$S_{△ ACD}=S_{△ AOB}-S_{四边形OCDB}=\frac{9}{2}-\frac{15}{4}=\frac{3}{4}$。
又$S_{△ ACD}=\frac{1}{2}× AC× y_D=\frac{1}{2}×2× y_D=y_D$，因此$y_D=\frac{3}{4}$。
3. 求D点坐标：
将$y_D=\frac{3}{4}$代入$y=-x+3$，得$\frac{3}{4}=-x+3$，解得$x=\frac{9}{4}$，即$D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$。
4. 计算k的值：
将$C(1,0)$和$D(\frac{9}{4},\frac{3}{4})$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}0=k+b\\\frac{3}{4}=\frac{9}{4}k+b\end{cases}$，两式相减得$\frac{3}{4}=\frac{5}{4}k$，解得$k=\frac{3}{5}$。
【答案】
$k$的值为$\frac{3}{5}$
【知识点】
一次函数解析式求解，一次函数与几何综合，三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数和三角形面积的综合题型，解题核心是通过面积差求出两条直线的交点坐标，再用待定系数法求解一次函数的系数，解题过程中要注意坐标与线段长度的对应转换，是一次函数板块的常规考法。
【难度系数】
0.7
