8 [2025西藏]如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点A(1,0),交y轴于点B(0,2),以原点O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点C,交y轴于点D,分别以点C,D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧,两弧在第一象限内交于点E,作射线OE交AB于点F,则点F的坐标是.

8. $(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$

【分析】
首先根据题中的尺规作图步骤，可判断出射线OE是∠AOB的角平分线，结合∠AOB为直角，可得OE上任意一点的横、纵坐标相等，即OE对应的函数解析式为y=x。接下来需要求出直线AB的函数解析式，点F是OE与AB的交点，联立两个函数解析式解方程组，所得的解就是点F的坐标。
【解析】
1. 确定射线OE的解析式：由尺规作角平分线的步骤可知，OE平分∠AOB，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，因此射线OE对应的函数为y=x（x≥0）。
2. 求直线AB的解析式：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A(1,0)、B(0,2)代入解析式：
当x=0时，y=2，可得b=2；
将A(1,0)和b=2代入得0=k+2，解得k=-2。
因此直线AB的解析式为y=-2x+2。
3. 求交点F的坐标：联立OE和AB的解析式得方程组$\begin{cases}y=x\\y=-2x+2\end{cases}$，
将y=x代入第二个方程得：x=-2x+2，
移项合并得3x=2，解得x=$\frac{2}{3}$，
则y=x=$\frac{2}{3}$，即点F的坐标为$(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$。
【答案】
$(\frac{2}{3},\frac{2}{3})$
【知识点】
尺规作角平分线；待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点问题
【点评】
本题是基础综合题，解题的核心是先通过作图特征判断出OE的函数表达式，再结合一次函数的相关知识求交点，既考查了作图的识别，也考查了一次函数的基本应用。
【难度系数】
0.7

9 已知三条直线$y=2x-3$，$y=kx-2$，$y=-2x+1$相交于同一点，则k的值为。

9. 1

【分析】
三条直线相交于同一点，说明该点的坐标同时满足三条直线的函数解析式。我们可以先联立不含参数k的两条直线的解析式，求出它们的交点坐标，这个交点也在第三条含k的直线上，最后将交点坐标代入第三条直线的解析式，就能求出k的值。
【解析】
首先联立无参数的两条直线方程：
$\begin{cases} y=2x-3 \\ y=-2x+1 \end{cases}$
令$2x-3=-2x+1$，
移项得：$2x+2x=1+3$，即$4x=4$，解得$x=1$。
把$x=1$代入$y=2x-3$，得$y=2×1 -3=-1$，
因此三条直线的交点坐标为$(1,-1)$。
由于交点$(1,-1)$在直线$y=kx-2$上，将$x=1$、$y=-1$代入该解析式：
$-1 = k×1 -2$，
移项计算得$k=-1+2=1$。
【答案】
1
【知识点】
一次函数交点性质；二元一次方程组解法；一次函数点的坐标特征
【点评】
本题是一次函数交点问题的基础题型，解题核心是明确多条直线交于同一点时，该点坐标满足所有相交直线的解析式，先通过已知直线求出公共交点，再代入含参解析式求解参数即可。
【难度系数】
0.8

10 [2024滨州]如图,四边形AOBC的四个顶点分别是A(-1,3),O(0,0),B(3,-1),C(5,4),在该平面内找一点P,使它到四个顶点的距离之和$PA+PO+PB+PC$最小,则点P的坐标为.

10. $(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$
【解析】根据“两点之间线段最短”，得$PO+PC$的最小值就是线段OC的长，$PA+PB$的最小值就是线段AB的长，
∴到四个顶点的距离之和$PA+PO+PB+PC$最小的点就是直线AB，OC的交点P。
易得直线OC对应的函数表达式为$y=\frac{4}{5}x$，直线AB对应的函数表达式为$y=-x+2$，联立方程组，即可得点P的坐标为$(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$。

【分析】
要使$PA+PO+PB+PC$最小，可根据“两点之间线段最短”将距离和分组：$PA+PB$的最小值为线段$AB$的长（此时$P$在线段$AB$上），$PO+PC$的最小值为线段$OC$的长（此时$P$在线段$OC$上），因此同时满足两个最小值的点就是线段$AB$与$OC$的交点。接下来只需要分别求出直线$AB$、$OC$的函数表达式，联立两个表达式组成方程组，方程组的解就是点$P$的坐标。
【解析】
根据“两点之间线段最短”可知：
当点$P$在线段$AB$上时，$PA+PB$取得最小值，为线段$AB$的长度；
当点$P$在线段$OC$上时，$PO+PC$取得最小值，为线段$OC$的长度；
因此使$PA+PO+PB+PC$最小的点$P$是直线$AB$与直线$OC$的交点。
①求直线$OC$的函数表达式：
设直线$OC$的解析式为$y = kx$，将$C(5,4)$代入得$4 = 5k$，解得$k=\frac{4}{5}$，即$y=\frac{4}{5}x$。
②求直线$AB$的函数表达式：
设直线$AB$的解析式为$y = mx + n$，将$A(-1,3)$、$B(3,-1)$分别代入得：
$\begin{cases}3 = -m + n \\-1 = 3m + n\end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$4 = -4m$，解得$m=-1$，将$m=-1$代入$3 = -m +n$得$3 = 1 +n$，解得$n=2$，因此直线$AB$的解析式为$y=-x+2$。
③联立两个解析式求交点$P$：
$\begin{cases}y = \frac{4}{5}x \\y = -x + 2\end{cases}$
将$y=\frac{4}{5}x$代入第二个方程得$\frac{4}{5}x = -x + 2$，两边同乘5得$4x = -5x +10$，解得$x=\frac{10}{9}$，代入$y=\frac{4}{5}x$得$y=\frac{4}{5}×\frac{10}{9}=\frac{8}{9}$。
【答案】
$(\frac{10}{9},\frac{8}{9})$
【知识点】
1. 两点之间线段最短
2. 待定系数法求一次函数解析式
3. 一次函数与二元一次方程组的关系
【点评】
本题是几何最值与一次函数的综合题，解题的核心是先利用最短路径原理确定所求点的位置，再通过一次函数相关知识计算交点坐标，较好地考察了学生的知识综合应用能力。
【难度系数】
0.6

11 甲、乙两人相约登山，他们同时从入口处出发，甲步行登山到山顶，乙先步行15 min到缆车站，再乘缆车直达山顶。甲、乙距山脚的垂直高度 y(m)与甲登山的时间 x(min)之间的函数图象如图所示。
（1）当$15≤ x≤ 40$时，求乙距山脚的垂直高度 y 与时间 x 之间的函数表达式；
（2）求乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度。

11. （1）设乙距山脚的垂直高度 y 与时间 x 之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
∵ 函数图象过点(15,0)和(40,300),
∴ $\begin{cases} 15k+b=0, \\ 40k+b=300, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=12, \\ b=-180, \end{cases}$
∴ 乙距山脚的垂直高度 y 与时间 x 之间的函数表达式为$y=12x-180$
（2）当$25≤x≤60$时，设甲距山脚的垂直高度 y 与时间 x 之间的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$。
∵ 函数图象过点（25，160）和（60，300），
∴ $\begin{cases} 25m+n=160, \\ 60m+n=300, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m=4, \\ n=60, \end{cases}$
∴ $y=4x+60$。当乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时，有$\begin{cases} y=12x-180, \\ y=4x+60, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=30, \\ y=180. \end{cases}$
∴ 乙乘坐缆车上升过程中，和甲处于同一高度时距山脚的垂直高度为 180 m

【分析】
（1）求15≤x≤40时乙的y与x的函数表达式，该段为一次函数，可使用待定系数法求解：首先从图象中提取该段函数经过的两个坐标点(15,0)和(40,300)，代入一次函数一般式y=kx+b（k≠0），解二元一次方程组即可得到系数，确定函数表达式。
（2）要求乙乘缆车时和甲同高度的垂直高度，需先求出甲在25≤x≤60阶段的函数表达式：从图象提取甲该段经过的点(25,160)和(60,300)，同样用待定系数法求甲的解析式；两人同高度即两个函数值相等，联立两个解析式解方程组，得到的y值就是所求高度。
【解析】
（1）设当15≤x≤40时，乙距山脚的垂直高度y与时间x之间的函数表达式为$y=kx+b(k≠0)$。
由图象可知函数过点$(15,0)$和$(40,300)$，代入得：
$\begin{cases} 15k+b=0 \\ 40k+b=300 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=12 \\ b=-180 \end{cases}$
因此该段乙的函数表达式为$y=12x-180\ (15≤x≤40)$。
（2）设当25≤x≤60时，甲距山脚的垂直高度y与时间x之间的函数表达式为$y=mx+n(m≠0)$。
由图象可知函数过点$(25,160)$和$(60,300)$，代入得：
$\begin{cases} 25m+n=160 \\ 60m+n=300 \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=4 \\ n=60 \end{cases}$
因此该段甲的函数表达式为$y=4x+60\ (25≤x≤60)$。
当两人高度相同时，联立两个解析式：
$\begin{cases} y=12x-180 \\ y=4x+60 \end{cases}$
解得$\begin{cases} x=30 \\ y=180 \end{cases}$
【答案】
（1）$y=12x-180\ (15≤x≤40)$
（2）$\boxed{180\ \mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；二元一次方程组的求解
【点评】
本题结合实际登山场景考查一次函数的应用，核心是要学会从函数图象中提取有效坐标信息，熟练掌握待定系数法求解析式的方法，理解函数交点对应的实际意义，解题时需注意自变量的取值范围对应分段函数的不同区间。
【难度系数】
0.7

12 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数 $y=\frac{3}{4}x$ 的图象与一次函数 $y=-x+7$ 的图象交于点 A.
(1) 求点 A 的坐标.
(2) 设 x 轴上有一点 $P(a,0)$,过点 P 作 x 轴的垂线(垂线位于点 A 的右侧),分别交正比例函数 $y=\frac{3}{4}x$ 的图象和一次函数 $y=-x+7$ 的图象于 B,C 两点,连接 OC. 若 $BC=\frac{7}{5}OA$,求 $△ OBC$ 的面积.

12. （1）由$\begin{cases} y=\frac{3}{4}x, \\ y=-x+7, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=4, \\ y=3. \end{cases}$
∴ 点 A 的坐标为(4,3)
（2）如图，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D。由(1)，得 A(4,3)，
∴ $OD=4,AD=3$。在$Rt△OAD$中，由勾股定理，得 $OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∴ $BC=\frac{7}{5}OA=\frac{7}{5}×5=7$。
∵ 点 P 的坐标为$(a,0)$，
∴ 依题意，得点 B 的坐标为$(a,\frac{3}{4}a)$，点 C 的坐标为$(a,-a+7)$，
∴ $BC=\frac{3}{4}a - (-a+7)=\frac{7}{4}a -7$，
∴ $\frac{7}{4}a -7=7$，解得 $a=8$，即 $OP=8$，
∴ $S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC·OP=\frac{1}{2}×7×8=28$

【分析】
(1) 两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此求点A的坐标只需联立两个函数的解析式组成二元一次方程组，求解方程组得到的x、y值就是点A的横、纵坐标。
(2) 首先根据点A的坐标，结合勾股定理计算OA的长度，再根据BC与OA的数量关系求出BC的长度。由于B、C两点都在过P(a,0)且垂直于x轴的直线上，因此两点横坐标均为a，分别代入两个函数解析式可得到两点的纵坐标，两点纵坐标的差就是BC的长度，据此列方程求出a的值。最后计算△OBC的面积时，以BC为底，OP的长度为高，代入三角形面积公式即可求出结果。
【解析】
(1) 联立两个函数的解析式，得方程组：
$\begin{cases} y=\frac{3}{4}x \\ y=-x+7 \end{cases}$
将$y=\frac{3}{4}x$代入$y=-x+7$，得$\frac{3}{4}x=-x+7$，
移项合并同类项得$\frac{7}{4}x=7$，解得$x=4$，
把$x=4$代入$y=\frac{3}{4}x$，得$y=3$，
因此点A的坐标为$(4,3)$。
(2) 过点A作x轴的垂线，垂足为D。
由(1)可知A(4,3)，因此$OD=4$，$AD=3$，
在$Rt△ OAD$中，根据勾股定理：
$OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，
已知$BC=\frac{7}{5}OA$，因此$BC=\frac{7}{5}×5=7$。
因为点P坐标为$(a,0)$，BC垂直于x轴，所以B、C两点的横坐标均为a，
将$x=a$代入$y=\frac{3}{4}x$，得点B坐标为$(a,\frac{3}{4}a)$，
将$x=a$代入$y=-x+7$，得点C坐标为$(a,-a+7)$，
由于点B在点C上方，因此$BC=\frac{3}{4}a-(-a+7)=\frac{7}{4}a-7$，
结合$BC=7$列方程得$\frac{7}{4}a-7=7$，解得$a=8$，即$OP=8$。
根据三角形面积公式可得：
$S_{△ OBC}=\frac{1}{2}× BC× OP=\frac{1}{2}×7×8=28$。
【答案】
（1）由$\begin{cases} y=\frac{3}{4}x, \\ y=-x+7, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=4, \\ y=3. \end{cases}$
∴ 点 A 的坐标为$(4,3)$
（2）如图，过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 D。由(1)，得 A(4,3)，
∴ $OD=4,AD=3$。在$Rt△OAD$中，由勾股定理，得 $OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
∴ $BC=\frac{7}{5}OA=\frac{7}{5}×5=7$。
∵ 点 P 的坐标为$(a,0)$，
∴ 依题意，得点 B 的坐标为$(a,\frac{3}{4}a)$，点 C 的坐标为$(a,-a+7)$，
∴ $BC=\frac{3}{4}a - (-a+7)=\frac{7}{4}a -7$，
∴ $\frac{7}{4}a -7=7$，解得 $a=8$，即 $OP=8$，
∴ $S_{△OBC}=\frac{1}{2}BC·OP=\frac{1}{2}×7×8=28$
【知识点】
一次函数交点求解、勾股定理、三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题型，既考查了联立方程求解函数交点的基础运算能力，也考查了数形结合分析线段关系、求解图形面积的逻辑思维能力，是一次函数章节的典型常考题。
【难度系数】
0.65