1.青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间(单位:分):10,11,12,10,12,则这组数据的离差平方和为（）

A.2
B.4
C.6
D.8

B

首先计算这组数据的平均数：$\bar{x}=\frac{10+11+12+10+12}{5}=11$，离差平方和为各数据与平均数差的平方之和，代入计算得：$(10-11)^2+(11-11)^2+(12-11)^2+(10-11)^2+(12-11)^2=1+0+1+1+1=4$。

2.将一组数据中的每个数(互不相等)进行同一规则运算后,数据的平均数、中位数均发生变化,方差不变.在此规则下,原数据中任意一个数$x$运算后对应的数可能是 ()

A.$2x+1$
B.$-2x$
C.$x+2$
D.$\frac{x+1}{2}$

C

设原数据的平均数为$\bar{x}$，中位数为$m$，方差为$s^2$。对数据做线性变换$y=ax+b$时，新数据的平均数为$a\bar{x}+b$，新中位数为$am+b$，新方差为$a^2s^2$，据此逐一分析选项：
选项A：对应$a=2,b=1$，新方差为$2^2s^2=4s^2$，方差发生变化，不符合要求；
选项B：对应$a=-2,b=0$，新方差为$(-2)^2s^2=4s^2$，方差发生变化，不符合要求；
选项C：对应$a=1,b=2$，新平均数为$\bar{x}+2$，新中位数为$m+2$，二者均发生变化，新方差为$1^2s^2=s^2$，方差不变，符合要求；
选项D：对应$a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{2}$，新方差为$(\frac{1}{2})^2s^2=\frac{1}{4}s^2$，方差发生变化，不符合要求。

3. 小明在计算某小组的7名学生的月考成绩时，错将一个数据89写成了98，根据数据计算的平均数和方差与实际的平均数与方差相比，下列说法正确的是（）

A.平均数变大，方差的变化不确定
B.平均数变大，方差变小
C.平均数不变，方差不变
D.平均数变小，方差变大

A

1. 分析平均数变化：错误数据98比实际数据89大9，7个数据的总共和实际总和相比增加了9，因此计算得到的平均数比实际平均数大$\frac{9}{7}$，即平均数变大。
2. 分析方差变化：方差是所有数据与平均数的差的平方的平均值，修改数据后，不仅被修改的数据和平均数的偏差发生变化，其余6个数据与新的错误平均数的偏差也同步改变，无法确定整体偏差平方和的最终增减情况，因此方差的变化不确定。
综上，平均数变大，方差的变化不确定。

4.一组数据:3,5,7,8,10,若加入一个数a后,方差变小,则a最可能为 （）

A.4
B.5
C.6
D.7

D

先计算原数据3,5,7,8,10的平均数：$\bar{x}=\frac{3+5+7+8+10}{5}=6.6$。方差反映数据的波动程度，加入的数值越接近原平均数，数据整体波动越小，方差越容易变小。对比选项中的4、5、6、7，7与6.6的差值最小，是最接近原平均数的数，加入后方差变小。

5.某次数学考试中有一道4分的选择题，只有得满分与不得分两种情况，若某班同学作答该题的平均分为2.5，则方差为。

$\boldsymbol{3.75}$

解：设该班作答该题得满分的同学人数占总人数的比例为$p$，则不得分的同学人数占总人数的比例为$1-p$。
由平均分可得：
$4p + 0×(1-p) = 2.5$
解得$p=\frac{5}{8}$，则$1-p=\frac{3}{8}$。
根据方差公式计算：
$\begin{aligned}s^2&=p×(4-2.5)^2 + (1-p)×(0-2.5)^2\\&=\frac{5}{8}×1.5^2 + \frac{3}{8}×2.5^2\\&=\frac{5}{8}×2.25 + \frac{3}{8}×6.25\\&=3.75\end{aligned}$
最终

6. 高二1班7位计划高考体考选考篮球的同学进行10次一组的投篮训练，投中的次数分别如下：4,5,6,6,6,7,8，若去掉其中一个数据6，则平均数、中位数、众数、方差中不发生变化的量有个.

$\boldsymbol{3}$

解：
计算原始数据4,5,6,6,6,7,8的对应统计量：
1. 平均数：$\bar{x}_1 = \frac{4+5+6+6+6+7+8}{7} = \frac{42}{7} = 6$
2. 中位数：7个排序后的数据中，第4个数据为6，即中位数为6
3. 众数：数据6出现3次，出现次数最多，即众数为6
4. 方差：$s_1^2 = \frac{1}{7}[(4-6)^2+(5-6)^2+3×(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2] = \frac{10}{7}$
去掉一个数据6后，新数据为4,5,6,6,7,8，计算对应统计量：
1. 平均数：$\bar{x}_2 = \frac{4+5+6+6+7+8}{6} = \frac{36}{6} = 6$，与原平均数相等
2. 中位数：6个排序后的数据中，中位数为第3、4个数据的平均数，即$\frac{6+6}{2}=6$，与原中位数相等
3. 众数：数据6出现2次，其余数据各出现1次，众数仍为6，与原众数相等
4. 方差：$s_2^2 = \frac{1}{6}[(4-6)^2+(5-6)^2+2×(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2] = \frac{5}{3}$，与原方差不相等
综上，不发生变化的量有3个。

7. 已知一组数据，$x_1,x_2,x_3$的平均数是5，方差是2，那么另一组数据$2x_1-4,2x_2-4,2x_3-4$的平均数是，方差是。

$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{8}$。

解：
由题意得原数据的平均数：
$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}=5$，即 $x_1+x_2+x_3=15$。
设新数据的平均数为$\bar{y}$，则：
$\begin{aligned}\bar{y}&=\frac{(2x_1-4)+(2x_2-4)+(2x_3-4)}{3}\\&=\frac{2(x_1+x_2+x_3)-12}{3}\\&=\frac{2×15 -12}{3}\\&=6\end{aligned}$
已知原数据的方差：
$S^2=\frac{1}{3}[(x_1-5)^2+(x_2-5)^2+(x_3-5)^2]=2$，
设新数据的方差为$S_y^2$，则：
$\begin{aligned}S_y^2&=\frac{1}{3}[(2x_1-4-6)^2+(2x_2-4-6)^2+(2x_3-4-6)^2]\\&=\frac{1}{3}[(2x_1-10)^2+(2x_2-10)^2+(2x_3-10)^2]\\&=\frac{1}{3}[4(x_1-5)^2+4(x_2-5)^2+4(x_3-5)^2]\\&=4×\frac{1}{3}[(x_1-5)^2+(x_2-5)^2+(x_3-5)^2]\\&=4×2\\&=8\end{aligned}$

8. 文文想要计算一组数据92,90,94,86,99,85的方差$s_1^2$，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据2,0,4,−4,9,−5，记这组新数据的方差为$s_2^2$，则$s_1^2$ (选填“＞”“＜”或“=”) $s_2^2$。

$=$

解：
原数据的平均数为：
$\overline{x}_1 = \frac{92+90+94+86+99+85}{6} = 91$
$s_1^2 = \frac{1}{6}[(92-91)^2+(90-91)^2+(94-91)^2+(86-91)^2+(99-91)^2+(85-91)^2]$
新数据的平均数为：
$\overline{x}_2 = \frac{2+0+4-4+9-5}{6} = 1$
$s_2^2 = \frac{1}{6}[(2-1)^2+(0-1)^2+(4-1)^2+(-4-1)^2+(9-1)^2+(-5-1)^2]$
两个方差的计算表达式完全一致，因此$s_1^2 = s_2^2$。