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11.如图,当一把遮阳伞撑开时,母线长为2 m,底面半径为1 m,则制作这把遮阳伞至少需要用布料()。
A.$4π\ \mathrm{m}^2$
B.$2π\ \mathrm{m}^2$
C.$π\ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{1}{2}π\ \mathrm{m}^2$
A.$4π\ \mathrm{m}^2$
B.$2π\ \mathrm{m}^2$
C.$π\ \mathrm{m}^2$
D.$\frac{1}{2}π\ \mathrm{m}^2$
答案
B
解析
遮阳伞所需布料的最小面积对应圆锥的侧面积，圆锥侧面积公式为$S=π rl$，其中底面半径$r=1\ \mathrm{m}$，母线长$l=2\ \mathrm{m}$，代入计算得$S=π×1×2=2π\ \mathrm{m^2}$。
12.“云南十八怪”有一怪“斗笠当锅盖”，是指云南竹林较多，许多用具以竹子为原料，而锅盖就形似内地的斗笠，而且用此做锅盖，透气保温，做出来的饭菜更加清香。已知斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为30 cm，高度为20 cm，则该斗笠锅盖的侧面积大约为()。
A.$375π \ \mathrm{cm}^2$
B.$750π \ \mathrm{cm}^2$
C.$75\sqrt{13}π \ \mathrm{cm}^2$
D.$150\sqrt{13}π \ \mathrm{cm}^2$
A.$375π \ \mathrm{cm}^2$
B.$750π \ \mathrm{cm}^2$
C.$75\sqrt{13}π \ \mathrm{cm}^2$
D.$150\sqrt{13}π \ \mathrm{cm}^2$
答案
A
解析
1. 先求底面半径：底面直径为30cm，所以底面半径r=30÷2=15cm。
2. 用勾股定理求圆锥母线长l：已知圆锥高h=20cm，$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25$cm。
3. 代入圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，得$S_{侧}=π×15×25=375π \ \mathrm{cm}^2$。
2. 用勾股定理求圆锥母线长l：已知圆锥高h=20cm，$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25$cm。
3. 代入圆锥侧面积公式$S_{侧}=πrl$，得$S_{侧}=π×15×25=375π \ \mathrm{cm}^2$。
13. 如图,在直角三角形ABC中,$∠ C=90°$,$AC=1$,$BC=2$,以边BC所在直线为轴,把三角形ABC旋转一周,得到的几何体的侧面积是()。
A.$π$
B.$2π$
C.$\sqrt{5}π$
D.$2\sqrt{5}π$
A.$π$
B.$2π$
C.$\sqrt{5}π$
D.$2\sqrt{5}π$
答案
C
解析
以BC所在直线为轴将Rt△ABC旋转一周，得到的几何体是圆锥。
1. 圆锥的底面半径r=AC=1；
2. 由勾股定理计算母线长AB：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
3. 代入圆锥侧面积公式$S_{侧}=π r l$，得$S_{侧}=π×1×\sqrt{5}=\sqrt{5}π$。
1. 圆锥的底面半径r=AC=1；
2. 由勾股定理计算母线长AB：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$；
3. 代入圆锥侧面积公式$S_{侧}=π r l$，得$S_{侧}=π×1×\sqrt{5}=\sqrt{5}π$。
14.已知圆锥的底面半径为1 cm，母线长为3 cm，则其全面积为（）。
A.$π \ \mathrm{cm}^2$
B.$3π \ \mathrm{cm}^2$
C.$4π \ \mathrm{cm}^2$
D.$7π \ \mathrm{cm}^2$
A.$π \ \mathrm{cm}^2$
B.$3π \ \mathrm{cm}^2$
C.$4π \ \mathrm{cm}^2$
D.$7π \ \mathrm{cm}^2$
答案
C
解析
圆锥的全面积为底面积与侧面积之和。
1. 计算底面积：已知底面半径r=1cm，底面积$S_{底}=π r^2=π×1^2=π\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算侧面积：已知母线长l=3cm，侧面积$S_{侧}=π r l=π×1×3=3π\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算全面积：$S_{全}=S_{底}+S_{侧}=π+3π=4π\ \mathrm{cm}^2$。
1. 计算底面积：已知底面半径r=1cm，底面积$S_{底}=π r^2=π×1^2=π\ \mathrm{cm}^2$。
2. 计算侧面积：已知母线长l=3cm，侧面积$S_{侧}=π r l=π×1×3=3π\ \mathrm{cm}^2$。
3. 计算全面积：$S_{全}=S_{底}+S_{侧}=π+3π=4π\ \mathrm{cm}^2$。
15.一个扇形的半径为30 cm，圆心角为$120°$，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（）。
A.10 cm
B.20 cm
C.$10π$ cm
D.$20π$ cm
A.10 cm
B.20 cm
C.$10π$ cm
D.$20π$ cm
答案
A
解析
1. 先计算扇形的弧长，使用弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$，代入$n=120°$，$R=30\mathrm{cm}$，可得弧长$l=\frac{120×π×30}{180}=20π\ \mathrm{cm}$。
2. 圆锥侧面的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为$r$，底面周长公式为$C=2π r$，即$2π r=20π$，解得$r=10\mathrm{cm}$。
2. 圆锥侧面的弧长等于圆锥底面的周长，设圆锥底面半径为$r$，底面周长公式为$C=2π r$，即$2π r=20π$，解得$r=10\mathrm{cm}$。
