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8 计算$3\frac{1}{4}+(-2\frac{3}{5})+5\frac{3}{4}+(-7\frac{2}{5})$时，运算律用得恰当的是（
A.$[3\frac{1}{4}+(-2\frac{3}{5})]+[5\frac{3}{4}+(-7\frac{2}{5})]$
B.$[(-2\frac{3}{5})+5\frac{3}{4}]+[3\frac{1}{4}+(-7\frac{2}{5})]$
C.$[3\frac{1}{4}+(-7\frac{2}{5})+(-2\frac{3}{5})]+5\frac{3}{4}$
D.$(3\frac{1}{4}+5\frac{3}{4})+[(-2\frac{3}{5})+(-7\frac{2}{5})]$
D
）A.$[3\frac{1}{4}+(-2\frac{3}{5})]+[5\frac{3}{4}+(-7\frac{2}{5})]$
B.$[(-2\frac{3}{5})+5\frac{3}{4}]+[3\frac{1}{4}+(-7\frac{2}{5})]$
C.$[3\frac{1}{4}+(-7\frac{2}{5})+(-2\frac{3}{5})]+5\frac{3}{4}$
D.$(3\frac{1}{4}+5\frac{3}{4})+[(-2\frac{3}{5})+(-7\frac{2}{5})]$
答案
8.D
解析
【分析】
这道题考查有理数加法运算律的合理运用，解题时先观察算式中各数的特征：4个加数里有两个带分数的分数部分是分母为4的分数，相加可以凑成整数；另外两个带分数的分数部分是分母为5的负分数，相加也可以凑成整数。我们的解题思路就是利用加法交换律和结合律，把能凑整的同分母数先结合计算，减少通分步骤、简化运算，再对应匹配选项即可。
【解析】
有理数加法运算律包括交换律（$a+b=b+a$）和结合律（$(a+b)+c=a+(b+c)$），合理使用运算律的核心是简化计算：
观察各数特点可发现：
$3\frac{1}{4}+5\frac{3}{4}=(3+5)+(\frac{1}{4}+\frac{3}{4})=9$，可直接凑整；
$(-2\frac{3}{5})+(-7\frac{2}{5})=(-2-7)+(-\frac{3}{5}-\frac{2}{5})=-10$，也可直接凑整；
因此最恰当的运算律使用方式是将这两组分别结合，即$(3\frac{1}{4}+5\frac{3}{4})+[(-2\frac{3}{5})+(-7\frac{2}{5})]$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数加法运算律；凑整法；简便运算
【点评】
本题考查有理数加法运算律的实际应用，解题的关键是观察数字特征，优先将同分母、可凑整的数结合计算，有效降低运算量，是有理数运算的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数加法运算律的合理运用，解题时先观察算式中各数的特征：4个加数里有两个带分数的分数部分是分母为4的分数，相加可以凑成整数；另外两个带分数的分数部分是分母为5的负分数，相加也可以凑成整数。我们的解题思路就是利用加法交换律和结合律，把能凑整的同分母数先结合计算，减少通分步骤、简化运算，再对应匹配选项即可。
【解析】
有理数加法运算律包括交换律（$a+b=b+a$）和结合律（$(a+b)+c=a+(b+c)$），合理使用运算律的核心是简化计算：
观察各数特点可发现：
$3\frac{1}{4}+5\frac{3}{4}=(3+5)+(\frac{1}{4}+\frac{3}{4})=9$，可直接凑整；
$(-2\frac{3}{5})+(-7\frac{2}{5})=(-2-7)+(-\frac{3}{5}-\frac{2}{5})=-10$，也可直接凑整；
因此最恰当的运算律使用方式是将这两组分别结合，即$(3\frac{1}{4}+5\frac{3}{4})+[(-2\frac{3}{5})+(-7\frac{2}{5})]$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
有理数加法运算律；凑整法；简便运算
【点评】
本题考查有理数加法运算律的实际应用，解题的关键是观察数字特征，优先将同分母、可凑整的数结合计算，有效降低运算量，是有理数运算的常见基础题型。
【难度系数】
0.9
9 新考向 结论开放题 分别写出一个含有三个加数且满足条件的等式：
（1）所有的加数都是负数，和是－13：
（2）至少有一个加数是正整数，和是－13：
10 计算：
（1）$(-\dfrac{2}{7})+\dfrac{1}{6}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{5}{7}+\left| -\dfrac{1}{6} \right|$；
（2）$(-1)+2+3+(-4)+(-5)+6+7+(-8)+\dots+(-2021)+2022+2023+(-2024)+(-2025)+2026$.
（1）所有的加数都是负数，和是－13：
答案不唯一，如$(-1)+(-2)+(-10)=-13$
；（2）至少有一个加数是正整数，和是－13：
答案不唯一，如$(-1)+(+2)+(-14)=-13$
.10 计算：
（1）$(-\dfrac{2}{7})+\dfrac{1}{6}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{5}{7}+\left| -\dfrac{1}{6} \right|$；
（2）$(-1)+2+3+(-4)+(-5)+6+7+(-8)+\dots+(-2021)+2022+2023+(-2024)+(-2025)+2026$.
答案
9. 答案不唯一,如(1) $(-1)+(-2)+(-10)=-13$ (2) $(-1)+(+2)+(-14)=-13$
10. (1) 原式$=-\dfrac{1}{14}$
(2) 原式$=[(-1)+2+3+(-4)]+[(-5)+6+7+(-8)]+\dots+[(-2\ 021)+2\ 022+2\ 023+(-2\ 024)]+[(-2\ 025)+2\ 026]=1$
10. (1) 原式$=-\dfrac{1}{14}$
(2) 原式$=[(-1)+2+3+(-4)]+[(-5)+6+7+(-8)]+\dots+[(-2\ 021)+2\ 022+2\ 023+(-2\ 024)]+[(-2\ 025)+2\ 026]=1$
解析
【分析】
第9题是结论开放题，紧扣题干要求构造等式即可：
（1）要求三个加数都是负数、和为-13，只需选取三个负数，使它们的绝对值之和为13，相加即可满足条件；
（2）要求至少有一个正整数加数、和为-13，先确定1个或多个正整数，再根据和为-13计算剩余负数加数的和，构造等式即可。
第10题是有理数的加法运算，利用加法交换律、结合律简化计算：
（1）先化简绝对值，再将同分母的分数结合到一起计算，减少通分步骤，简化运算；
（2）观察算式规律，发现每4个数为一组，每组的计算结果均为0，先计算完整分组的和，再计算剩余未分组的数的和即可。
【解析】
9. （1）示例：选取三个负数-1、-2、-10，三者绝对值和为$1+2+10=13$，因此$(-1)+(-2)+(-10)=-13$（答案不唯一，满足三个负数相加和为-13即可）；
（2）示例：选取正整数2，剩余两个加数的和为$-13-2=-15$，选取-1和-14，因此$(-1)+(+2)+(-14)=-13$（答案不唯一，满足至少1个正整数、三个数相加和为-13即可）。
10. （1）先化简绝对值，再利用加法交换律、结合律分组计算：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{2}{7})+\dfrac{1}{6}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{5}{7}+\dfrac{1}{6}\\&=[(-\dfrac{2}{7})+\dfrac{5}{7}]+[\dfrac{1}{6}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{1}{6}]\\&=\dfrac{3}{7}+(-\dfrac{1}{2})\\&=\dfrac{6}{14}-\dfrac{7}{14}\\&=-\dfrac{1}{14}\end{aligned}$
（2）观察算式可知，每4个连续数为一组，每组的和为$(-1)+2+3+(-4)=0$；
2026个数共可分为$2026÷4=506$组余2个数，剩余两个数为-2025和2026，因此：
$\begin{aligned}原式&=506×0 + (-2025)+2026\\&=1\end{aligned}$
【答案】
9. （1）$\boldsymbol{(-1)+(-2)+(-10)=-13}$（答案不唯一）
（2）$\boldsymbol{(-1)+(+2)+(-14)=-13}$（答案不唯一）
10. （1）$\boldsymbol{-\dfrac{1}{14}}$
（2）$\boldsymbol{1}$
【知识点】
有理数加法运算律、绝对值化简、规律型有理数计算
【点评】
第9题为开放类题目，灵活考察有理数加法的基本规则，只要符合题干要求即可；第10题侧重有理数加法运算律的应用，掌握分组法、同类型数结合法可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
第9题是结论开放题，紧扣题干要求构造等式即可：
（1）要求三个加数都是负数、和为-13，只需选取三个负数，使它们的绝对值之和为13，相加即可满足条件；
（2）要求至少有一个正整数加数、和为-13，先确定1个或多个正整数，再根据和为-13计算剩余负数加数的和，构造等式即可。
第10题是有理数的加法运算，利用加法交换律、结合律简化计算：
（1）先化简绝对值，再将同分母的分数结合到一起计算，减少通分步骤，简化运算；
（2）观察算式规律，发现每4个数为一组，每组的计算结果均为0，先计算完整分组的和，再计算剩余未分组的数的和即可。
【解析】
9. （1）示例：选取三个负数-1、-2、-10，三者绝对值和为$1+2+10=13$，因此$(-1)+(-2)+(-10)=-13$（答案不唯一，满足三个负数相加和为-13即可）；
（2）示例：选取正整数2，剩余两个加数的和为$-13-2=-15$，选取-1和-14，因此$(-1)+(+2)+(-14)=-13$（答案不唯一，满足至少1个正整数、三个数相加和为-13即可）。
10. （1）先化简绝对值，再利用加法交换律、结合律分组计算：
$\begin{aligned}原式&=(-\dfrac{2}{7})+\dfrac{1}{6}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{5}{7}+\dfrac{1}{6}\\&=[(-\dfrac{2}{7})+\dfrac{5}{7}]+[\dfrac{1}{6}+(-\dfrac{5}{6})+\dfrac{1}{6}]\\&=\dfrac{3}{7}+(-\dfrac{1}{2})\\&=\dfrac{6}{14}-\dfrac{7}{14}\\&=-\dfrac{1}{14}\end{aligned}$
（2）观察算式可知，每4个连续数为一组，每组的和为$(-1)+2+3+(-4)=0$；
2026个数共可分为$2026÷4=506$组余2个数，剩余两个数为-2025和2026，因此：
$\begin{aligned}原式&=506×0 + (-2025)+2026\\&=1\end{aligned}$
【答案】
9. （1）$\boldsymbol{(-1)+(-2)+(-10)=-13}$（答案不唯一）
（2）$\boldsymbol{(-1)+(+2)+(-14)=-13}$（答案不唯一）
10. （1）$\boldsymbol{-\dfrac{1}{14}}$
（2）$\boldsymbol{1}$
【知识点】
有理数加法运算律、绝对值化简、规律型有理数计算
【点评】
第9题为开放类题目，灵活考察有理数加法的基本规则，只要符合题干要求即可；第10题侧重有理数加法运算律的应用，掌握分组法、同类型数结合法可大幅简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
11 一只蚂蚁从点O出发，在一条直线上来回爬行.假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则蚂蚁爬行的各段路程依次为(单位:cm):+5,-3,+10,-8,-6,+12,-10.
（1）蚂蚁最后是否回到了出发点O?
（2）求蚂蚁与出发点O之间的最远距离.
（3）在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1颗糖，那么蚂蚁一共可以得到多少颗糖？
（1）蚂蚁最后是否回到了出发点O?
（2）求蚂蚁与出发点O之间的最远距离.
（3）在爬行过程中，如果每爬行1 cm奖励1颗糖，那么蚂蚁一共可以得到多少颗糖？
答案
11. (1) 因为$(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)=0(\mathrm{cm})$,所以蚂蚁最后回到了出发点$O$
(2) 根据记录,蚂蚁与出发点$O$之间的距离分别为$5\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm},12\ \mathrm{cm},4\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},0\ \mathrm{cm}$,所以蚂蚁与出发点$O$之间的最远距离是$12\ \mathrm{cm}$
(3) $|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=54(\mathrm{cm}),54×1=54(\mathrm{颗})$,所以蚂蚁一共可以得到54颗糖
(2) 根据记录,蚂蚁与出发点$O$之间的距离分别为$5\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm},12\ \mathrm{cm},4\ \mathrm{cm},2\ \mathrm{cm},10\ \mathrm{cm},0\ \mathrm{cm}$,所以蚂蚁与出发点$O$之间的最远距离是$12\ \mathrm{cm}$
(3) $|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|=54(\mathrm{cm}),54×1=54(\mathrm{颗})$,所以蚂蚁一共可以得到54颗糖
解析
【分析】
（1）要判断蚂蚁是否回到出发点O，只需计算所有爬行路程的代数和，若结果为0，说明最终位移为0，就回到了出发点，反之则没有回到。
（2）求离出发点的最远距离，需要依次计算每爬完一段后蚂蚁到O点的距离（即每次路程累加结果的绝对值），再比较所有距离的大小，最大的数值就是最远距离。
（3）奖励糖的数量仅和爬行总路程有关，和爬行方向无关，因此需要计算所有路程的绝对值的和，总路程为多少厘米就能得到多少颗糖。
【解析】
（1）将所有爬行的路程相加：
$\begin{aligned}&(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)\\=&5-3+10-8-6+12-10\\=&0(\mathrm{cm})\end{aligned}$
计算结果为0，说明蚂蚁最后回到了出发点O。
（2）依次计算每次爬行后距离出发点O的距离：
第一次爬完：$|+5|=5\ \mathrm{cm}$
第二次爬完：$|+5+(-3)|=2\ \mathrm{cm}$
第三次爬完：$|2+10|=12\ \mathrm{cm}$
第四次爬完：$|12+(-8)|=4\ \mathrm{cm}$
第五次爬完：$|4+(-6)|=2\ \mathrm{cm}$
第六次爬完：$|-2+12|=10\ \mathrm{cm}$
第七次爬完：$|10+(-10)|=0\ \mathrm{cm}$
对比所有距离可知，最大距离为12cm。
（3）计算总爬行路程，即各段路程的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|\\=&5+3+10+8+6+12+10\\=&54(\mathrm{cm})\end{aligned}$
每爬行1cm奖励1颗糖，总糖数为$54×1=54$颗。
【答案】
（1）蚂蚁最后回到了出发点O；（2）蚂蚁与出发点O之间的最远距离是12cm；（3）蚂蚁一共可以得到54颗糖。
【知识点】
正负数的意义，有理数加法运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合实际场景考察有理数相关知识的应用，解题的核心是区分位移和路程的差异：判断最终位置、距离出发点的远近时需要考虑方向，用代数和计算；计算总路程时不需要考虑方向，需取各段路程的绝对值求和，理清二者的区别即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
（1）要判断蚂蚁是否回到出发点O，只需计算所有爬行路程的代数和，若结果为0，说明最终位移为0，就回到了出发点，反之则没有回到。
（2）求离出发点的最远距离，需要依次计算每爬完一段后蚂蚁到O点的距离（即每次路程累加结果的绝对值），再比较所有距离的大小，最大的数值就是最远距离。
（3）奖励糖的数量仅和爬行总路程有关，和爬行方向无关，因此需要计算所有路程的绝对值的和，总路程为多少厘米就能得到多少颗糖。
【解析】
（1）将所有爬行的路程相加：
$\begin{aligned}&(+5)+(-3)+(+10)+(-8)+(-6)+(+12)+(-10)\\=&5-3+10-8-6+12-10\\=&0(\mathrm{cm})\end{aligned}$
计算结果为0，说明蚂蚁最后回到了出发点O。
（2）依次计算每次爬行后距离出发点O的距离：
第一次爬完：$|+5|=5\ \mathrm{cm}$
第二次爬完：$|+5+(-3)|=2\ \mathrm{cm}$
第三次爬完：$|2+10|=12\ \mathrm{cm}$
第四次爬完：$|12+(-8)|=4\ \mathrm{cm}$
第五次爬完：$|4+(-6)|=2\ \mathrm{cm}$
第六次爬完：$|-2+12|=10\ \mathrm{cm}$
第七次爬完：$|10+(-10)|=0\ \mathrm{cm}$
对比所有距离可知，最大距离为12cm。
（3）计算总爬行路程，即各段路程的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|\\=&5+3+10+8+6+12+10\\=&54(\mathrm{cm})\end{aligned}$
每爬行1cm奖励1颗糖，总糖数为$54×1=54$颗。
【答案】
（1）蚂蚁最后回到了出发点O；（2）蚂蚁与出发点O之间的最远距离是12cm；（3）蚂蚁一共可以得到54颗糖。
【知识点】
正负数的意义，有理数加法运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合实际场景考察有理数相关知识的应用，解题的核心是区分位移和路程的差异：判断最终位置、距离出发点的远近时需要考虑方向，用代数和计算；计算总路程时不需要考虑方向，需取各段路程的绝对值求和，理清二者的区别即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
