1. (2025·长沙)如图，AC，BC为$\odot O$的弦，连接$OA$，$OB$，$OC$.若$∠ AOB=40°$，$∠ OCA=30°$，则$∠ BCO$的度数为 （）

A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$

1. C

【分析】
解题时先利用同圆的半径相等，得到△OAC和△OBC均为等腰三角形；首先根据等腰三角形等边对等角的性质，结合已知∠OCA=30°算出圆心角∠AOC的度数；再通过角的和差关系求出∠BOC的度数；最后在等腰△OBC中，结合三角形内角和定理即可求出∠BCO的度数。
【解析】
∵ OA、OC都是$\odot O$的半径
∴ OA=OC，即△OAC为等腰三角形
∵ ∠OCA=30°
∴ ∠OAC=∠OCA=30°
由三角形内角和为180°可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°
又
∵ ∠AOB=40°
∴ ∠BOC=∠AOC - ∠AOB=120°-40°=80°
∵ OB、OC都是$\odot O$的半径
∴ OB=OC，即△OBC为等腰三角形
∴ ∠BCO=∠CBO
则$∠ BCO=(180°-∠ BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°$
【答案】
C
【知识点】
同圆半径相等；等腰三角形性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是圆的性质与三角形知识结合的基础题，解题的核心是抓住同圆半径相等构造等腰三角形，再结合角的和差与三角形内角和进行角度计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.7

2. 如图，在$\odot O$中，弦$AB$，$CD$相交于点$P$。若$∠ A=48°$，$∠ APD=80°$，则$∠ B$的度数为（）

A.$32°$
B.$42°$
C.$48°$
D.$52°$

2. A

【分析】
解题时先利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合已知的∠A和∠APD的度数求出∠C的度数；再根据圆周角的推论：同弧所对的圆周角相等，可知∠B和∠C相等，由此即可求出∠B的度数。
【解析】
∵∠APD是△APC的外角，
∴∠APD = ∠A + ∠C，
将∠A=48°，∠APD=80°代入得：
∠C = ∠APD - ∠A = 80° - 48° = 32°，
又
∵∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，
∴∠B = ∠C = 32°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
三角形外角性质，同弧所对圆周角相等
【点评】
本题是基础计算题，将三角形外角性质和圆周角性质结合考查，解题的关键是准确识别同弧所对的圆周角，熟练掌握基础几何性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

3. 如图，在$\odot O$中，点$A$，$B$，$C$在圆上，$∠ ACB=45°$，$AB=2\sqrt{2}$，则$\odot O$的半径$OA$的长是（）

A.$\sqrt{2}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$3$

3. B

【分析】
解题时首先回忆圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍。首先找到和$∠ ACB$同弧$\overset{\frown}{AB}$的圆心角$∠ AOB$，算出$∠ AOB$的度数；再结合$OA$、$OB$都是圆的半径，长度相等，可判断$△ AOB$是等腰直角三角形；最后已知斜边$AB$的长度，利用勾股定理即可求出半径$OA$的长。
【解析】
根据圆周角定理，同弧$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角$∠ AOB$是圆周角$∠ ACB$的2倍，因此：
$∠ AOB=2∠ ACB=2×45°=90°$
$\because OA$和$OB$都是$\odot O$的半径，$\therefore OA=OB$，即$△ AOB$是等腰直角三角形。
设$OA=OB=r$，在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$OA^2+OB^2=AB^2$
代入$AB=2\sqrt{2}$，得：
$r^2+r^2=(2\sqrt{2})^2$
$2r^2=8$
$r^2=4$
解得$r=2$（半径为正数，舍去负根），即$OA=2$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，通过同弧对应的圆周角推导出圆心角的度数，构造出直角三角形后结合勾股定理计算即可。
【难度系数】
0.8

4. 如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为。

4. $52.5°$

【分析】首先，量角器的外弧为半圆，A、B、D都在该半圆对应的圆上，因此∠BAD是该圆的圆周角。回忆圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半，因此解题步骤为：1. 确定∠BAD所对的弧；2. 从量角器读取该弧的度数；3. 利用圆周角定理计算角的度数。
【解析】解：
∵量角器的外弧是半圆，点A、B、D均在该半圆对应的圆上，
∴∠BAD是圆的圆周角，它所对的弧为弧BD。
观察量角器刻度可得弧BD的度数为105°，根据圆周角定理：
$∠ BAD=\frac{1}{2}×$弧BD的度数$=\frac{1}{2}×105°=52.5°$。
【答案】$52.5°$
【知识点】1. 圆周角定理 2. 量角器的使用
【点评】本题结合生活中的量角器考查圆周角定理的实际应用，解题的关键是准确判断圆周角所对的弧，正确读取量角器上的刻度，属于基础应用题。
【难度系数】0.7

5. 如图，$\odot O$的弦$AB$，$CD$的延长线相交于点$P$，且$AB=CD$。求证：$PA=PC$。

5. 如图，连接AC，$\because AB=CD,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CD}$,即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB},\therefore ∠ C=∠ A,\therefore PA=PC.$

【分析】
要证明$PA=PC$，可转化为证明$△ PAC$为等腰三角形，即证明$∠ A=∠ C$。结合圆的性质：同圆中相等的弦对应相等的弧，相等的弧对应相等的圆周角。我们可以先利用已知的$AB=CD$推导对应弧相等，再通过叠加公共弧$\overset{\frown}{BD}$得到等弧，进而推出两个圆周角相等，最终得到边相等的结论。
【解析】
证明：如图，连接$AC$，
$\because$ 在$\odot O$中，$AB=CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$（同圆中相等的弦所对的劣弧相等），
$\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CD}$，即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB}$，
$\therefore ∠ C=∠ A$（同圆中相等的弧所对的圆周角相等），
$\therefore PA=PC$（等角对等边）。
【答案】
如图，连接AC，$\because AB=CD,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD},\therefore \overset{\frown}{AB}+\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}+\overset{\frown}{CD}$,即$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{CB},\therefore ∠ C=∠ A,\therefore PA=PC.$
【知识点】
弦弧关系、圆周角性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是圆性质的基础应用题，解题关键是合理添加辅助线$AC$，将边相等的证明转化为圆周角相等的证明，熟练掌握同圆中弦、弧、圆周角的对应关系即可快速解题。
【难度系数】
0.7

6. 如图，已知AB为$\odot O$的直径，点C，D都在$\odot O$上，且C，D位于AB的两侧，若$OD⊥ AB$，则CD一定平分$∠ ACB$吗？为什么？

6. CD 一定平分$∠ACB$. 理由: $\because OD ⊥ AB, \therefore ∠ AOD=∠ DOB=90°, \therefore ∠ ACD=45°, ∠ BCD=45°,$$\therefore ∠ ACD=∠ BCD$,即CD平分$∠ ACB.$

【分析】
要判断CD是否平分∠ACB，本质是判断∠ACD和∠BCD是否相等。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，因此我们可以先找这两个圆周角分别对应的圆心角，验证两个圆心角是否相等。已知OD垂直于直径AB，可直接得到∠AOD、∠DOB都是90°，它们分别是弧AD、弧BD对应的圆心角，据此就能推出两个圆周角的度数相等，从而得到结论。
【解析】
CD一定平分$∠ACB$，理由如下：
$\because OD ⊥ AB$，AB是$\odot O$的直径，
$\therefore ∠AOD=∠DOB=90°$，
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得：
$∠ ACD=\frac{1}{2}∠ AOD=45°$，$∠ BCD=\frac{1}{2}∠ DOB=45°$，
$\therefore ∠ACD=∠BCD$，即CD平分$∠ACB$。
【答案】
CD 一定平分$∠ACB$. 理由: $\because OD ⊥ AB, \therefore ∠ AOD=∠ DOB=90°, \therefore ∠ ACD=45°, ∠ BCD=45°,$$\therefore ∠ ACD=∠ BCD$,即CD平分$∠ ACB.$
【知识点】
圆周角定理，垂线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于圆周角定理的基础应用题型，解题核心是将证明圆周角相等转化为证明其对应的圆心角相等，掌握圆周角定理就能轻松求解。
【难度系数】
0.8

7. 如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，点E在对角线AC上，$EC=BC=DC$.
（1）若$∠ CBD=39°$，求$∠ BAD$的度数；
（2）求证：$∠ 1=∠ 2$.

7. (1) $\because BC=DC,\therefore ∠ CBD=∠ CDB=39°. \because ∠ BAC=∠ CDB=39°,∠ CAD=∠ CBD=39°,\therefore ∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=39°+39°=78°$；(2) $\because EC=BC,\therefore ∠ CEB=∠ CBE$,而$∠ CEB=∠ 2+∠ BAE,∠ CBE=∠ 1+∠ CBD,\therefore ∠ 2+∠ BAE=∠ 1+∠ CBD. \because ∠ BAE=∠ BDC=∠ CBD,\therefore ∠ 1=∠ 2.$

【分析】
（1）要求∠BAD的度数，可将其拆分为∠BAC与∠CAD的和；根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BAC=∠CDB、∠CAD=∠CBD；再结合BC=DC，由等腰三角形等边对等角得∠CDB=∠CBD，代入已知角度即可计算结果。
（2）要证明∠1=∠2，先由EC=BC得到∠CEB=∠CBE；再根据三角形外角性质和角的和的关系，将∠CEB、∠CBE分别拆分为含∠2、∠1的表达式；最后结合同弧所对圆周角相等的性质，消去等式两边相等的角即可得证。
【解析】
（1）解：$\because BC=DC$，
$\therefore ∠ CBD=∠ CDB=39°$（等腰三角形等边对等角），
$\because$ 同弧$BC$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ BAC=∠ CDB=39°$，
$\because$ 同弧$CD$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ CAD=∠ CBD=39°$，
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC+∠ CAD=39°+39°=78°$。
（2）证明：$\because EC=BC$，
$\therefore ∠ CEB=∠ CBE$（等腰三角形等边对等角），
$\because ∠ CEB$是$△ ABE$的外角，$\therefore ∠ CEB=∠ 2+∠ BAE$，
又$\because ∠ CBE=∠ 1+∠ CBD$，
$\therefore ∠ 2+∠ BAE=∠ 1+∠ CBD$，
$\because$ 同弧$BC$所对的圆周角相等，$\therefore ∠ BAE=∠ BDC$，
又$\because BC=DC$，$\therefore ∠ BDC=∠ CBD$，即$∠ BAE=∠ CBD$，
等式两边同时减去相等的角，可得$∠ 1=∠ 2$。
【答案】
（1）$\boxed{78°}$；（2）证明成立，如上。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是熟练运用同弧所对圆周角相等、等腰三角形等边对等角的性质，通过角的拆分与等量代换完成计算和证明，是圆周角章节的典型常考题。
【难度系数】
0.7