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4. 如图所示，在平面直角坐标系中，直线$l_1$为$y=3x+1$，与y轴交于点A；直线$l_2$为$y=kx+b$，与直线$y=-x$平行，且与直线$l_1$交于点B（1，m），与y轴交于点C。
（1）求m的值以及直线$l_2$的解析式；
（2）点P在直线$l_2$上，且$PA=PC$，求点P的坐标；
（1）求m的值以及直线$l_2$的解析式；
（2）点P在直线$l_2$上，且$PA=PC$，求点P的坐标；
答案
(1) m 的值为 4，直线$l_2$的解析式为$y=-x+5$。
(2) 当$x=0$时，$y=3x+1=1$；当$x=0$时，$y=-x+5=5$。所以A(0, 1)，C(0, 5)。
因为$PA=PC$，所以点P的纵坐标为 3。
所以$3=-x+5$，解得$x=2$。所以P的坐标为(2, 3)。
(2) 当$x=0$时，$y=3x+1=1$；当$x=0$时，$y=-x+5=5$。所以A(0, 1)，C(0, 5)。
因为$PA=PC$，所以点P的纵坐标为 3。
所以$3=-x+5$，解得$x=2$。所以P的坐标为(2, 3)。
解析
【分析】
（1）求m的值：已知点B(1,m)在直线$l_1$上，将点B的横坐标代入$l_1$的解析式即可求出m；求直线$l_2$的解析式：首先根据两直线平行时一次项系数相等，得到$l_2$的k值，再将求出的点B坐标代入$l_2$的解析式，解出b的值即可得到$l_2$的解析式。
（2）首先求A、C两点的坐标，两点都在y轴上，令x=0分别代入两条直线的解析式就能得到两点坐标；已知$PA=PC$，说明点P在线段AC的垂直平分线上，先求出AC的垂直平分线，再结合点P在$l_2$上，代入求解即可得到点P的坐标。
【解析】
（1）
∵点$B(1, m)$在直线$l_1:y=3x+1$上
∴将$x=1$代入解析式得：$m = 3×1 +1 = 4$，即点B坐标为$(1,4)$
∵直线$l_2$与直线$y=-x$平行，平行直线的一次项系数相等
∴$k=-1$，即直线$l_2$的解析式为$y=-x+b$
将$B(1,4)$代入$y=-x+b$得：$4 = -1 + b$，解得$b=5$
∴直线$l_2$的解析式为$y=-x+5$
（2）求A点坐标：直线$l_1$与y轴交于A，令$x=0$，代入$l_1$解析式得：$y=3×0+1=1$，即$A(0,1)$
求C点坐标：直线$l_2$与y轴交于C，令$x=0$，代入$l_2$解析式得：$y=-0+5=5$，即$C(0,5)$
∵$PA=PC$，
∴点P在线段AC的垂直平分线上
线段AC在y轴上，中点纵坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，AC为竖直线，其垂直平分线为水平线$y=3$
∵点P在直线$l_2$上，将$y=3$代入$y=-x+5$得：$3 = -x +5$，解得$x=2$
∴点P的坐标为$(2,3)$
【答案】
(1) $m=4$，直线$l_2$的解析式为$y=-x+5$；
(2) 点P的坐标为$(2, 3)$。
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 垂直平分线的性质
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数平行的性质、待定系数法的应用，以及垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是结合函数与几何的性质逐步推导，是一次函数模块的典型常考题。
【难度系数】
0.7
（1）求m的值：已知点B(1,m)在直线$l_1$上，将点B的横坐标代入$l_1$的解析式即可求出m；求直线$l_2$的解析式：首先根据两直线平行时一次项系数相等，得到$l_2$的k值，再将求出的点B坐标代入$l_2$的解析式，解出b的值即可得到$l_2$的解析式。
（2）首先求A、C两点的坐标，两点都在y轴上，令x=0分别代入两条直线的解析式就能得到两点坐标；已知$PA=PC$，说明点P在线段AC的垂直平分线上，先求出AC的垂直平分线，再结合点P在$l_2$上，代入求解即可得到点P的坐标。
【解析】
（1）
∵点$B(1, m)$在直线$l_1:y=3x+1$上
∴将$x=1$代入解析式得：$m = 3×1 +1 = 4$，即点B坐标为$(1,4)$
∵直线$l_2$与直线$y=-x$平行，平行直线的一次项系数相等
∴$k=-1$，即直线$l_2$的解析式为$y=-x+b$
将$B(1,4)$代入$y=-x+b$得：$4 = -1 + b$，解得$b=5$
∴直线$l_2$的解析式为$y=-x+5$
（2）求A点坐标：直线$l_1$与y轴交于A，令$x=0$，代入$l_1$解析式得：$y=3×0+1=1$，即$A(0,1)$
求C点坐标：直线$l_2$与y轴交于C，令$x=0$，代入$l_2$解析式得：$y=-0+5=5$，即$C(0,5)$
∵$PA=PC$，
∴点P在线段AC的垂直平分线上
线段AC在y轴上，中点纵坐标为$\frac{1+5}{2}=3$，AC为竖直线，其垂直平分线为水平线$y=3$
∵点P在直线$l_2$上，将$y=3$代入$y=-x+5$得：$3 = -x +5$，解得$x=2$
∴点P的坐标为$(2,3)$
【答案】
(1) $m=4$，直线$l_2$的解析式为$y=-x+5$；
(2) 点P的坐标为$(2, 3)$。
【知识点】
1. 一次函数的性质
2. 待定系数法求解析式
3. 垂直平分线的性质
【点评】
本题是一次函数基础综合题，考查了一次函数平行的性质、待定系数法的应用，以及垂直平分线性质的灵活运用，解题的关键是结合函数与几何的性质逐步推导，是一次函数模块的典型常考题。
【难度系数】
0.7
（3）设点D在直线$l_1$上，且点D的横坐标为a；点E在直线$l_2$上，且$DE // y$轴。若$DE=6$，求a的值。
答案
(3) 由题意得D(a, 3a+1)，E(a, -a+5)。
因为$DE=6$，所以$|3a+1-(-a+5)|=6$，解得$a=\frac{5}{2}$或$a=-\frac{1}{2}$。
因为$DE=6$，所以$|3a+1-(-a+5)|=6$，解得$a=\frac{5}{2}$或$a=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
首先由$DE// y轴$可知，点D和点E的横坐标相等，均为a。结合此前求出的直线$l_1$、$l_2$的解析式，即可分别写出D、E两点的坐标。竖直线上两点的距离等于两点纵坐标差的绝对值（因不确定D、E纵坐标的大小关系，加绝对值可避免漏解），再结合$DE=6$列方程求解即可得到a的值。
【解析】
解：由题意可知直线$l_1$的解析式为$y=3x+1$，直线$l_2$的解析式为$y=-x+5$。
∵ 点D在直线$l_1$上，横坐标为a，
∴ 点D的坐标为$(a, 3a+1)$，
∵ $DE// y轴$，
∴ 点E的横坐标也为a，
又
∵ 点E在直线$l_2$上，
∴ 点E的坐标为$(a, -a+5)$，
∵ $DE=6$，竖直线上两点距离为纵坐标差的绝对值，
∴ $\left|3a+1-(-a+5)\right|=6$，
化简得：$\left|4a-4\right|=6$，
分两种情况求解：
① 当$4a-4=6$时，$4a=10$，解得$a=\frac{5}{2}$；
② 当$4a-4=-6$时，$4a=-2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
【答案】
$a$的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{1}{2}$
【知识点】
1.一次函数点的坐标特征
2.平行于y轴的点的坐标性质
3.绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是掌握平行于坐标轴的点的坐标规律，易错点是计算两点距离时忘记加绝对值，导致漏解。
【难度系数】
0.7
首先由$DE// y轴$可知，点D和点E的横坐标相等，均为a。结合此前求出的直线$l_1$、$l_2$的解析式，即可分别写出D、E两点的坐标。竖直线上两点的距离等于两点纵坐标差的绝对值（因不确定D、E纵坐标的大小关系，加绝对值可避免漏解），再结合$DE=6$列方程求解即可得到a的值。
【解析】
解：由题意可知直线$l_1$的解析式为$y=3x+1$，直线$l_2$的解析式为$y=-x+5$。
∵ 点D在直线$l_1$上，横坐标为a，
∴ 点D的坐标为$(a, 3a+1)$，
∵ $DE// y轴$，
∴ 点E的横坐标也为a，
又
∵ 点E在直线$l_2$上，
∴ 点E的坐标为$(a, -a+5)$，
∵ $DE=6$，竖直线上两点距离为纵坐标差的绝对值，
∴ $\left|3a+1-(-a+5)\right|=6$，
化简得：$\left|4a-4\right|=6$，
分两种情况求解：
① 当$4a-4=6$时，$4a=10$，解得$a=\frac{5}{2}$；
② 当$4a-4=-6$时，$4a=-2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
【答案】
$a$的值为$\frac{5}{2}$或$-\frac{1}{2}$
【知识点】
1.一次函数点的坐标特征
2.平行于y轴的点的坐标性质
3.绝对值方程求解
【点评】
本题是一次函数的基础应用题型，解题核心是掌握平行于坐标轴的点的坐标规律，易错点是计算两点距离时忘记加绝对值，导致漏解。
【难度系数】
0.7
