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8. [2025苏州星湾学校期中] 如图，$△ ABC$中$BC$边上的高为$h_1$，$△ DEF$中$DE$边上的高为$h_2$，若$AC=EF$，下列结论中正确的是（
A.$h_1 ＜ h_2$
B.$h_1 ＞ h_2$
C.$h_1 = h_2$
D.无法确定
第8题图 第9题图
C
）A.$h_1 ＜ h_2$
B.$h_1 ＞ h_2$
C.$h_1 = h_2$
D.无法确定
第8题图 第9题图
答案
如图,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M,过点 F 作 FN⊥DE,交DE 的延长线于点 N,则 AM = h₁,FN = h₂.
∵ AM⊥BC,FN⊥DE,
∴ ∠AMC = ∠FNE = 90°.
∵ ∠FEN = ∠FDE + ∠DFE = 35° + 30° = 65°,
∴ ∠ACM = ∠FEN. 又
∵ AC = EF,
∴ △AMC ≌ △FNE(AAS),
∴ AM = FN,
∴ h₁ = h₂.
解析
【分析】
要比较$h_1$和$h_2$的大小，首先根据三角形高的定义作出两条高，将问题转化为证明两条垂线段相等。已知$AC=EF$，可尝试证明包含$h_1$、$AC$的直角三角形和包含$h_2$、$EF$的直角三角形全等：先利用三角形外角性质求出$∠ FEN$的度数，发现它与$∠ ACB$相等，再结合垂直得到的直角相等、已知的$AC=EF$，即可用AAS证明两个三角形全等，进而得到两条高相等。
【解析】
解：过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$，过点$F$作$FN⊥ DE$，交$DE$的延长线于点$N$，则$AM = h_1$，$FN = h_2$。
$\because AM⊥ BC$，$FN⊥ DE$，
$\therefore ∠ AMC = ∠ FNE = 90°$。
$\because ∠ FEN$是$△ DEF$的外角，
$\therefore ∠ FEN = ∠ FDE + ∠ DFE = 35° + 30° = 65°$，
$\therefore ∠ ACM = ∠ FEN = 65°$。
在$△ AMC$和$△ FNE$中：
$\begin{cases}∠ AMC = ∠ FNE \\∠ ACM = ∠ FEN \\AC = EF\end{cases}$
$\therefore △ AMC ≌ △ FNE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AM = FN$，即$h_1 = h_2$。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题解题的核心是通过作三角形的高构造全等三角形，结合三角形外角性质得到对应角相等的条件，再利用全等三角形的性质推导线段关系，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
要比较$h_1$和$h_2$的大小，首先根据三角形高的定义作出两条高，将问题转化为证明两条垂线段相等。已知$AC=EF$，可尝试证明包含$h_1$、$AC$的直角三角形和包含$h_2$、$EF$的直角三角形全等：先利用三角形外角性质求出$∠ FEN$的度数，发现它与$∠ ACB$相等，再结合垂直得到的直角相等、已知的$AC=EF$，即可用AAS证明两个三角形全等，进而得到两条高相等。
【解析】
解：过点$A$作$AM⊥ BC$于点$M$，过点$F$作$FN⊥ DE$，交$DE$的延长线于点$N$，则$AM = h_1$，$FN = h_2$。
$\because AM⊥ BC$，$FN⊥ DE$，
$\therefore ∠ AMC = ∠ FNE = 90°$。
$\because ∠ FEN$是$△ DEF$的外角，
$\therefore ∠ FEN = ∠ FDE + ∠ DFE = 35° + 30° = 65°$，
$\therefore ∠ ACM = ∠ FEN = 65°$。
在$△ AMC$和$△ FNE$中：
$\begin{cases}∠ AMC = ∠ FNE \\∠ ACM = ∠ FEN \\AC = EF\end{cases}$
$\therefore △ AMC ≌ △ FNE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AM = FN$，即$h_1 = h_2$。
【答案】
C
【知识点】
三角形高的定义，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题解题的核心是通过作三角形的高构造全等三角形，结合三角形外角性质得到对应角相等的条件，再利用全等三角形的性质推导线段关系，是全等三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图，$∠ ABC = ∠ ACD = 90°$，$BC = 5$，$AC = CD$，则$△ BCD$的面积为________。
答案
12.5
解题思路:作 DH⊥BC,证明△ABC≌△CHD,然后根据全等三角形的性质,得 DH = BC = 5,再根据三角形的面积公式计算,得到答案.
如图,过点 D 作 DH⊥BC,交 BC 的延长线于点 H.
∵ ∠ABC = 90°,
∴ ∠BAC + ∠ACB = 90°.
∵ ∠ACD = 90°,
∴ ∠HCD + ∠ACB = 90°,
∴ ∠BAC = ∠HCD. 在△ABC 和△CHD 中,
$\begin{cases} ∠ABC = ∠CHD, \\ ∠BAC = ∠HCD, \\ AC = CD, \end{cases}$
∴ △ABC≌△CHD(AAS),
∴ DH = BC = 5,
∴ △BCD 的面积为$\frac{1}{2}BC·DH = \frac{1}{2}×5×5 = 12.5$.
解析
【分析】
要求△BCD的面积，已知底边BC=5，只需先求出BC边上的高即可。我们可以过点D作DH垂直于BC的延长线，DH即为△BCD中BC边上的高。结合已知∠ABC和∠ACD均为90°，利用同角的余角相等可推出∠BAC=∠HCD，再结合AC=CD的条件，即可用AAS证明△ABC与△CHD全等，得到DH=BC=5，最后代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
如图，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H。
∵ ∠ABC = 90°，
∴ ∠BAC + ∠ACB = 90°。
∵ ∠ACD = 90°，
∴ ∠HCD + ∠ACB = 90°，
∴ ∠BAC = ∠HCD。
在△ABC 和△CHD 中：
$\begin{cases} ∠ABC = ∠CHD=90°, \\ ∠BAC = ∠HCD, \\ AC = CD, \end{cases}$
∴ △ABC≌△CHD（AAS），
∴ DH = BC = 5。
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2} · BC · DH = \frac{1}{2}×5×5 = 12.5$。
【答案】
12.5
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），同角的余角相等，三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题关键是通过构造垂线得到全等三角形，将未知的高转化为已知边长，考查了学生对全等判定定理的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
要求△BCD的面积，已知底边BC=5，只需先求出BC边上的高即可。我们可以过点D作DH垂直于BC的延长线，DH即为△BCD中BC边上的高。结合已知∠ABC和∠ACD均为90°，利用同角的余角相等可推出∠BAC=∠HCD，再结合AC=CD的条件，即可用AAS证明△ABC与△CHD全等，得到DH=BC=5，最后代入三角形面积公式就能算出结果。
【解析】
如图，过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H。
∵ ∠ABC = 90°，
∴ ∠BAC + ∠ACB = 90°。
∵ ∠ACD = 90°，
∴ ∠HCD + ∠ACB = 90°，
∴ ∠BAC = ∠HCD。
在△ABC 和△CHD 中：
$\begin{cases} ∠ABC = ∠CHD=90°, \\ ∠BAC = ∠HCD, \\ AC = CD, \end{cases}$
∴ △ABC≌△CHD（AAS），
∴ DH = BC = 5。
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2} · BC · DH = \frac{1}{2}×5×5 = 12.5$。
【答案】
12.5
【知识点】
全等三角形的判定（AAS），同角的余角相等，三角形面积计算
【点评】
本题属于全等三角形的基础应用题型，解题关键是通过构造垂线得到全等三角形，将未知的高转化为已知边长，考查了学生对全等判定定理的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
10. [2025北师大实验中学期中] 如图，$AB ⊥ AC$，$AB = AC$，$D$是$AB$上一点，$CE ⊥ CD$，$CE = CD$，连接$BE$交$AC$于点$F$. 求证：$F$是$BE$的中点.
答案
证明:如图,过点 E 作 EH⊥AC 于点 H,
则∠EHC = ∠EHF = 90°.
∵ AB⊥AC,
∴ ∠DAC = 90°,
∴ ∠ADC + ∠ACD = 90°.
∵ CE⊥CD,
∴ ∠ECH + ∠ACD = 90°,
∴ ∠ECH = ∠CDA.
在△HEC 和△ACD 中,$\begin{cases} ∠EHC = ∠CAD, \\ ∠ECH = ∠CDA, \\ CE = DC, \end{cases}$
∴ △HEC≌△ACD(AAS),
∴ EH = AC.
又
∵ AB = AC,
∴ EH = AB.
在△ABF 和△HEF 中,$\begin{cases} ∠AFB = ∠HFE, \\ ∠BAF = ∠EHF, \\ AB = HE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△HEF(AAS),
∴ BF = EF,
∴ F 是 BE 的中点.
解析
【分析】
要证明F是BE的中点，本质是证明BF=EF，需证明包含这两条线段的三角形全等。观察图形没有直接全等的三角形，因此考虑添加辅助线：过点E作EH⊥AC于H，构造直角三角形。首先根据已知的垂直条件，利用同角的余角相等可推出∠ECH=∠CDA，结合CE=CD可证明△HEC≌△ACD，得到EH=AC，再结合AB=AC可得EH=AB，最后证明△ABF≌△HEF，即可推出BF=EF，得到F是BE中点。
【解析】
证明:如图,过点 E 作 EH⊥AC 于点 H,
则∠EHC = ∠EHF = 90°.
∵ AB⊥AC,
∴ ∠DAC = 90°,
∴ ∠ADC + ∠ACD = 90°.
∵ CE⊥CD,
∴ ∠ECH + ∠ACD = 90°,
∴ ∠ECH = ∠CDA.
在△HEC 和△ACD 中,
$\begin{cases} ∠EHC = ∠CAD, \\ ∠ECH = ∠CDA, \\ CE = DC, \end{cases}$
∴ △HEC≌△ACD(AAS),
∴ EH = AC.
又
∵ AB = AC,
∴ EH = AB.
在△ABF 和△HEF 中,
$\begin{cases} ∠AFB = ∠HFE, \\ ∠BAF = ∠EHF, \\ AB = HE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△HEF(AAS),
∴ BF = EF,
∴ F 是 BE 的中点。
【答案】
证明:如图,过点 E 作 EH⊥AC 于点 H,
则∠EHC = ∠EHF = 90°.
∵ AB⊥AC,
∴ ∠DAC = 90°,
∴ ∠ADC + ∠ACD = 90°.
∵ CE⊥CD,
∴ ∠ECH + ∠ACD = 90°,
∴ ∠ECH = ∠CDA.
在△HEC 和△ACD 中,
$\begin{cases} ∠EHC = ∠CAD, \\ ∠ECH = ∠CDA, \\ CE = DC, \end{cases}$
∴ △HEC≌△ACD(AAS),
∴ EH = AC.
又
∵ AB = AC,
∴ EH = AB.
在△ABF 和△HEF 中,
$\begin{cases} ∠AFB = ∠HFE, \\ ∠BAF = ∠EHF, \\ AB = HE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△HEF(AAS),
∴ BF = EF,
∴ F 是 BE 的中点。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 余角的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形的综合应用类题目，解题的关键是合理构造辅助线，结合已知的垂直、边相等的条件，两次利用AAS证明三角形全等，从而推导线段相等，考查学生对全等判定定理的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.6
要证明F是BE的中点，本质是证明BF=EF，需证明包含这两条线段的三角形全等。观察图形没有直接全等的三角形，因此考虑添加辅助线：过点E作EH⊥AC于H，构造直角三角形。首先根据已知的垂直条件，利用同角的余角相等可推出∠ECH=∠CDA，结合CE=CD可证明△HEC≌△ACD，得到EH=AC，再结合AB=AC可得EH=AB，最后证明△ABF≌△HEF，即可推出BF=EF，得到F是BE中点。
【解析】
证明:如图,过点 E 作 EH⊥AC 于点 H,
则∠EHC = ∠EHF = 90°.
∵ AB⊥AC,
∴ ∠DAC = 90°,
∴ ∠ADC + ∠ACD = 90°.
∵ CE⊥CD,
∴ ∠ECH + ∠ACD = 90°,
∴ ∠ECH = ∠CDA.
在△HEC 和△ACD 中,
$\begin{cases} ∠EHC = ∠CAD, \\ ∠ECH = ∠CDA, \\ CE = DC, \end{cases}$
∴ △HEC≌△ACD(AAS),
∴ EH = AC.
又
∵ AB = AC,
∴ EH = AB.
在△ABF 和△HEF 中,
$\begin{cases} ∠AFB = ∠HFE, \\ ∠BAF = ∠EHF, \\ AB = HE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△HEF(AAS),
∴ BF = EF,
∴ F 是 BE 的中点。
【答案】
证明:如图,过点 E 作 EH⊥AC 于点 H,
则∠EHC = ∠EHF = 90°.
∵ AB⊥AC,
∴ ∠DAC = 90°,
∴ ∠ADC + ∠ACD = 90°.
∵ CE⊥CD,
∴ ∠ECH + ∠ACD = 90°,
∴ ∠ECH = ∠CDA.
在△HEC 和△ACD 中,
$\begin{cases} ∠EHC = ∠CAD, \\ ∠ECH = ∠CDA, \\ CE = DC, \end{cases}$
∴ △HEC≌△ACD(AAS),
∴ EH = AC.
又
∵ AB = AC,
∴ EH = AB.
在△ABF 和△HEF 中,
$\begin{cases} ∠AFB = ∠HFE, \\ ∠BAF = ∠EHF, \\ AB = HE, \end{cases}$
∴ △ABF≌△HEF(AAS),
∴ BF = EF,
∴ F 是 BE 的中点。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 余角的性质
3. 垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形的综合应用类题目，解题的关键是合理构造辅助线，结合已知的垂直、边相等的条件，两次利用AAS证明三角形全等，从而推导线段相等，考查学生对全等判定定理的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.6
11. 新趋势·尺规作图 [2026 南京新城中学期中] 如图，已知直线$a,b$和点$A$. 作线段$BC$，使点$B,C$分别在直线$a,b$上，且$A$为$BC$的中点.（要求：用直尺和圆规作图；保留作图痕迹，写出必要的文字说明，并说明理由）
答案
解:如图,线段 BC 即为所求.
文字说明:过点 A 作直线 c 交直线 a 于点 E,作直线 m//直线 a;以点 A 为圆心、AE 长为半径作弧交直线 c 于点 F;过点 F 作直线 n//直线 m,直线 n 交直线 b 于点 C;连接 CA,延长 CA 交直线 a 于点 B,线段 BC 即为所求.
理由:由作图,得 AE = AF,a//n,
∴ ∠EBC = ∠BCF,∠BEF = ∠EFC.
在△ABE 和△ACF 中,$\begin{cases} ∠EBC = ∠BCF, \\ ∠BEF = ∠EFC, \\ AE = AF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ACF(AAS),
∴ AB = AC,
∴ A 为 BC 的中点.
解析
【分析】
要作出满足A为BC中点，且B在直线a、C在直线b上的线段，核心是利用全等三角形对应边相等得到AB=AC。我们可以先构造平行线得到相等的内错角，再通过过点A的截线构造等长线段，获得AAS全等的判定条件，进而推导出A是BC中点。具体思考路径：先过A作直线与直线a相交得到线段AE，再以A为圆心截出等长的AF，通过作平行线构造出具备相等角的两个三角形，最后延长连线得到B、C点即可。
【解析】
作图步骤（文字说明）：
1. 过点A作直线c，交直线a于点E，作直线$m//$直线a；
2. 以点A为圆心、AE的长度为半径作弧，交直线c于点F；
3. 过点F作直线$n//$直线m，直线n交直线b于点C；
4. 连接CA并延长CA，交直线a于点B，线段BC即为所求。
理由说明：
由作图可知$AE=AF$，且$a// n$，根据平行线的性质可得：
$∠ EBC=∠ BCF$，$∠ BEF=∠ EFC$。
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases} ∠ EBC = ∠ BCF, \\ ∠ BEF = ∠ EFC, \\ AE = AF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACF(\mathrm{AAS})$，
根据全等三角形对应边相等，得$AB=AC$，即A为BC的中点，符合要求。
【答案】
解:如图,线段 BC 即为所求.
文字说明:过点 A 作直线 c 交直线 a 于点 E,作直线 m//直线 a;以点 A 为圆心、AE 长为半径作弧交直线 c 于点 F;过点 F 作直线 n//直线 m,直线 n 交直线 b 于点 C;连接 CA,延长 CA 交直线 a 于点 B,线段 BC 即为所求.
理由:由作图,得 AE = AF,a//n,
∴ ∠EBC = ∠BCF,∠BEF = ∠EFC.
在△ABE 和△ACF 中,$\begin{cases} ∠EBC = ∠BCF, \\ ∠BEF = ∠EFC, \\ AE = AF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ACF(AAS),
∴ AB = AC,
∴ A 为 BC 的中点.
【知识点】
尺规作图；平行线的性质；全等三角形判定
【点评】
本题将尺规操作与几何证明相结合，既考查了基本作图技能，又需要灵活运用平行线性质和全等三角形判定验证作图合理性，能够锻炼动手操作能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要作出满足A为BC中点，且B在直线a、C在直线b上的线段，核心是利用全等三角形对应边相等得到AB=AC。我们可以先构造平行线得到相等的内错角，再通过过点A的截线构造等长线段，获得AAS全等的判定条件，进而推导出A是BC中点。具体思考路径：先过A作直线与直线a相交得到线段AE，再以A为圆心截出等长的AF，通过作平行线构造出具备相等角的两个三角形，最后延长连线得到B、C点即可。
【解析】
作图步骤（文字说明）：
1. 过点A作直线c，交直线a于点E，作直线$m//$直线a；
2. 以点A为圆心、AE的长度为半径作弧，交直线c于点F；
3. 过点F作直线$n//$直线m，直线n交直线b于点C；
4. 连接CA并延长CA，交直线a于点B，线段BC即为所求。
理由说明：
由作图可知$AE=AF$，且$a// n$，根据平行线的性质可得：
$∠ EBC=∠ BCF$，$∠ BEF=∠ EFC$。
在$△ ABE$和$△ ACF$中：
$\begin{cases} ∠ EBC = ∠ BCF, \\ ∠ BEF = ∠ EFC, \\ AE = AF, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACF(\mathrm{AAS})$，
根据全等三角形对应边相等，得$AB=AC$，即A为BC的中点，符合要求。
【答案】
解:如图,线段 BC 即为所求.
文字说明:过点 A 作直线 c 交直线 a 于点 E,作直线 m//直线 a;以点 A 为圆心、AE 长为半径作弧交直线 c 于点 F;过点 F 作直线 n//直线 m,直线 n 交直线 b 于点 C;连接 CA,延长 CA 交直线 a 于点 B,线段 BC 即为所求.
理由:由作图,得 AE = AF,a//n,
∴ ∠EBC = ∠BCF,∠BEF = ∠EFC.
在△ABE 和△ACF 中,$\begin{cases} ∠EBC = ∠BCF, \\ ∠BEF = ∠EFC, \\ AE = AF, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ACF(AAS),
∴ AB = AC,
∴ A 为 BC 的中点.
【知识点】
尺规作图；平行线的性质；全等三角形判定
【点评】
本题将尺规操作与几何证明相结合，既考查了基本作图技能，又需要灵活运用平行线性质和全等三角形判定验证作图合理性，能够锻炼动手操作能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
12. 跨学科·物理 应用意识 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究:在一个支架的横杆点 O 处用一根细绳悬挂一个小球 A,小球 A 可以自由摆动,如图1,OA 表示小球静止时的位置,当小西用发声物体靠近小球时,小球从 OA 摆到 OB 位置,此时过点 B 作 BD ⊥ OA 于点 D,当小球摆到 OC 位置时,OB 与 OC 恰好垂直(点A,B,O,C在同一平面上),过点 C 作 CE ⊥ OA 于点 E.
(1)【初步探究】请你探究线段 DE,BD,CE 之间的数量关系.
(2)【全等模型】如图2,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,直线 l 经过点 A,BD ⊥ 直线 l,CE ⊥ 直线 l,垂足分别为 D,E,则 DE,BD,CE 之间的数量关系为
(3)【类比探究】如图3,在△ABC 中,AB = AC,直线 MN 经过点 A,E,D,且∠BDM = ∠BAC = ∠DEC,请判断 DE,BD,CE 之间的数量关系,并说明理由.
(4)归纳上述(1)(2)(3),请用简洁的语言表述 DE,BD,CE 的关系.
(1)【初步探究】请你探究线段 DE,BD,CE 之间的数量关系.
(2)【全等模型】如图2,在△ABC 中,∠BAC = 90°,AB = AC,直线 l 经过点 A,BD ⊥ 直线 l,CE ⊥ 直线 l,垂足分别为 D,E,则 DE,BD,CE 之间的数量关系为
DE = BD + CE
.(3)【类比探究】如图3,在△ABC 中,AB = AC,直线 MN 经过点 A,E,D,且∠BDM = ∠BAC = ∠DEC,请判断 DE,BD,CE 之间的数量关系,并说明理由.
(4)归纳上述(1)(2)(3),请用简洁的语言表述 DE,BD,CE 的关系.
答案
解:(1)
∵ OB⊥OC,
∴ ∠BOD + ∠COE = 90°.
∵ CE⊥OA,BD⊥OA,
∴ ∠CEO = ∠ODB = 90°,
∴ ∠BOD + ∠B = 90°,
∴ ∠COE = ∠B.
在△COE 和△OBD 中,$\begin{cases} ∠CEO = ∠ODB, \\ ∠COE = ∠B, \\ OC = BO, \end{cases}$
∴ △COE≌△OBD(AAS),
∴ OE = BD,CE = OD.
∵ OD = OE + DE,
∴ CE = BD + DE.
(2)DE = BD + CE
∵ BD⊥直线 l,CE⊥直线 l,
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°,
∴ ∠CAE + ∠ACE = 90°.
∵ ∠BAC = 90°,
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°,
∴ ∠ACE = ∠BAD. 在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases} ∠ADB = ∠CEA, \\ ∠BAD = ∠ACE, \\ AB = CA, \end{cases}$
∴ △ABD≌△CAE(AAS),
∴ BD = AE,AD = CE,
∴ DE = AE + AD = BD + CE.
(3)CE = DE + BD. 理由如下:
∵ ∠BDM = ∠BAC = ∠DEC,
∴ 180° - ∠BDM = 180° - ∠DEC,
∴ ∠ADB = ∠CEA.
∵ ∠BAC = ∠BAD + ∠CAE,∠BDM = ∠ABD + ∠BAD,
∴ ∠ABD + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE,
∴ ∠ABD = ∠CAE.
在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases} ∠ADB = ∠CEA, \\ ∠ABD = ∠CAE, \\ AB = CA, \end{cases}$
∴ △ABD≌△CAE(AAS),
∴ AD = CE,BD = AE.
∵ AD = DE + AE,
∴ CE = DE + BD.
(4)归纳(1)(2)(3),结论可表述为:当点 B,C 在 AE 同侧时,DE = BD + CE;当点 B,C 在 AE 异侧时,CE = DE + BD.
∵ OB⊥OC,
∴ ∠BOD + ∠COE = 90°.
∵ CE⊥OA,BD⊥OA,
∴ ∠CEO = ∠ODB = 90°,
∴ ∠BOD + ∠B = 90°,
∴ ∠COE = ∠B.
在△COE 和△OBD 中,$\begin{cases} ∠CEO = ∠ODB, \\ ∠COE = ∠B, \\ OC = BO, \end{cases}$
∴ △COE≌△OBD(AAS),
∴ OE = BD,CE = OD.
∵ OD = OE + DE,
∴ CE = BD + DE.
(2)DE = BD + CE
∵ BD⊥直线 l,CE⊥直线 l,
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°,
∴ ∠CAE + ∠ACE = 90°.
∵ ∠BAC = 90°,
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°,
∴ ∠ACE = ∠BAD. 在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases} ∠ADB = ∠CEA, \\ ∠BAD = ∠ACE, \\ AB = CA, \end{cases}$
∴ △ABD≌△CAE(AAS),
∴ BD = AE,AD = CE,
∴ DE = AE + AD = BD + CE.
(3)CE = DE + BD. 理由如下:
∵ ∠BDM = ∠BAC = ∠DEC,
∴ 180° - ∠BDM = 180° - ∠DEC,
∴ ∠ADB = ∠CEA.
∵ ∠BAC = ∠BAD + ∠CAE,∠BDM = ∠ABD + ∠BAD,
∴ ∠ABD + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE,
∴ ∠ABD = ∠CAE.
在△ABD 和△CAE 中,$\begin{cases} ∠ADB = ∠CEA, \\ ∠ABD = ∠CAE, \\ AB = CA, \end{cases}$
∴ △ABD≌△CAE(AAS),
∴ AD = CE,BD = AE.
∵ AD = DE + AE,
∴ CE = DE + BD.
(4)归纳(1)(2)(3),结论可表述为:当点 B,C 在 AE 同侧时,DE = BD + CE;当点 B,C 在 AE 异侧时,CE = DE + BD.
解析
【分析】
本题是从特殊到一般的几何探究题，解题核心是通过证明三角形全等转化线段：
(1) 先由OB⊥OC和垂直关系，利用同角的余角相等得到对应角相等，结合OB=OC（细绳长度相等），用AAS证△COE≌△OBD，再将CE、BD转化为和DE相关的OD、OE推导关系；
(2) 属于“一线三垂直”模型，同样利用同角的余角相等得对应角相等，结合AB=AC证△ABD≌△CAE，把BD、CE转化为AE、AD即可得到DE的表达式；
(3) 属于“一线三等角”模型，先利用补角性质得∠ADB=∠CEA，再通过角的和差推得∠ABD=∠CAE，结合AB=AC证全等，转化线段推导关系；
(4) 对比三个小问中点B、C和直线AE的位置关系，分同侧、异侧两类归纳结论即可。
【解析】
(1)
∵ OB⊥OC，
∴ ∠BOD + ∠COE = 90°，
∵ CE⊥OA，BD⊥OA，
∴ ∠CEO = ∠ODB = 90°，
∴ ∠BOD + ∠B = 90°，
∴ ∠COE = ∠B，
在△COE和△OBD中，
$\begin{cases} ∠CEO = ∠ODB \\ ∠COE = ∠B \\ OC = BO \end{cases}$
∴ △COE≌△OBD（AAS），
∴ OE = BD，CE = OD，
∵ OD = OE + DE，
∴ CE = BD + DE。
(2)
∵ BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°，
∴ ∠CAE + ∠ACE = 90°，
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，
∴ ∠ACE = ∠BAD，
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} ∠ADB = ∠CEA \\ ∠BAD = ∠ACE \\ AB = CA \end{cases}$
∴ △ABD≌△CAE（AAS），
∴ BD = AE，AD = CE，
∴ DE = AE + AD = BD + CE。
(3) CE = DE + BD，理由如下：
∵ ∠BDM = ∠BAC = ∠DEC，
∴ 180° - ∠BDM = 180° - ∠DEC，即∠ADB = ∠CEA，
∵ ∠BAC = ∠BAD + ∠CAE，∠BDM = ∠ABD + ∠BAD，
∴ ∠ABD + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE，
∴ ∠ABD = ∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} ∠ADB = ∠CEA \\ ∠ABD = ∠CAE \\ AB = CA \end{cases}$
∴ △ABD≌△CAE（AAS），
∴ AD = CE，BD = AE，
∵ AD = DE + AE，
∴ CE = DE + BD。
(4) 对比前三问的图形和结论可归纳：当点B、C在直线AE同侧时，DE = BD + CE；当点B、C在直线AE异侧时，CE = DE + BD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CE=BD+DE}$
(2) $\boldsymbol{DE=BD+CE}$
(3) $\boldsymbol{CE=DE+BD}$
(4) 当点B、C在直线AE同侧时，$DE=BD+CE$；当点B、C在直线AE异侧时，$CE=DE+BD$
【知识点】
全等三角形AAS判定，全等三角形性质，一线三等角模型
【点评】
本题结合物理振动实验情境，从特殊的一线三垂直模型到一般的一线三等角模型逐步探究，侧重考查全等三角形判定与性质的应用，能有效锻炼逻辑推理和类比归纳的数学思维。
【难度系数】
0.65
本题是从特殊到一般的几何探究题，解题核心是通过证明三角形全等转化线段：
(1) 先由OB⊥OC和垂直关系，利用同角的余角相等得到对应角相等，结合OB=OC（细绳长度相等），用AAS证△COE≌△OBD，再将CE、BD转化为和DE相关的OD、OE推导关系；
(2) 属于“一线三垂直”模型，同样利用同角的余角相等得对应角相等，结合AB=AC证△ABD≌△CAE，把BD、CE转化为AE、AD即可得到DE的表达式；
(3) 属于“一线三等角”模型，先利用补角性质得∠ADB=∠CEA，再通过角的和差推得∠ABD=∠CAE，结合AB=AC证全等，转化线段推导关系；
(4) 对比三个小问中点B、C和直线AE的位置关系，分同侧、异侧两类归纳结论即可。
【解析】
(1)
∵ OB⊥OC，
∴ ∠BOD + ∠COE = 90°，
∵ CE⊥OA，BD⊥OA，
∴ ∠CEO = ∠ODB = 90°，
∴ ∠BOD + ∠B = 90°，
∴ ∠COE = ∠B，
在△COE和△OBD中，
$\begin{cases} ∠CEO = ∠ODB \\ ∠COE = ∠B \\ OC = BO \end{cases}$
∴ △COE≌△OBD（AAS），
∴ OE = BD，CE = OD，
∵ OD = OE + DE，
∴ CE = BD + DE。
(2)
∵ BD⊥直线l，CE⊥直线l，
∴ ∠ADB = ∠CEA = 90°，
∴ ∠CAE + ∠ACE = 90°，
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠BAD + ∠CAE = 90°，
∴ ∠ACE = ∠BAD，
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} ∠ADB = ∠CEA \\ ∠BAD = ∠ACE \\ AB = CA \end{cases}$
∴ △ABD≌△CAE（AAS），
∴ BD = AE，AD = CE，
∴ DE = AE + AD = BD + CE。
(3) CE = DE + BD，理由如下：
∵ ∠BDM = ∠BAC = ∠DEC，
∴ 180° - ∠BDM = 180° - ∠DEC，即∠ADB = ∠CEA，
∵ ∠BAC = ∠BAD + ∠CAE，∠BDM = ∠ABD + ∠BAD，
∴ ∠ABD + ∠BAD = ∠BAD + ∠CAE，
∴ ∠ABD = ∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
$\begin{cases} ∠ADB = ∠CEA \\ ∠ABD = ∠CAE \\ AB = CA \end{cases}$
∴ △ABD≌△CAE（AAS），
∴ AD = CE，BD = AE，
∵ AD = DE + AE，
∴ CE = DE + BD。
(4) 对比前三问的图形和结论可归纳：当点B、C在直线AE同侧时，DE = BD + CE；当点B、C在直线AE异侧时，CE = DE + BD。
【答案】
(1) $\boldsymbol{CE=BD+DE}$
(2) $\boldsymbol{DE=BD+CE}$
(3) $\boldsymbol{CE=DE+BD}$
(4) 当点B、C在直线AE同侧时，$DE=BD+CE$；当点B、C在直线AE异侧时，$CE=DE+BD$
【知识点】
全等三角形AAS判定，全等三角形性质，一线三等角模型
【点评】
本题结合物理振动实验情境，从特殊的一线三垂直模型到一般的一线三等角模型逐步探究，侧重考查全等三角形判定与性质的应用，能有效锻炼逻辑推理和类比归纳的数学思维。
【难度系数】
0.65
