18 [2024安徽]在凸五边形ABCDE中，$AB=AE$，$BC=DE$，F是CD的中点.补充下列条件后，不能得到AF与CD一定垂直的是 （）

A.$∠ ABC=∠ AED$
B.$∠ BAF=∠ EAF$
C.$∠ BCF=∠ EDF$
D.$∠ ABD=∠ AEC$

18. D

19 如图，P为$△ ABC$内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且点M，N分别在PA，PC的垂直平分线上。若$∠ ABC=80°$，则$∠ APC$的度数为（）

A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$135°$
（第19题）

19. C

20 [2025广安改编]如图,在$△ ABC$中,按以下步骤作图:① 以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交BC于点D;② 分别以点C和点D为圆心,大于$\frac{1}{2}CD$的长为半径画弧,两弧相交于点F;③ 作射线AF交BC于点E.若$∠ C=2∠ B$,$BC=23$,$BD=13$,则AC的长为,CE的长为.

20. 13 5

21 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为.

21. 12.5 【解析】如图,过点 A 作 $AE⊥ AC$,交 CB 的延长线于点 E,则 $∠ CAE = ∠ DAB = 90°. \therefore ∠ CAE - ∠ CAB = ∠ DAB - ∠ CAB$, 即 $∠ BAE = ∠ DAC. \because ∠ CAE = 90°$, $\therefore ∠ ACB+∠ E=90°. \because ∠ DCB=90°,\therefore ∠ ACD+∠ ACB=90°$, $\therefore ∠ E = ∠ ACD$. 在 $△ ABE$ 和 $△ ADC$ 中，$\begin{cases} ∠ E=∠ ACD, \\ ∠ BAE=∠ DAC, \\ AB=AD, \end{cases}$ $\therefore △ ABE≌△ ADC(\mathrm{AAS}),\therefore AE=AC=5$,$S_{△ ABE}=S_{△ ADC}$, $\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ADC}+S_{△ ABC}=S_{△ ABE}+S_{△ ABC}=S_{△ ACE}=\frac{1}{2}AC· AE=\frac{1}{2}×5×5=12.5$.

22（易错题）如图，$AB=6\ \mathrm{cm}$，$AC=BD=4\ \mathrm{cm}$，$∠ CAB=∠ DBA=60°$，点$P$在线段$AB$上以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度由点$A$向点$B$运动。同时，点$Q$在线段$BD$上由点$B$向点$D$运动。设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$，则当点$Q$的运动速度为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm/s}$时，$A$，$C$，$P$三点构成的三角形能与$B$，$P$，$Q$三点构成的三角形全等。

22. 1或$\frac{4}{3}$
易错分析
22. 本题需要分$△ ACP≌△ BPQ$ 与 $△ ACP≌△ BQP$ 两种情况讨论,容易忽视$△ ACP≌△ BQP$ 这种情况的存在.

23 已知 P 是等边三角形 ABC 的边 BC 上的一点.若$∠ APC=104°$,则在以线段 AP,BP,CP 为边的三角形中,最小内角的度数为.

23. 16° 【解析】如图,过点 P 作 $PD// AB$ 交 $AC$ 于点 D,过点 P 作 $PE// AC$ 交 $AB$ 于点 E,则$△ BPE,△ CPD$ 均为等边三角形,$\therefore BP=PE,CP=PD,∠ PDC=∠ DPC=60°$.证$△ AEP≌△ PDA$,得 $PE=AD$,$\therefore BP=AD$,$\therefore △ ADP$ 就是以线段 $AP$,$BP$,$CP$ 为边的三角形. $\because ∠ APD = ∠ APC - 60° = 44°$,$∠ ADP=180°-∠ PDC=120°$,$\therefore ∠ PAD=180°-∠ APD-∠ ADP=16°$,$\therefore$ 在满足题意的三角形中,最小内角的度数为$16°$.

24 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=2$，$∠ B=40°$，点$D$在线段$BC$上运动（不与点$B$，$C$重合），连接$AD$，作$∠ ADE=40°$，$DE$交线段$AC$于点$E$。
（1）当$DC=2$时，求证：$△ ABD ≌ △ DCE$。
（2）分类讨论思想 在点$D$的运动过程中，$△ ADE$的形状也在改变，当$∠ BAD$的度数为多少时，$△ ADE$是等腰三角形？请说明理由。

24. (1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C. \because ∠ ADC$ 是 $△ ABD$ 的外角,$\therefore ∠ ADC = ∠ B + ∠ BAD$,即$∠ ADE + ∠ CDE = ∠ B + ∠ BAD. \because ∠ B = 40°$,$∠ ADE = 40°$, $\therefore ∠ CDE = ∠ BAD. \because AB = 2$, $DC = 2$, $\therefore AB = DC$. 在$△ ABD$ 和$△ DCE$ 中，$\begin{cases} ∠ BAD=∠ CDE, \\ AB=DC, \\ ∠ B=∠ C, \end{cases}$ $\therefore △ ABD≌△ DCE(\mathrm{ASA})$ (2) 当$∠ BAD$的度数为 $30°$或 $60°$时,$△ ADE$ 是等腰三角形 理由: $\because$ 在$△ ABC$ 中,$AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ C=40°$. ① 若 $AD=AE$,则$∠ AED = ∠ ADE = 40°$. $\because ∠ AED$ 是 $△ DEC$ 的外角,$\therefore ∠ AED=∠ EDC+∠ C$,$\therefore ∠ EDC=0°$,此时点 $D$,$B$ 重合,不符合题意,舍去. ② 若 $AD=ED$,则$∠ DAE=∠ DEA = \frac{1}{2}(180°-∠ ADE) = \frac{1}{2} × (180°-40°) = 70°$. $\because ∠ AED = ∠ EDC+∠ C$, $\therefore ∠ EDC = 30°$, $\therefore ∠ BAD = ∠ EDC = 30°$. ③ 若 $AE=DE$,则$∠ DAE=∠ ADE=40°$. $\because △ ABC$ 的内角和为 $180°$,$\therefore ∠ BAC=180°-2×40°=100°$,$\therefore ∠ BAD=100°-40°=60°$. 综上所述,当$∠ BAD$ 的度数为 $30°$或 $60°$时,$△ ADE$ 是等腰三角形.