1. 下列各式计算正确的是()

A.$\sqrt{7}×(\sqrt{2}+\sqrt{5})=\sqrt{7}×\sqrt{7}=7$
B.$(\sqrt{5}+\sqrt{3})×(\sqrt{5}-\sqrt{2})=5-\sqrt{6}$
C.$(\sqrt{3}-\sqrt{2})×(\sqrt{3}+\sqrt{2})=3-2=1$
D.$(\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}=5-3=2$

1. C

2. (2025·宿城二模)估计$(\sqrt{15}+\sqrt{3})×\sqrt{3}$的值应在()

A.6和7之间
B.7和8之间
C.8和9之间
D.9和10之间

2. D

$(\sqrt{15}+\sqrt{3})×\sqrt{3}$
$=\sqrt{15}×\sqrt{3}+\sqrt{3}×\sqrt{3}$
$=\sqrt{45}+3$
$=3\sqrt{5}+3$
因为$\sqrt{5}\approx2.236$，所以$3\sqrt{5}\approx3×2.236=6.708$，则$3\sqrt{5}+3\approx6.708 + 3=9.708$，$9.708$在$9$和$10$之间。
D

3. 计算：
(1) (2025·河北)$(\sqrt{10}+\sqrt{6})×(\sqrt{10}-\sqrt{6})=$；
(2) $(2-2\sqrt{3})^{2}=$.

3. (1) 4 (2) $ 16 - 8\sqrt{3} $

(1) $(\sqrt{10}+\sqrt{6})×(\sqrt{10}-\sqrt{6})=(\sqrt{10})^{2}-(\sqrt{6})^{2}=10 - 6=4$；
(2) $(2 - 2\sqrt{3})^{2}=2^{2}-2×2×2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^{2}=4 - 8\sqrt{3}+12=16 - 8\sqrt{3}$

4. 已知$\sqrt{11}$的整数部分是$x$，小数部分是$y$，则$y(x+\sqrt{11})$的值为.

4. 2

解：因为$9＜11＜16$，所以$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{11}＜4$。
所以$\sqrt{11}$的整数部分$x = 3$，小数部分$y=\sqrt{11}-3$。
则$y(x+\sqrt{11})=(\sqrt{11}-3)(3+\sqrt{11})$
$=(\sqrt{11})^{2}-3^{2}$
$=11 - 9$
$=2$
2

5. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是(结果保留根号).

5. $ 2\sqrt{3} - 2 $

因为面积为2的正方形边长为$\sqrt{2}$，面积为6的正方形边长为$\sqrt{6}$。矩形的长为$\sqrt{6} + \sqrt{2}$，宽为$\sqrt{6}$。阴影部分面积为矩形面积减去两个正方形面积，即$(\sqrt{6} + \sqrt{2})×\sqrt{6} - 6 - 2$。计算得$6 + \sqrt{12} - 8 = 2\sqrt{3} - 2$。
$2\sqrt{3} - 2$

6. 计算：
(1) $(2\sqrt{30}-\sqrt{24})×\sqrt{\frac{1}{6}}$；
(2) $(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{4}{3}})÷\sqrt{3}$；
(3) $(3\sqrt{2}+\sqrt{6})×(\sqrt{6}-3\sqrt{2})$；
(4) $14\sqrt{\frac{1}{7}}-(\sqrt{7}+1)^{2}$.

6. (1) $ 2\sqrt{5} - 2 $ (2) $ \frac{4}{3} $ (3) -12 (4) -8

(1) $(2\sqrt{30}-\sqrt{24})×\sqrt{\frac{1}{6}}$
$=2\sqrt{30}×\sqrt{\frac{1}{6}} - \sqrt{24}×\sqrt{\frac{1}{6}}$
$=2\sqrt{30×\frac{1}{6}} - \sqrt{24×\frac{1}{6}}$
$=2\sqrt{5} - \sqrt{4}$
$=2\sqrt{5} - 2$
(2) $(\sqrt{12}-\sqrt{\frac{4}{3}})÷\sqrt{3}$
$=\sqrt{12}÷\sqrt{3} - \sqrt{\frac{4}{3}}÷\sqrt{3}$
$=\sqrt{12÷3} - \sqrt{\frac{4}{3}÷3}$
$=\sqrt{4} - \sqrt{\frac{4}{9}}$
$=2 - \frac{2}{3}$
$=\frac{4}{3}$
(3) $(3\sqrt{2}+\sqrt{6})×(\sqrt{6}-3\sqrt{2})$
$=(\sqrt{6})^{2} - (3\sqrt{2})^{2}$
$=6 - 18$
$=-12$
(4) $14\sqrt{\frac{1}{7}}-(\sqrt{7}+1)^{2}$
$=14×\frac{\sqrt{7}}{7} - (7 + 2\sqrt{7} + 1)$
$=2\sqrt{7} - 8 - 2\sqrt{7}$
$=-8$

7. 已知$m=1+\sqrt{2}$，$n=1-\sqrt{2}$，则$\sqrt{m^{2}+n^{2}-3mn}$的值为()

A.9
B.$\pm3$
C.3
D.5

7. C

已知$m = 1+\sqrt{2}$，$n = 1-\sqrt{2}$，则：
$m + n=(1+\sqrt{2})+(1-\sqrt{2})=2$，
$mn=(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})=1 - (\sqrt{2})^{2}=1 - 2=-1$，
$m^{2}+n^{2}-3mn=(m + n)^{2}-5mn=2^{2}-5×(-1)=4 + 5=9$，
$\sqrt{m^{2}+n^{2}-3mn}=\sqrt{9}=3$。
C

8. 计算$(2-\sqrt{5})^{2025}×(2+\sqrt{5})^{2026}$的结果为()

A.$2+\sqrt{5}$
B.$2-\sqrt{5}$
C.$-1$
D.$-2-\sqrt{5}$

8. D

$\begin{aligned}&(2 - \sqrt{5})^{2025} × (2 + \sqrt{5})^{2026}\\=&(2 - \sqrt{5})^{2025} × (2 + \sqrt{5})^{2025} × (2 + \sqrt{5})\\=&[(2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5})]^{2025} × (2 + \sqrt{5})\\=&(4 - 5)^{2025} × (2 + \sqrt{5})\\=&(-1)^{2025} × (2 + \sqrt{5})\\=&-1 × (2 + \sqrt{5})\\=&-2 - \sqrt{5}\end{aligned}$
D