10. 把下列各式分解因式：
（1）（2024·宿豫期末）$ 8(a^{2}+1)-16a $；
（2）$ 3a^{4}-3b^{4} $；
（3）（2024·宿豫期末）$ (x^{2}-4x)^{2}-8(4x - x^{2})+16 $；
（4）$ (3a^{2}+2a - 8)^{2}-(a^{2}-2a - 8)^{2} $.

10. (1) $8(a - 1)^2$ (2) $3(a^2 + b^2)(a + b)(a - b)$ (3) $(x - 2)^4$ (4) $8a(a + 2)^2(a - 2)$

（1）$8(a^{2}+1)-16a$
$=8a^{2}+8 - 16a$
$=8(a^{2}-2a + 1)$
$=8(a - 1)^{2}$
（2）$3a^{4}-3b^{4}$
$=3(a^{4}-b^{4})$
$=3(a^{2}+b^{2})(a^{2}-b^{2})$
$=3(a^{2}+b^{2})(a + b)(a - b)$
（3）$(x^{2}-4x)^{2}-8(4x - x^{2})+16$
$=(x^{2}-4x)^{2}+8(x^{2}-4x)+16$
$=(x^{2}-4x + 4)^{2}$
$=(x - 2)^{4}$
（4）$(3a^{2}+2a - 8)^{2}-(a^{2}-2a - 8)^{2}$
$=[(3a^{2}+2a - 8)+(a^{2}-2a - 8)][(3a^{2}+2a - 8)-(a^{2}-2a - 8)]$
$=(4a^{2}-16)(2a^{2}+4a)$
$=4(a^{2}-4) · 2a(a + 2)$
$=8a(a + 2)(a - 2)(a + 2)$
$=8a(a + 2)^{2}(a - 2)$

11. 若 $ a $，$ b $，$ c $ 为 $ △ ABC $ 的三边长，求证：$ (a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2} $ 的值是负数.

11. $(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2 = (a^2 + b^2 - c^2 + 2ab)(a^2 + b^2 - c^2 - 2ab) = [(a + b)^2 - c^2][(a - b)^2 - c^2] = (a + b + c)(a + b - c) · (a - b + c)(a - b - c)$。根据三角形的三边关系，可知$a + b + c ＞ 0$，$a + b - c ＞ 0$，$a - b + c ＞ 0$，$a - b - c ＜ 0$，$\therefore (a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b - c) ＜ 0$，即$(a^2 + b^2 - c^2)^2 - 4a^2b^2$的值是负数

证明：$\begin{aligned}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}&=(a^{2}+b^{2}-c^{2}+2ab)(a^{2}+b^{2}-c^{2}-2ab)\\&=[(a + b)^{2}-c^{2}][(a - b)^{2}-c^{2}]\\&=(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b - c)\end{aligned}$
因为$a$，$b$，$c$为$△ ABC$的三边长，所以$a + b + c＞0$，$a + b - c＞0$，$a - b + c＞0$，$a - b - c＜0$，因此$(a + b + c)(a + b - c)(a - b + c)(a - b - c)＜0$，即$(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}-4a^{2}b^{2}$的值是负数。

12. (整体思想)“整体思想”在数学解题中运用广泛，下面的例题是运用“整体思想”对多项式进行因式分解.
因式分解：$ (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)+1 $.
解：原式 $ = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)]+1=(x^{2}+5x + 4)(x^{2}+5x + 6)+1=(x^{2}+5x)^{2}+10(x^{2}+5x)+24 + 1=(x^{2}+5x)^{2}+10(x^{2}+5x)+25=(x^{2}+5x + 5)^{2} $
(1)上面的解答过程中把当作一个整体，多项式变形后，运用公式进行因式分解；
(2)请仿照以上方法对下面的多项式进行因式分解：$ (x - 1)(x + 2)(x - 3)(x + 4)+25 $；
(3)求证：四个连续自然数 $ n $，$ n + 1 $，$ n + 2 $，$ n + 3 $ 的积与 1 的和等于一个奇数的平方.

12. (1) $x^2 + 5x$ 完全平方 (2) 原式$ = [(x - 1)(x + 2)][(x - 3)(x + 4)] + 25 = (x^2 + x - 2)(x^2 + x - 12) + 25 = (x^2 + x)^2 - 14(x^2 + x) + 24 + 25 = (x^2 + x)^2 - 14(x^2 + x) + 49 = (x^2 + x - 7)^2$ (3) $n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = [n(n + 3)] · [(n + 1)(n + 2)] + 1 = (n^2 + 3n)^2 + 2(n^2 + 3n) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2$。$\because n$是自然数，$\therefore n(n + 3)$一定是偶数，即$n^2 + 3n$是偶数。$\therefore n^2 + 3n + 1$是奇数。$\therefore$四个连续自然数$n$，$n + 1$，$n + 2$，$n + 3$的积与1的和等于一个奇数的平方