8. (1) 先化简，再求值：
$\dfrac{1}{a + 1} - \dfrac{a}{(a + 1)^2}$，其中$a = \sqrt{2} - 1$；
(2) 已知$x = 1 - \sqrt{2}$，$y = 1 + \sqrt{2}$，求$x^2 + y^2 - xy - 2x + 2y$的值.

8. (1) $\dfrac{1}{(a + 1)^{2}}$，$\dfrac{1}{2}$ (2) $7 + 4\sqrt{2}$

9. 已知算式$\sqrt{8} ÷ [(\sqrt{2})^2 × \sqrt{\dfrac{1}{2}}] - \sqrt{□} - \sqrt{18}$中，第四个根号下的被开方数“$□$”模糊不清.
(1) 若“$□$”猜成$50$，求原式的值.
(2) 若“$□$”是正整数，且$\sqrt{□}$与$\sqrt{18}$可以合并，则原式存在最大值还是最小值？请判断并求出这个值.

9. (1) $2 - 8\sqrt{2}$ (2) $2 - 4\sqrt{2}$

10. 细心观察图形，认真分析各式，然后解答下面问题.

$(\sqrt{1})^2 + 1 = 2$，$S_1 = \dfrac{\sqrt{1}}{2}$；
$(\sqrt{2})^2 + 1 = 3$，$S_2 = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$；
$(\sqrt{3})^2 + 1 = 4$，$S_3 = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$；
……
(1) 请用含有$n$($n$是正整数)的等式表示上述变化规律；
(2) 推算$OA_{10}$的长；
(3) 求$S_1^2 + S_2^2 + S_3^2 + ··· + S_{10}^2$的值.

10. (1) $(\sqrt{n})^{2}+1=n + 1$，$S_{n}=\dfrac{\sqrt{n}}{2}$ (2) $\sqrt{10}$ (3) $\dfrac{55}{4}$

11. 已知：$x = 2 - \sqrt{3}$，$y = 2 + \sqrt{3}$.
(1) 求$x^2 + y^2 + 3xy$的值；
(2) 若$x$的整数部分是$m$，$y$的小数部分是$n$，求$5m^5 + (x + n)^2 - y$的值.

11. (1) 17 (2) $-1-\sqrt{3}$