例1 已知二次函数 $y=x^{2}+bx+c$ 的图像过点$A(1,0)$、$B(0,-3)$,求这个二次函数
的表达式.
分析 如果一个点在函数图像上,那么这个点的坐标就适合该函数表达式.根据条件
"图像过点$A(1,0)$、$B(0,-3)$"可以列出一个关于$b$、$c$的二元一次方程组求解.
解 由二次函数 $y=x^{2}+bx+c$ 的图像过点$A(1,0)$、$B(0,-3)$,得$\begin{cases} 1+b+c=0,\\ c=-3.\\ \end{cases}$
解得
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为 $y=x^{2}+2x-3$.
的表达式.
分析 如果一个点在函数图像上,那么这个点的坐标就适合该函数表达式.根据条件
"图像过点$A(1,0)$、$B(0,-3)$"可以列出一个关于$b$、$c$的二元一次方程组求解.
解 由二次函数 $y=x^{2}+bx+c$ 的图像过点$A(1,0)$、$B(0,-3)$,得$\begin{cases} 1+b+c=0,\\ c=-3.\\ \end{cases}$
解得
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为 $y=x^{2}+2x-3$.
答案
解：
由二次函数 $y=x^{2}+bx+c$ 的图像过点$A(1,0)$、$B(0,-3)$，得
$\begin{cases} 1+b+c=0,\\ c=-3.\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=2,\\ c=-3.\\ \end{cases}$
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为 $y=x^{2}+2x-3$。
由二次函数 $y=x^{2}+bx+c$ 的图像过点$A(1,0)$、$B(0,-3)$，得
$\begin{cases} 1+b+c=0,\\ c=-3.\\ \end{cases}$
解得$\begin{cases} b=2,\\ c=-3.\\ \end{cases}$
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为 $y=x^{2}+2x-3$。
例2 已知二次函数 $y=ax^{2}+b$ 的图像与$x$轴交于点$A$、$B$,且点$A$的坐标是$(1,0)$,
与$y$轴交于点$C(0,1)$.求这个二次函数的表达式,并求出点$B$的坐标.
分析 由二次函数 $y=ax^{2}+b$ 的图像过点$A(1,0)$、$C(0,1)$,可以列出一个关于$a$、$b$
的二元一次方程组求解.由于这个二次函数图像的对称轴为$y$轴,故点$B$与点$A(1,0)$关
于$y$轴对称.
解 由二次函数 $y=ax^{2}+b$ 的图像过点$A(1,0)$、$C(0,1)$,得
解得
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为 $y=-x^{2}+1$.
$\because$ 二次函数 $y=-x^{2}+1$ 的图像的对称轴为$y$轴,
$\therefore$ 点$B$与点$A(1,0)$关于$y$轴对称.
$\therefore$ 点$B$的坐标是$(-1,0)$.
与$y$轴交于点$C(0,1)$.求这个二次函数的表达式,并求出点$B$的坐标.
分析 由二次函数 $y=ax^{2}+b$ 的图像过点$A(1,0)$、$C(0,1)$,可以列出一个关于$a$、$b$
的二元一次方程组求解.由于这个二次函数图像的对称轴为$y$轴,故点$B$与点$A(1,0)$关
于$y$轴对称.
解 由二次函数 $y=ax^{2}+b$ 的图像过点$A(1,0)$、$C(0,1)$,得
解得
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为 $y=-x^{2}+1$.
$\because$ 二次函数 $y=-x^{2}+1$ 的图像的对称轴为$y$轴,
$\therefore$ 点$B$与点$A(1,0)$关于$y$轴对称.
$\therefore$ 点$B$的坐标是$(-1,0)$.
答案
解：
将点$A(1,0)$、$C(0,1)$代入$y=ax^2+b$，得
$\begin{cases}a+b=0 \\b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\b=1\end{cases}$
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为$y=-x^2+1$。
$\because$ 二次函数$y=-x^2+1$的图像的对称轴为$y$轴，
$\therefore$ 点$B$与点$A(1,0)$关于$y$轴对称，
$\therefore$ 点$B$的坐标是$(-1,0)$。
将点$A(1,0)$、$C(0,1)$代入$y=ax^2+b$，得
$\begin{cases}a+b=0 \\b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}a=-1 \\b=1\end{cases}$
$\therefore$ 这个二次函数的表达式为$y=-x^2+1$。
$\because$ 二次函数$y=-x^2+1$的图像的对称轴为$y$轴，
$\therefore$ 点$B$与点$A(1,0)$关于$y$轴对称，
$\therefore$ 点$B$的坐标是$(-1,0)$。
(1) 已知二次函数 $y=x^{2}+(2k-1)x+k+1$ 的图像经过原点,则$k=$;
答案
解：
因为二次函数$y=x^{2}+(2k-1)x+k+1$的图像经过原点$(0,0)$，
将$x=0$，$y=0$代入函数表达式，得：
$0=0^{2}+(2k-1)×0+k+1$
化简得：$k+1=0$
解得：$k=-1$
因为二次函数$y=x^{2}+(2k-1)x+k+1$的图像经过原点$(0,0)$，
将$x=0$，$y=0$代入函数表达式，得：
$0=0^{2}+(2k-1)×0+k+1$
化简得：$k+1=0$
解得：$k=-1$
(2) 已知二次函数 $y=x^{2}+bx+c$ 的图像经过点$(2,0)$、$(0,1)$,则$b=$,
$c=$;
$c=$;
答案
解：
将点$(0,1)$代入$y=x^{2}+bx+c$，得：
$1=0^2 + b×0 + c$，解得$c=1$。
将点$(2,0)$和$c=1$代入$y=x^{2}+bx+c$，得：
$0=2^2 + 2b + 1$，
即$4+2b+1=0$，
$2b=-5$，
解得$b=-\frac{5}{2}$。
综上，$b=-\frac{5}{2}$，$c=1$。
将点$(0,1)$代入$y=x^{2}+bx+c$，得：
$1=0^2 + b×0 + c$，解得$c=1$。
将点$(2,0)$和$c=1$代入$y=x^{2}+bx+c$，得：
$0=2^2 + 2b + 1$，
即$4+2b+1=0$，
$2b=-5$，
解得$b=-\frac{5}{2}$。
综上，$b=-\frac{5}{2}$，$c=1$。
(3) 已知二次函数 $y=ax^{2}+bx-1(a≠0)$的图像经过点$(1,1)$,则代数式$1-a-b$的值
为.
为.
答案
$\boldsymbol{-1}$
解析
解：
∵二次函数$y=ax^{2}+bx-1(a≠0)$的图像经过点$(1,1)$，
∴将$x=1$，$y=1$代入函数表达式，得：
$1=a×1^{2}+b×1-1$，
化简得：$a+b=2$，
则$1-a-b=1-(a+b)=1-2=-1$。
∵二次函数$y=ax^{2}+bx-1(a≠0)$的图像经过点$(1,1)$，
∴将$x=1$，$y=1$代入函数表达式，得：
$1=a×1^{2}+b×1-1$，
化简得：$a+b=2$，
则$1-a-b=1-(a+b)=1-2=-1$。
2. 已知二次函数 $y=ax^{2}$ 的图像过点$(3,-1)$,求这个二次函数的表达式.
答案
解：
因为二次函数$y=ax^{2}$的图像过点$(3,-1)$，
将$x=3$，$y=-1$代入$y=ax^{2}$中，得：
$-1=a×3^{2}$
即$9a=-1$
解得$a=-\frac{1}{9}$
所以这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{9}x^{2}$
因为二次函数$y=ax^{2}$的图像过点$(3,-1)$，
将$x=3$，$y=-1$代入$y=ax^{2}$中，得：
$-1=a×3^{2}$
即$9a=-1$
解得$a=-\frac{1}{9}$
所以这个二次函数的表达式为$y=-\frac{1}{9}x^{2}$
3. 已知二次函数 $y=-x^{2}+bx+c$ 的图像经过点$(3,0)$、$(-1,0)$,求这个二次函数的表
达式.
达式.
答案
解：
将点$(3,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得：
$0=-3^{2}+3b+c$，即$3b+c=9$ ①
将点$(-1,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得：
$0=-(-1)^{2}+(-1)b+c$，即$-b+c=1$ ②
①-②得：$4b=8$，解得$b=2$
把$b=2$代入②得：$-2+c=1$，解得$c=3$
所以该二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x+3$。
将点$(3,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得：
$0=-3^{2}+3b+c$，即$3b+c=9$ ①
将点$(-1,0)$代入$y=-x^{2}+bx+c$，得：
$0=-(-1)^{2}+(-1)b+c$，即$-b+c=1$ ②
①-②得：$4b=8$，解得$b=2$
把$b=2$代入②得：$-2+c=1$，解得$c=3$
所以该二次函数的表达式为$y=-x^{2}+2x+3$。
