9. 在同一坐标系中，图像与 $ y = 2 x ^ { 2 } $ 的图像关于 $ x $ 轴对称的是()

A.$ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $
B.$ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $
C.$ y = - x ^ { 2 } $
D.$ y = - 2 x ^ { 2 } $

9. D

关于$x$轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。
设所求函数图像上任意一点$(x,y)$，其关于$x$轴对称的点$(x,-y)$在$y = 2x^2$的图像上。
则$-y=2x^2$，即$y=-2x^2$。
D

10. 如图，$ \odot O $ 的半径为 $ 2 $，$ C _ { 1 } $ 是函数 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $ 的图像，$ C _ { 2 } $ 是函数 $ y = - \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } $ 的图像，则阴影部分的面积是()

A.$ π $
B.$ 2 π $
C.$ 3 π $
D.$ 4 π $

10. B

解：由题意知，$\odot O$的半径为$2$，其面积为$π r^2 = 4π$。
函数$y = \frac{1}{2}x^2$与$y = -\frac{1}{2}x^2$的图像关于$x$轴对称。
观察图形，阴影部分关于$x$轴和$y$轴均对称，其面积为$\odot O$面积的一半。
故阴影部分面积为$\frac{1}{2} × 4π = 2π$。
答案：B

11. 已知二次函数 $ y = ( a - 1 ) x ^ { 2 } $，当 $ x ＞ 0 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 增大而增大，则实数 $ a $ 的取值范围是()

A.$ a ＞ 0 $
B.$ a ＞ 1 $
C.$ a ≠ 1 $
D.$ a ＜ 1 $

11. B

对于二次函数$y=(a - 1)x^2$，其对称轴为$y$轴（$x=0$）。
当$a - 1＞0$，即$a＞1$时，抛物线开口向上，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而增大；
当$a - 1＜0$，即$a＜1$时，抛物线开口向下，在对称轴右侧（$x＞0$），$y$随$x$的增大而减小。
已知当$x＞0$时，$y$随$x$增大而增大，所以$a - 1＞0$，解得$a＞1$。
B

12. 如图，正方形 $ O A B C $ 有三个顶点在抛物线 $ y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } $ 上，点 $ O $ 是原点，顶点 $ B $ 在 $ y $ 轴上，则顶点 $ A $ 的坐标是()

A.$ ( 2, 2 ) $
B.$ ( \sqrt { 2 }, \sqrt { 2 } ) $
C.$ ( 4, 4 ) $
D.$ ( 2 \sqrt { 2 }, 2 \sqrt { 2 } ) $

12. C

解：设顶点$A$的坐标为$(a,b)$，其中$a＞0$，$b＞0$。
因为四边形$OABC$是正方形，点$O$是原点，顶点$B$在$y$轴上，所以点$C$的坐标为$(-a,b)$，点$B$的坐标为$(0,2b)$。
由于点$A$在抛物线$y = \frac{1}{4}x^2$上，所以$b=\frac{1}{4}a^2$。
又因为$OA$是正方形的边，$OB$是正方形的对角线，所以$OB=\sqrt{2}OA$。
$OA=\sqrt{a^2 + b^2}$，$OB=2b$，则$2b=\sqrt{2}\sqrt{a^2 + b^2}$。
将$b=\frac{1}{4}a^2$代入$2b=\sqrt{2}\sqrt{a^2 + b^2}$，得：
$2×\frac{1}{4}a^2=\sqrt{2}\sqrt{a^2 + (\frac{1}{4}a^2)^2}$
化简得：$\frac{1}{2}a^2=\sqrt{2}\sqrt{a^2 + \frac{1}{16}a^4}$
两边平方：$\frac{1}{4}a^4=2(a^2 + \frac{1}{16}a^4)$
$\frac{1}{4}a^4=2a^2 + \frac{1}{8}a^4$
移项：$\frac{1}{4}a^4 - \frac{1}{8}a^4 - 2a^2=0$
$\frac{1}{8}a^4 - 2a^2=0$
$a^2(\frac{1}{8}a^2 - 2)=0$
因为$a＞0$，所以$a^2≠0$，则$\frac{1}{8}a^2 - 2=0$，$a^2=16$，$a=4$。
$b=\frac{1}{4}×4^2=4$，所以顶点$A$的坐标是$(4,4)$。
答案：C

13. 已知函数 $ y = ( m + 2 ) x ^ { m ^ { 2 } + m - 4 } $ 是关于 $ x $ 的二次函数.
(1) 求满足条件的 $ m $ 的值.
(2) $ m $ 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，此时当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大？
(3) $ m $ 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点的坐标，此时当 $ x $ 为何值时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小？

13. (1) 根据题意得 $m + 2 ≠ 0$ 且 $m^{2} + m - 4 = 2$，解得 $m_{1} = 2$，$m_{2} = -3$，所以满足条件的 $m$ 值为 2 或 $-3$；(2) 当 $m + 2 ＞ 0$ 时，抛物线有最低点，所以 $m = 2$，抛物线解析式为 $y = 4x^{2}$，所以抛物线的最低点为 $(0,0)$，当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大；(3) 当 $m = -3$ 时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为 $y = -x^{2}$，所以抛物线的最高点为 $(0,0)$，这时，当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

(1) 由题意得：$m + 2 ≠ 0$ 且 $m^2 + m - 4 = 2$，
解方程 $m^2 + m - 4 = 2$，即 $m^2 + m - 6 = 0$，
因式分解得 $(m + 3)(m - 2) = 0$，解得 $m_1 = 2$，$m_2 = -3$，
又 $m + 2 ≠ 0$，即 $m ≠ -2$，所以 $m = 2$ 或 $m = -3$。
(2) 当 $m + 2 ＞ 0$ 时，抛物线有最低点，即 $m ＞ -2$，
由(1)知 $m = 2$ 或 $m = -3$，所以 $m = 2$，
此时抛物线解析式为 $y = (2 + 2)x^{2^2 + 2 - 4} = 4x^2$，
最低点坐标为 $(0, 0)$，当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而增大。
(3) 当 $m + 2 ＜ 0$ 时，抛物线有最高点，即 $m ＜ -2$，
由(1)知 $m = 2$ 或 $m = -3$，所以 $m = -3$，
此时抛物线解析式为 $y = (-3 + 2)x^{(-3)^2 + (-3) - 4} = -x^2$，
最高点坐标为 $(0, 0)$，当 $x ＞ 0$ 时，$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

14. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A ( 2, - 4 ) $ 在抛物线 $ y = a x ^ { 2 } $ 上，过点 $ A $ 作 $ y $ 轴的垂线，交抛物线于另一点 $ B $，点 $ C $，$ D $ 在线段 $ A B $ 上，分别过点 $ C $，$ D $ 作 $ x $ 轴的垂线交抛物线于 $ E $，$ F $ 两点.
(1) 求 $ a $ 的值；
(2) 当四边形 $ C D F E $ 为正方形时，求正方形 $ C D F E $ 的周长.

14. (1) 把 $A(2,-4)$ 代入 $y = ax^{2}$ 中得 $-4 = 4a$，解得 $a = -1$；(2) 设点 $C$ 横坐标为 $m$，$\because$ 四边形 $CDFE$ 为正方形，$\therefore CD = CE = 2m$，$\therefore$ 点 $E$ 坐标为 $(m,-4 + 2m)$。$\because a = -1$，$\therefore y = -x^{2}$，$\therefore -m^{2} = -4 + 2m$，解得 $m = -1 - \sqrt{5}$ (舍) 或 $m = -1 + \sqrt{5}$，$\therefore CD = 2m = -2 + 2\sqrt{5}$，$\therefore$ 正方形 $CDFE$ 的周长为 $4CD = -8 + 8\sqrt{5}$。

(1) 将点 $ A(2,-4) $ 代入 $ y = ax^2 $，得 $-4 = a · 2^2$，即 $4a = -4$，解得 $a = -1$。
(2) 由(1)知抛物线解析式为 $ y = -x^2 $。
设点 $ C $ 的横坐标为 $ m $，则点 $ C $ 的坐标为 $ (m, -4) $（因为 $ AB $ 垂直于 $ y $ 轴且 $ A(2,-4) $，所以 $ AB $ 上点的纵坐标均为 $-4$）。
由于抛物线 $ y = -x^2 $ 关于 $ y $ 轴对称，且 $ AB ⊥ y $ 轴，点 $ A(2,-4) $，则点 $ B $ 的坐标为 $ (-2,-4) $，故 $ AB $ 在直线 $ y = -4 $ 上，且 $ C $，$ D $ 在线段 $ AB $ 上，$ CD $ 平行于 $ x $ 轴。
过点 $ C $ 作 $ x $ 轴的垂线交抛物线于 $ E $，则点 $ E $ 的横坐标为 $ m $，纵坐标为 $ -m^2 $，因此 $ CE = |-4 - (-m^2)| = m^2 - 4 $（因为 $ E $ 在 $ AB $ 下方，$-m^2 ＜ -4$，所以 $ CE = -4 - (-m^2) = m^2 - 4 $）。
因为四边形 $ CDFE $ 为正方形，所以 $ CD = CE $，且 $ CD $ 的长度为点 $ C $ 与点 $ D $ 的横坐标差的绝对值。由于抛物线关于 $ y $ 轴对称，$ CDFE $ 为正方形，可设点 $ D $ 的横坐标为 $-m$（$ m ＞ 0 $），则 $ CD = m - (-m) = 2m $。
因此 $ 2m = m^2 - 4 $，即 $ m^2 - 2m - 4 = 0 $，解得 $ m = 1 + \sqrt{5} $（$ m = 1 - \sqrt{5} $ 舍去，因为 $ m ＞ 0 $）。
则 $ CD = 2m = 2(1 + \sqrt{5}) = 2 + 2\sqrt{5} $，正方形 $ CDFE $ 的周长为 $ 4CD = 4(2 + 2\sqrt{5}) = 8 + 8\sqrt{5} $。
答案：(1) $ a = -1 $；(2) $ 8\sqrt{5} + 8 $