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1. (2024·连云港)下列网格中各个小正方形的边长均为 1,阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁,其中是相似形的为 (
A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
D
)A.甲和乙
B.乙和丁
C.甲和丙
D.甲和丁
答案
1. D
2. (2023·重庆)如图,已知$△ ABC∽△ EDC$,$AC:EC = 2:3$,若$AB$的长度为 6,则$DE$的长度为 (
A.4
B.9
C.12
D.13.5
B
)A.4
B.9
C.12
D.13.5
答案
2. B
解析
证明：因为$△ ABC ∼ △ EDC$，所以$\frac{AC}{EC} = \frac{AB}{DE}$。
已知$AC:EC = 2:3$，$AB = 6$，设$DE = x$，则$\frac{2}{3} = \frac{6}{x}$。
解得$2x = 18$，$x = 9$。
故$DE$的长度为$9$。
B
已知$AC:EC = 2:3$，$AB = 6$，设$DE = x$，则$\frac{2}{3} = \frac{6}{x}$。
解得$2x = 18$，$x = 9$。
故$DE$的长度为$9$。
B
3. 已知$△ ABC∽△ A_1B_1C_1$,且$∠ A = 50^{\circ}$,$∠ B = 95^{\circ}$,则$∠ C_1$等于 (
A.$50^{\circ}$
B.$95^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$25^{\circ}$
C
)A.$50^{\circ}$
B.$95^{\circ}$
C.$35^{\circ}$
D.$25^{\circ}$
答案
3. C
解析
在$△ ABC$中，$∠ A = 50^{\circ}$，$∠ B = 95^{\circ}$，根据三角形内角和定理，$∠ C=180^{\circ}-∠ A-∠ B=180^{\circ}-50^{\circ}-95^{\circ}=35^{\circ}$。
因为$△ ABC∽△ A_1B_1C_1$，相似三角形对应角相等，所以$∠ C_1 = ∠ C = 35^{\circ}$。
C
因为$△ ABC∽△ A_1B_1C_1$，相似三角形对应角相等，所以$∠ C_1 = ∠ C = 35^{\circ}$。
C
4. 下列图形中不一定相似的是 (
A.两个矩形
B.两个圆
C.两个正方形
D.两个等边三角形
A
)A.两个矩形
B.两个圆
C.两个正方形
D.两个等边三角形
答案
4. A
5. 已知$AB$是$\odot O$的直径,且$C$是圆上一点,小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的$∠ B$(如图所示),那么下列关于$∠ A$与放大镜中的$∠ B$关系描述正确的是(
A.$∠ A+∠ B = 90^{\circ}$
B.$∠ A=∠ B$
C.$∠ A+∠ B＞90^{\circ}$
D.$∠ A+∠ B$的值无法确定
A
)A.$∠ A+∠ B = 90^{\circ}$
B.$∠ A=∠ B$
C.$∠ A+∠ B＞90^{\circ}$
D.$∠ A+∠ B$的值无法确定
答案
5. A
解析
解：
∵AB是$\odot O$的直径，C是圆上一点，
∴$∠ ACB=90°$，
∴$∠ A+∠ CBA=90°$。
∵放大镜不改变角的度数，
∴放大镜中的$∠ B$等于原$∠ CBA$，
∴$∠ A+$放大镜中的$∠ B=90°$。
A
∵AB是$\odot O$的直径，C是圆上一点，
∴$∠ ACB=90°$，
∴$∠ A+∠ CBA=90°$。
∵放大镜不改变角的度数，
∴放大镜中的$∠ B$等于原$∠ CBA$，
∴$∠ A+$放大镜中的$∠ B=90°$。
A
6. 如图,有两个相似的星星图案,则$x$的值为 (
A.8
B.10
C.12
D.15
A
)A.8
B.10
C.12
D.15
答案
6. A
解析
因为两个星星图案相似，所以对应边成比例。
已知小图案高度为$15\,\mathrm{cm}$，宽度为$6\,\mathrm{cm}$；大图案高度为$20\,\mathrm{cm}$，宽度为$x\,\mathrm{cm}$。
可得比例式：$\frac{15}{20}=\frac{6}{x}$
交叉相乘得：$15x = 20×6$
$15x = 120$
$x = 8$
A
已知小图案高度为$15\,\mathrm{cm}$，宽度为$6\,\mathrm{cm}$；大图案高度为$20\,\mathrm{cm}$，宽度为$x\,\mathrm{cm}$。
可得比例式：$\frac{15}{20}=\frac{6}{x}$
交叉相乘得：$15x = 20×6$
$15x = 120$
$x = 8$
A
7. 已知$△ ABC∽△ A'B'C'$,且相似比为$1:2$,$△ A'B'C'∽△ A''B''C''$,且相似比为$2:3$,则$△ ABC$与$△ A''B''C''$的相似比为 (
A.$1:3$
B.$1:2$
C.$2:3$
D.$2:1$
A
)A.$1:3$
B.$1:2$
C.$2:3$
D.$2:1$
答案
7. A
解析
设$△ABC$的边长为$a$，因为$△ABC∽△A'B'C'$，相似比为$1:2$，所以$△A'B'C'$的对应边长为$2a$。又因为$△A'B'C'∽△A''B''C''$，相似比为$2:3$，所以$△A''B''C''$的对应边长为$2a×\frac{3}{2}=3a$。因此，$△ABC$与$△A''B''C''$的相似比为$a:3a = 1:3$。
A
A
8. 如图,把矩形$ABCD$对折,折痕为$MN$,矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似,已知$AB = 4$,则$AD=$
$ 4\sqrt{2} $
.答案
8. $ 4\sqrt{2} $
解析
解：设$AD = x$，矩形$ABCD$对折后，$MD=\frac{1}{2}AD=\frac{x}{2}$，$MN = AB = 4$。
因为矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似，所以$\frac{MD}{AB}=\frac{MN}{AD}$，即$\frac{\frac{x}{2}}{4}=\frac{4}{x}$。
解得$x^2 = 32$，$x = 4\sqrt{2}$（负值舍去）。
故$AD = 4\sqrt{2}$。
因为矩形$DMNC$与矩形$ABCD$相似，所以$\frac{MD}{AB}=\frac{MN}{AD}$，即$\frac{\frac{x}{2}}{4}=\frac{4}{x}$。
解得$x^2 = 32$，$x = 4\sqrt{2}$（负值舍去）。
故$AD = 4\sqrt{2}$。
9. 如图,点$C$,$D$在线段$AB$上,$△ PCD$是等边三角形,且$△ ACP∽△ PDB$.
(1) 求$∠ APB$的大小;
(2) 探究线段$AC$,$CD$,$BD$之间的数量关系.
]
(1) 求$∠ APB$的大小;
(2) 探究线段$AC$,$CD$,$BD$之间的数量关系.
]答案
9. (1) $ \because △ PCD $ 是等边三角形，$ \therefore ∠ CPD = ∠ PDC = 60^{\circ} $。$ \because △ ACP ∽ △ PDB $，$ \therefore ∠ APC = ∠ B $，$ \therefore ∠ APB = ∠ APC + ∠ CPD + ∠ DPB = ∠ B + ∠ CPD + ∠ DPB = ∠ CDP + ∠ CPD = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ} $；(2) $ \because △ ACP ∽ △ PDB $，$ \therefore AC:PD = PC:BD $，$ \therefore PD · PC = AC · BD $。$ \because △ PCD $ 是等边三角形，$ \therefore PC = PD = CD $，$ \therefore CD^{2} = AC · BD $。
解析
(1) 解：$∵△PCD$是等边三角形，
$∴∠CPD=∠PDC=60^{\circ}$，$PC=PD=CD$。
$∵△ACP∽△PDB$，
$∴∠APC=∠B$。
$∵∠PDC=∠B+∠DPB=60^{\circ}$，
$∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=∠B+∠CPD+∠DPB=∠PDC+∠CPD=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$。
(2) 解：$∵△ACP∽△PDB$，
$∴\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，
$∴PD·PC=AC·BD$。
$∵△PCD$是等边三角形，
$∴PC=PD=CD$，
$∴CD^{2}=AC·BD$。
$∴∠CPD=∠PDC=60^{\circ}$，$PC=PD=CD$。
$∵△ACP∽△PDB$，
$∴∠APC=∠B$。
$∵∠PDC=∠B+∠DPB=60^{\circ}$，
$∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB=∠B+∠CPD+∠DPB=∠PDC+∠CPD=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$。
(2) 解：$∵△ACP∽△PDB$，
$∴\frac{AC}{PD}=\frac{PC}{BD}$，
$∴PD·PC=AC·BD$。
$∵△PCD$是等边三角形，
$∴PC=PD=CD$，
$∴CD^{2}=AC·BD$。
