变式：解方程组(1)$\begin{cases}x = 2y,\\3x - 5y = 0,\end{cases}$(2)$\begin{cases}4x - 2y = 7,\\3x + 2y = 10,\end{cases}$(3)$\begin{cases}3x + 2y = 6,\\3x - 4y = 10,\end{cases}$(4)$\begin{cases}3x + y = 0,\\2x - 5y = 3,\end{cases}$比较适宜的方法是( ).

A.(1)(2)用代入消元法，(3)(4)用加减消元法
B.(1)(3)用代入消元法，(2)(4)用加减消元法
C.(2)(3)用代入消元法，(1)(4)用加减消元法
D.(1)(4)用代入消元法，(2)(3)用加减消元法

D

【解析】
1. 方程组(1)中，第一个方程直接给出$x = 2y$，形式简单，适合代入消元法；
2. 方程组(2)中，$y$的系数互为相反数，将两个方程相加可直接消去$y$，适合加减消元法；
3. 方程组(3)中，$x$的系数相同，将两个方程相减可直接消去$x$，适合加减消元法；
4. 方程组(4)中，第一个方程$3x + y = 0$易变形为$y = -3x$，适合代入消元法。
综上，(1)(4)用代入消元法，(2)(3)用加减消元法，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
代入消元法；加减消元法
【点评】
本题考查二元一次方程组消元方法的选择，需根据方程组中未知数系数的特点，灵活选用合适的消元方法，以提升解题效率。

例 3 解方程组$\begin{cases}\frac{x + y}{2}+\frac{x - y}{3}=6,\\4(x + y)-5(x - y)=2.\end{cases}$
分析：本例既可以通过去分母化简后用代入消元法或加减消元法解方程组，也可观察出方程组的特点，将$x + y$，$x - y$各当成一个整体，利用换元法求解.
解：设$m = x + y$，$n = x - y$.
∴$\begin{cases}\frac{m}{2}+\frac{n}{3}=6, &①\\4m - 5n = 2. &②\end{cases}$①×8 - ②，得$\frac{23n}{3}=46$，∴$n = 6$.
将$n = 6$代入①，得$m = 8$.∴∴$\begin{cases}x + y = 8,\\x - y = 6,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 7,\\y = 1.\end{cases}$

解：设$m = x + y$，$n = x - y$，则原方程组可化为：
$\begin{cases}\frac{m}{2} + \frac{n}{3} = 6 &① \\4m - 5n = 2 &②\end{cases}$
①×6得：$3m + 2n = 36$ ③
②×3得：$12m - 15n = 6$ ④
③×4得：$12m + 8n = 144$ ⑤
⑤ - ④得：$23n = 138$，解得$n = 6$
将$n = 6$代入②得：$4m - 5×6 = 2$，$4m = 32$，解得$m = 8$
所以$\begin{cases} m = 8 \\ n = 6 \end{cases}$，即$\begin{cases} x + y = 8 \\ x - y = 6 \end{cases}$
两式相加得：$2x = 14$，解得$x = 7$
将$x = 7$代入$x + y = 8$得：$7 + y = 8$，解得$y = 1$
故原方程组的解为$\begin{cases} x = 7 \\ y = 1 \end{cases}$

变式：仿照例 3 中的方法，解二元一次方程组$\begin{cases}5(x + y)-3(x - y)=16,\\3(x + y)-5(x - y)=0.\end{cases}$

$\{ \begin{array} { l } { x = 4 , } \\ { y = 1 . } \end{array} $

【解析】
设$a = x + y$，$b = x - y$，则原方程组可化为：
$\begin{cases}5a - 3b = 16 &①\\3a - 5b = 0 &②\end{cases}$
①×3得：$15a - 9b = 48$ ③
②×5得：$15a - 25b = 0$ ④
③-④得：$16b = 48$，解得$b = 3$
将$b = 3$代入②得：$3a - 5×3 = 0$，解得$a = 5$
则有$\begin{cases}x + y = 5 \\x - y = 3 \end{cases}$
两式相加得：$2x = 8$，解得$x = 4$
两式相减得：$2y = 2$，解得$y = 1$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=4 \\y=1 \end{cases}$
【答案】
$\begin{cases} x = 4 \\ y = 1 \end{cases}$
【知识点】
换元法解方程组，二元一次方程组的加减消元法
【点评】
本题通过换元法将结构特殊的原方程组转化为简单的二元一次方程组，简化计算，体现了转化的数学思想，换元法是解此类方程组的常用技巧。