【例3】 一辆货车在仓库装满货物准备运往超市,驶出仓库门口后开始向东行驶,途中向右转了$50°$角,接着向前行驶,走了一段路程后,又向左转了$50°$角,如图所示。此时货车的行驶方向和原来的相同吗? 并说明理由。
解:相同。理由如下:

因为$∠AOB=50°,∠A'O'B'=50°$(已知),
所以$∠AOB=∠A'O'B'$,
所以$OA// O'A'$(同位角相等,两直线平行),
即货车的行驶方向和原来的相同。
【评析】 先用数学模型解决实际问题,再回答实际问题。

相同。理由如下:
因为$∠AOB=50°,∠A'O'B'=50°$(已知),
所以$∠AOB=∠A'O'B'$,
所以$OA// O'A'$(同位角相等,两直线平行),
即货车的行驶方向和原来的相同。

【例4】 如图,$AB// CD,AP$平分$∠BAC,CP$平分$∠ACD$,求$∠APC$的度数。
解:过点$P$作$PM// AB$交$AC$于点$M$。

因为$AB// CD$(已知),
所以$∠BAC+∠ACD=180°$(两直线平行,同旁内角互补)。
因为$PM// AB$,
所以$∠1=∠2$(两直线平行,内错角相等),
且$PM// CD$(平行于同一直线的两直线也互相平行),
所以$∠3=∠4$(两直线平行,内错角相等)。
因为$AP$平分$∠BAC,CP$平分$∠ACD$(已知),
所以$∠1=\frac{1}{2}∠BAC,∠4=\frac{1}{2}∠ACD$,所以$∠1+∠4=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ACD=90°$,
所以$∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4=90°$。
【评析】 反思本题的结果发现:两直线平行时,一组同旁内角的平分线互相垂直。同理可得,两直线平行时,一组同位角的平分线互相平行,一组内错角的平分线互相平行。反思本题的解题过程,体会添辅助线$PM$的桥梁作用。

过点$P$作$PM// AB$交$AC$于点$M$。
因为$AB// CD$(已知),
所以$∠BAC+∠ACD=180°$(两直线平行,同旁内角互补)。
因为$PM// AB$,
所以$∠1=∠2$(两直线平行,内错角相等),
且$PM// CD$(平行于同一直线的两直线也互相平行),
所以$∠3=∠4$(两直线平行,内错角相等)。
因为$AP$平分$∠BAC,CP$平分$∠ACD$(已知),
所以$∠1=\frac{1}{2}∠BAC,∠4=\frac{1}{2}∠ACD$,所以$∠1+∠4=\frac{1}{2}∠BAC+\frac{1}{2}∠ACD=90°$,
所以$∠APC=∠2+∠3=∠1+∠4=90°$。