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一、填空。
1. 一个数的因数一共有 9 个，把因数按从小到大的顺序排列，第 5 个因数是 6，这个数是(
1. 一个数的因数一共有 9 个，把因数按从小到大的顺序排列，第 5 个因数是 6，这个数是(
36
)。答案
36
解析
【分析】
首先，我们要明确因数的核心性质：一般情况下，一个数的因数是成对出现的（若a是某数的因数，则该数除以a的结果也是它的因数），所以非完全平方数的因数个数是偶数；而完全平方数因存在一个重复的因数（即它的算术平方根），因数个数为奇数。题目中该数的因数有9个（奇数），说明它是完全平方数。
其次，9个因数按从小到大排列，第5个是中间位置的因数，正好对应这个完全平方数的算术平方根（因为9个因数的排列中，中间的那个就是唯一不成对的平方根）。已知第5个因数是6，那么这个数就是6的平方，最后再验证该数的因数是否符合条件即可。
【解析】
1. 判断数的类型：因为一个数的因数个数为9（奇数），根据因数性质，只有完全平方数的因数个数为奇数，所以该数是完全平方数。
2. 确定中间因数的意义：9个因数按从小到大排列，第5个是中间的因数，也就是这个完全平方数的算术平方根。
3. 计算该数：已知第5个因数是6，所以这个数为$6^2 = 36$。
4. 验证：36的因数按从小到大排列为1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个，第5个因数是6，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
因数的性质、完全平方数特征
【点评】
本题重点考查因数的成对性以及完全平方数的因数特征，需要学生灵活运用因数的相关概念，通过分析因数个数的奇偶性判断数的类型，进而求解，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
首先，我们要明确因数的核心性质：一般情况下，一个数的因数是成对出现的（若a是某数的因数，则该数除以a的结果也是它的因数），所以非完全平方数的因数个数是偶数；而完全平方数因存在一个重复的因数（即它的算术平方根），因数个数为奇数。题目中该数的因数有9个（奇数），说明它是完全平方数。
其次，9个因数按从小到大排列，第5个是中间位置的因数，正好对应这个完全平方数的算术平方根（因为9个因数的排列中，中间的那个就是唯一不成对的平方根）。已知第5个因数是6，那么这个数就是6的平方，最后再验证该数的因数是否符合条件即可。
【解析】
1. 判断数的类型：因为一个数的因数个数为9（奇数），根据因数性质，只有完全平方数的因数个数为奇数，所以该数是完全平方数。
2. 确定中间因数的意义：9个因数按从小到大排列，第5个是中间的因数，也就是这个完全平方数的算术平方根。
3. 计算该数：已知第5个因数是6，所以这个数为$6^2 = 36$。
4. 验证：36的因数按从小到大排列为1、2、3、4、6、9、12、18、36，共9个，第5个因数是6，符合题意。
【答案】
36
【知识点】
因数的性质、完全平方数特征
【点评】
本题重点考查因数的成对性以及完全平方数的因数特征，需要学生灵活运用因数的相关概念，通过分析因数个数的奇偶性判断数的类型，进而求解，对学生的逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
2. 用最小的质数、最小的奇数、最小的合数和最小的自然数组成一个四位数，其中同时是 2 和 5 的倍数的最大四位数是(
4210
)，是 2 的倍数但不是 5 的倍数的最小四位数是(1024
)。答案
4210
1024
1024
解析
【分析】
首先明确题目涉及的特殊数字：最小的质数是2，最小的奇数是1，最小的合数是4，最小的自然数是0。
1. 对于同时是2和5的倍数的数，根据倍数特征，个位必须为0（2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，两者共同特征是个位为0）。要组成最大四位数，需将剩余数字2、1、4按从大到小顺序排列在千位、百位、十位，即可得到符合要求的最大数。
2. 对于是2的倍数但不是5的倍数的数，个位需是偶数（2或4）且不能为0。要组成最小四位数，千位选最小的非0数字1，百位选最小数字0，十位选剩余数字中较小的2，个位选剩下的偶数4，即可得到符合要求的最小数。
【解析】
1. 确定核心数字：最小的质数=2，最小的奇数=1，最小的合数=4，最小的自然数=0。
2. 求同时是2和5的倍数的最大四位数：
依据2和5的倍数特征，个位必须为0；
将剩余数字2、1、4从大到小排列，依次放在千位、百位、十位，得到4210。
3. 求是2的倍数但不是5的倍数的最小四位数：
是2的倍数则个位为偶数（2或4），不是5的倍数则个位不能为0；
按最小四位数的要求，千位选1，百位选0，十位选2，个位选4，得到1024。
【答案】
4210；1024
【知识点】
1. 质数合数概念
2. 2、5的倍数特征
3. 奇数自然数概念
【点评】
本题综合考查了数的分类基础概念与倍数特征，需要先准确识别特殊数字，再结合倍数特征进行数字排列，既考验对基础概念的掌握程度，也锻炼逻辑推理与数字组合能力。
【难度系数】
0.6
首先明确题目涉及的特殊数字：最小的质数是2，最小的奇数是1，最小的合数是4，最小的自然数是0。
1. 对于同时是2和5的倍数的数，根据倍数特征，个位必须为0（2的倍数个位是偶数，5的倍数个位是0或5，两者共同特征是个位为0）。要组成最大四位数，需将剩余数字2、1、4按从大到小顺序排列在千位、百位、十位，即可得到符合要求的最大数。
2. 对于是2的倍数但不是5的倍数的数，个位需是偶数（2或4）且不能为0。要组成最小四位数，千位选最小的非0数字1，百位选最小数字0，十位选剩余数字中较小的2，个位选剩下的偶数4，即可得到符合要求的最小数。
【解析】
1. 确定核心数字：最小的质数=2，最小的奇数=1，最小的合数=4，最小的自然数=0。
2. 求同时是2和5的倍数的最大四位数：
依据2和5的倍数特征，个位必须为0；
将剩余数字2、1、4从大到小排列，依次放在千位、百位、十位，得到4210。
3. 求是2的倍数但不是5的倍数的最小四位数：
是2的倍数则个位为偶数（2或4），不是5的倍数则个位不能为0；
按最小四位数的要求，千位选1，百位选0，十位选2，个位选4，得到1024。
【答案】
4210；1024
【知识点】
1. 质数合数概念
2. 2、5的倍数特征
3. 奇数自然数概念
【点评】
本题综合考查了数的分类基础概念与倍数特征，需要先准确识别特殊数字，再结合倍数特征进行数字排列，既考验对基础概念的掌握程度，也锻炼逻辑推理与数字组合能力。
【难度系数】
0.6
3. 如果 $ A = 2 × 2 × 3 × 5 $，$ B = 2 × 2 × 2 × 3 $，那么 $ A $ 和 $ B $ 的最大公因数是(
12
)，最小公倍数是(120
)。答案
12
120
120
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以利用分解质因数法来求两个数的最大公因数和最小公倍数。首先回忆相关概念：最大公因数是两个数公有的质因数的乘积；最小公倍数是两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。
第一步，先找出A和B公有的质因数：观察$A=2×2×3×5$，$B=2×2×2×3$，它们公有的质因数是2、2、3；
第二步，计算最大公因数，将公有的质因数相乘即可；
第三步，找各自独有的质因数，A独有的是5，B独有的是2，然后把公有的质因数乘积与独有的质因数相乘，得到最小公倍数。
【解析】
1. 求最大公因数：
A和B公有的质因数为2、2、3，所以最大公因数为：
$2×2×3=12$
2. 求最小公倍数：
公有的质因数乘积是12，A独有的质因数是5，B独有的质因数是2，所以最小公倍数为：
$12×5×2=120$
【答案】
12；120
【知识点】
分解质因数求最大公因数；分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题考查利用分解质因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数，关键是准确区分公有的质因数和各自独有的质因数，计算时注意不要遗漏或重复相乘，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以利用分解质因数法来求两个数的最大公因数和最小公倍数。首先回忆相关概念：最大公因数是两个数公有的质因数的乘积；最小公倍数是两个数公有的质因数与各自独有的质因数的乘积。
第一步，先找出A和B公有的质因数：观察$A=2×2×3×5$，$B=2×2×2×3$，它们公有的质因数是2、2、3；
第二步，计算最大公因数，将公有的质因数相乘即可；
第三步，找各自独有的质因数，A独有的是5，B独有的是2，然后把公有的质因数乘积与独有的质因数相乘，得到最小公倍数。
【解析】
1. 求最大公因数：
A和B公有的质因数为2、2、3，所以最大公因数为：
$2×2×3=12$
2. 求最小公倍数：
公有的质因数乘积是12，A独有的质因数是5，B独有的质因数是2，所以最小公倍数为：
$12×5×2=120$
【答案】
12；120
【知识点】
分解质因数求最大公因数；分解质因数求最小公倍数
【点评】
本题考查利用分解质因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数，关键是准确区分公有的质因数和各自独有的质因数，计算时注意不要遗漏或重复相乘，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 一个四位数，个位上的数是最小奇数的 5 倍，十位上的数既是质数又是偶数，千位上的数是最小的合数，百位上的数是 0，这个四位数是(
4025
)。答案
4025
解析
【分析】
要确定这个四位数，需根据题目条件结合数的分类概念，逐个推导每个数位的数字：首先回忆最小奇数、既是质数又是偶数的数、最小合数的具体数值，再结合题目给出的百位数字，最后将各数位数字按顺序组合即可得到结果。
1. 先看个位：最小的奇数是1，它的5倍可通过乘法计算得出个位数字；
2. 再看十位：根据质数和偶数的定义，找出唯一符合“既是质数又是偶数”的数作为十位数字；
3. 接着看千位：明确最小的合数是多少，确定千位数字；
4. 最后结合题目给出的百位数字0，将四个数位的数字按千位、百位、十位、个位的顺序组合。
【解析】
1. 计算个位数字：
最小的奇数是1，个位数字为 $1×5=5$；
2. 确定十位数字：
既是质数又是偶数的数只有2，因此十位数字是2；
3. 确定千位数字：
最小的合数是4，因此千位数字是4；
4. 题目明确给出百位数字是0；
5. 组合各数位数字：千位4、百位0、十位2、个位5，得到四位数4025。
【答案】
4025
【知识点】
奇数与偶数定义、质数与合数定义
【点评】
本题考查数的分类基础概念的应用，需要准确记忆特殊数字的特征，如最小的奇数、最小的合数，以及唯一的偶质数，只要熟练掌握这些基础概念，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
要确定这个四位数，需根据题目条件结合数的分类概念，逐个推导每个数位的数字：首先回忆最小奇数、既是质数又是偶数的数、最小合数的具体数值，再结合题目给出的百位数字，最后将各数位数字按顺序组合即可得到结果。
1. 先看个位：最小的奇数是1，它的5倍可通过乘法计算得出个位数字；
2. 再看十位：根据质数和偶数的定义，找出唯一符合“既是质数又是偶数”的数作为十位数字；
3. 接着看千位：明确最小的合数是多少，确定千位数字；
4. 最后结合题目给出的百位数字0，将四个数位的数字按千位、百位、十位、个位的顺序组合。
【解析】
1. 计算个位数字：
最小的奇数是1，个位数字为 $1×5=5$；
2. 确定十位数字：
既是质数又是偶数的数只有2，因此十位数字是2；
3. 确定千位数字：
最小的合数是4，因此千位数字是4；
4. 题目明确给出百位数字是0；
5. 组合各数位数字：千位4、百位0、十位2、个位5，得到四位数4025。
【答案】
4025
【知识点】
奇数与偶数定义、质数与合数定义
【点评】
本题考查数的分类基础概念的应用，需要准确记忆特殊数字的特征，如最小的奇数、最小的合数，以及唯一的偶质数，只要熟练掌握这些基础概念，就能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.8
5. (1)要使 $ 41 □ $ 既有因数 3，又有因数 2，$ □ $ 里填(
(2)一个数既是 48 的因数，又是 12 的倍数，这个数最小是(
(3)要使三位数 $ 7 □ □ $ 同时是 2，3，5 的倍数，这个数最小是(
(4)一个两位数既是偶数，又是 3 的倍数，这个数最大是(
4
)。(2)一个数既是 48 的因数，又是 12 的倍数，这个数最小是(
12
)。(3)要使三位数 $ 7 □ □ $ 同时是 2，3，5 的倍数，这个数最小是(
720
)。(4)一个两位数既是偶数，又是 3 的倍数，这个数最大是(
96
)。答案
4
12
720
96
12
720
96
解析
【分析】
1. 第(1)题：要使数既有因数2又有因数3，需结合2和3的倍数特征分析。先根据2的倍数特征确定个位可选的偶数，再通过3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数）筛选出符合条件的数字。
2. 第(2)题：先列举出48的所有因数，再从这些因数中找出属于12的倍数的数，其中最小的即为答案。
3. 第(3)题：同时是2、3、5的倍数，需先满足2和5的共同倍数特征（个位为0），再根据3的倍数特征确定十位最小的数字，使各位数字之和是3的倍数，进而得到最小的三位数。
4. 第(4)题：从最大的两位偶数开始排查，判断其是否为3的倍数（各位数字之和是3的倍数），找到符合条件的最大数即可。
【解析】
(1) 有因数2的数个位是偶数，即□可填0、2、4、6、8；
有因数3的数各位数字之和需是3的倍数，4+1=5，5+4=9，9是3的倍数，因此□里填4。
(2) 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
其中是12的倍数的数为12、24、48，最小的是12。
(3) 同时是2和5的倍数，个位必须是0；
要使7□0是3的倍数，各位数字之和7+□+0需是3的倍数，7+2+0=9，9是3的倍数，十位最小填2，所以这个数最小是720。
(4) 最大的两位偶数是98，9+8=17，17不是3的倍数；
下一个两位偶数是96，9+6=15，15是3的倍数，因此这个数最大是96。
【答案】
4
12
720
96
【知识点】
1. 2、3、5的倍数特征
2. 因数与倍数的概念
【点评】
本题综合考查了数的倍数、因数的核心知识点，需要学生熟练掌握2、3、5的倍数特征，同时具备列举、筛选、排查的逻辑思维能力，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.6
1. 第(1)题：要使数既有因数2又有因数3，需结合2和3的倍数特征分析。先根据2的倍数特征确定个位可选的偶数，再通过3的倍数特征（各位数字之和是3的倍数）筛选出符合条件的数字。
2. 第(2)题：先列举出48的所有因数，再从这些因数中找出属于12的倍数的数，其中最小的即为答案。
3. 第(3)题：同时是2、3、5的倍数，需先满足2和5的共同倍数特征（个位为0），再根据3的倍数特征确定十位最小的数字，使各位数字之和是3的倍数，进而得到最小的三位数。
4. 第(4)题：从最大的两位偶数开始排查，判断其是否为3的倍数（各位数字之和是3的倍数），找到符合条件的最大数即可。
【解析】
(1) 有因数2的数个位是偶数，即□可填0、2、4、6、8；
有因数3的数各位数字之和需是3的倍数，4+1=5，5+4=9，9是3的倍数，因此□里填4。
(2) 48的因数有：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
其中是12的倍数的数为12、24、48，最小的是12。
(3) 同时是2和5的倍数，个位必须是0；
要使7□0是3的倍数，各位数字之和7+□+0需是3的倍数，7+2+0=9，9是3的倍数，十位最小填2，所以这个数最小是720。
(4) 最大的两位偶数是98，9+8=17，17不是3的倍数；
下一个两位偶数是96，9+6=15，15是3的倍数，因此这个数最大是96。
【答案】
4
12
720
96
【知识点】
1. 2、3、5的倍数特征
2. 因数与倍数的概念
【点评】
本题综合考查了数的倍数、因数的核心知识点，需要学生熟练掌握2、3、5的倍数特征，同时具备列举、筛选、排查的逻辑思维能力，是对基础概念应用的典型考查。
【难度系数】
0.6
6. 在括号里填合适的质数。
$ 26 = (\ ) + (\ ) $
$ 28 = (\ ) + (\ ) + (\ ) $
$ 77 = (\ ) × (\ ) $
$ 20 = (\ ) × (\ ) × (\ ) $
$ 26 = (\ ) + (\ ) $
$ 28 = (\ ) + (\ ) + (\ ) $
$ 77 = (\ ) × (\ ) $
$ 20 = (\ ) × (\ ) × (\ ) $
答案
3
23
2
3
23
7
11
2
2
5
23
2
3
23
7
11
2
2
5
解析
【分析】
首先要明确质数的定义：质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数。对于加法形式的题目，我们可以从最小的质数开始尝试，用目标数减去该质数，判断结果是否为质数；对于乘法形式的题目，需要通过分解质因数的方法，将合数拆分成几个质数相乘的形式。
1. 对于$26=( )+( )$，从最小质数2开始试，26-2=24（不是质数），再试3，26-3=23（23是质数），符合要求；
2. 对于$28=( )+( )+( )$，先选质数2，28-2=26，再将26拆成两个质数3和23的和，2+3+23=28；
3. 对于$77=( )×( )$，考虑77的因数，7×11=77，且7和11都是质数；
4. 对于$20=( )×( )×( )$，分解质因数，20先除以2得10，10再除以2得5，所以2×2×5=20。
【解析】
1. 找和为26的两个质数：
从质数3开始尝试，$26-3=23$，23是质数，所以$26=3+23$；
2. 找和为28的三个质数：
先取质数2，$28-2=26$，再将26拆为$3+23$，所以$28=2+3+23$；
3. 分解77为质数乘积：
$77÷7=11$，7和11均为质数，所以$77=7×11$；
4. 分解20为质数乘积：
$20÷2=10$，$10÷2=5$，2和5均为质数，所以$20=2×2×5$。
【答案】
3；23；2；3；23；7；11；2；2；5
【知识点】
质数的概念、分解质因数、合数拆分
【点评】
本题考查质数的概念及应用，需要学生熟练掌握常见质数，通过尝试法和分解质因数法解题，既巩固了质数的相关知识，又提升了学生的数感和运算能力。
【难度系数】
0.7
首先要明确质数的定义：质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数。对于加法形式的题目，我们可以从最小的质数开始尝试，用目标数减去该质数，判断结果是否为质数；对于乘法形式的题目，需要通过分解质因数的方法，将合数拆分成几个质数相乘的形式。
1. 对于$26=( )+( )$，从最小质数2开始试，26-2=24（不是质数），再试3，26-3=23（23是质数），符合要求；
2. 对于$28=( )+( )+( )$，先选质数2，28-2=26，再将26拆成两个质数3和23的和，2+3+23=28；
3. 对于$77=( )×( )$，考虑77的因数，7×11=77，且7和11都是质数；
4. 对于$20=( )×( )×( )$，分解质因数，20先除以2得10，10再除以2得5，所以2×2×5=20。
【解析】
1. 找和为26的两个质数：
从质数3开始尝试，$26-3=23$，23是质数，所以$26=3+23$；
2. 找和为28的三个质数：
先取质数2，$28-2=26$，再将26拆为$3+23$，所以$28=2+3+23$；
3. 分解77为质数乘积：
$77÷7=11$，7和11均为质数，所以$77=7×11$；
4. 分解20为质数乘积：
$20÷2=10$，$10÷2=5$，2和5均为质数，所以$20=2×2×5$。
【答案】
3；23；2；3；23；7；11；2；2；5
【知识点】
质数的概念、分解质因数、合数拆分
【点评】
本题考查质数的概念及应用，需要学生熟练掌握常见质数，通过尝试法和分解质因数法解题，既巩固了质数的相关知识，又提升了学生的数感和运算能力。
【难度系数】
0.7
7. 如果 $ a = 0.5b $($ a $ 和 $ b $ 都为非 0 自然数)，$ a $ 和 $ b $ 的最大公因数是(
a
)，最小公倍数是(b
)。答案
a
b
b
解析
【分析】
首先将已知等式$a = 0.5b$变形为$b = 2a$，由此可知$b$是$a$的2倍，且$a$、$b$均为非0自然数，说明$a$和$b$是倍数关系。根据倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的规律：当两个数为倍数关系时，最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数。这里$a ＜ b$，据此可确定结果。
【解析】
已知$a = 0.5b$（$a$、$b$为非0自然数），等式两边同时乘2可得：
$b = 2a$
即$b$是$a$的2倍，两数属于倍数关系，且$a ＜ b$。
根据倍数关系的数的性质：
最大公因数为较小的数，即$a$；
最小公倍数为较大的数，即$b$。
【答案】
$a$；$b$
【知识点】
倍数关系的数的最大公因数与最小公倍数
【点评】
本题考查倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法，关键是先通过等式变形判断出两数的倍数关系，再利用“倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”这一结论快速解题，属于基础题型，需牢记该规律。
【难度系数】
0.8
首先将已知等式$a = 0.5b$变形为$b = 2a$，由此可知$b$是$a$的2倍，且$a$、$b$均为非0自然数，说明$a$和$b$是倍数关系。根据倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的规律：当两个数为倍数关系时，最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数。这里$a ＜ b$，据此可确定结果。
【解析】
已知$a = 0.5b$（$a$、$b$为非0自然数），等式两边同时乘2可得：
$b = 2a$
即$b$是$a$的2倍，两数属于倍数关系，且$a ＜ b$。
根据倍数关系的数的性质：
最大公因数为较小的数，即$a$；
最小公倍数为较大的数，即$b$。
【答案】
$a$；$b$
【知识点】
倍数关系的数的最大公因数与最小公倍数
【点评】
本题考查倍数关系的两个数的最大公因数和最小公倍数的求法，关键是先通过等式变形判断出两数的倍数关系，再利用“倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”这一结论快速解题，属于基础题型，需牢记该规律。
【难度系数】
0.8
8. 甲、乙两个数的最大公因数是 5，最小公倍数是 60，其中甲数是 15，乙数是(
20
)。答案
20
解析
【分析】
要解决这道题，关键是牢记两个数的核心关系：两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。已知甲、乙两数的最大公因数是5，最小公倍数是60，甲数是15，我们可以通过这个关系逆向推导乙数的计算方法：乙数 =（最大公因数×最小公倍数）÷甲数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据“两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数”，可得：
乙数 =（最大公因数 × 最小公倍数）÷ 甲数
将已知数值代入公式：
乙数 = (5×60)÷15
= 300÷15
= 20
【答案】
20
【知识点】
最大公因数与最小公倍数的关系、整数乘除运算
【点评】
本题考查对最大公因数和最小公倍数关系的理解与应用，核心是牢记“两数乘积=最大公因数×最小公倍数”这一公式，通过逆向运算即可求出未知的数，属于基础题型，只要掌握核心知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，关键是牢记两个数的核心关系：两个数的乘积等于它们的最大公因数与最小公倍数的乘积。已知甲、乙两数的最大公因数是5，最小公倍数是60，甲数是15，我们可以通过这个关系逆向推导乙数的计算方法：乙数 =（最大公因数×最小公倍数）÷甲数，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
根据“两个数的乘积 = 最大公因数 × 最小公倍数”，可得：
乙数 =（最大公因数 × 最小公倍数）÷ 甲数
将已知数值代入公式：
乙数 = (5×60)÷15
= 300÷15
= 20
【答案】
20
【知识点】
最大公因数与最小公倍数的关系、整数乘除运算
【点评】
本题考查对最大公因数和最小公倍数关系的理解与应用，核心是牢记“两数乘积=最大公因数×最小公倍数”这一公式，通过逆向运算即可求出未知的数，属于基础题型，只要掌握核心知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.7
9. 在括号里填“奇数”或“偶数”。
(1)$ 1 + 3 + 5 + 7 + ··· + 97 + 99 $ 的和是(
(2)$ 1 + 2 × 3 + 4 × 5 + 6 × 7 + ··· + 98 × 99 $ 的结果是(
(1)$ 1 + 3 + 5 + 7 + ··· + 97 + 99 $ 的和是(
偶数
)。(2)$ 1 + 2 × 3 + 4 × 5 + 6 × 7 + ··· + 98 × 99 $ 的结果是(
奇数
)。答案
偶数
奇数
奇数
解析
【分析】
（1）先确定算式中奇数的个数：1到99的奇数共有50个，根据奇数的运算性质，偶数个奇数相加的和为偶数，由此可判断该算式的和的奇偶性。
（2）拆分算式分析：除第一项1外，后面每一项都是“偶数×奇数”，根据偶数的运算性质，偶数乘任何数结果都是偶数，若干个偶数相加的和仍是偶数；再结合“奇数+偶数=奇数”的性质，即可判断最终结果的奇偶性。
【解析】
（1）1到99中的奇数一共有50个，因为偶数个奇数相加的和是偶数，所以$1 + 3 + 5 + 7 + ··· + 97 + 99$的和是偶数。
（2）观察算式可知：$2×3$、$4×5$、……、$98×99$这些项都是偶数乘奇数，结果均为偶数，若干个偶数相加的和还是偶数；再加上第一个数1（奇数），根据“奇数+偶数=奇数”，可得最终结果是奇数。
【答案】
（1）偶数；（2）奇数
【知识点】
奇数偶数运算性质
【点评】
本题重点考查奇数与偶数的核心运算规律，需要熟练掌握“偶数个奇数相加和为偶数”“偶数乘任何数为偶数”“奇数加偶数为奇数”这些性质，通过拆分算式、分步分析每部分的奇偶性来推导结果，检验对基础数论性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）先确定算式中奇数的个数：1到99的奇数共有50个，根据奇数的运算性质，偶数个奇数相加的和为偶数，由此可判断该算式的和的奇偶性。
（2）拆分算式分析：除第一项1外，后面每一项都是“偶数×奇数”，根据偶数的运算性质，偶数乘任何数结果都是偶数，若干个偶数相加的和仍是偶数；再结合“奇数+偶数=奇数”的性质，即可判断最终结果的奇偶性。
【解析】
（1）1到99中的奇数一共有50个，因为偶数个奇数相加的和是偶数，所以$1 + 3 + 5 + 7 + ··· + 97 + 99$的和是偶数。
（2）观察算式可知：$2×3$、$4×5$、……、$98×99$这些项都是偶数乘奇数，结果均为偶数，若干个偶数相加的和还是偶数；再加上第一个数1（奇数），根据“奇数+偶数=奇数”，可得最终结果是奇数。
【答案】
（1）偶数；（2）奇数
【知识点】
奇数偶数运算性质
【点评】
本题重点考查奇数与偶数的核心运算规律，需要熟练掌握“偶数个奇数相加和为偶数”“偶数乘任何数为偶数”“奇数加偶数为奇数”这些性质，通过拆分算式、分步分析每部分的奇偶性来推导结果，检验对基础数论性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.6
二、选择。
10. 两个相邻自然数的和一定是(
A.合数
B.奇数
C.偶数
D.质数
10. 两个相邻自然数的和一定是(
B
)。A.合数
B.奇数
C.偶数
D.质数
答案
B
解析
【分析】
首先明确相邻自然数的特征：相邻的两个自然数必然一个是奇数，另一个是偶数。接着回忆奇数与偶数的运算性质：奇数加偶数的结果是奇数。我们还可以通过举例验证的方式辅助判断，比如取相邻的1和2，和为3（奇数）；2和3，和为5（奇数），同时排除其他选项，比如和不一定是合数或质数，也不可能是偶数，从而确定正确答案。
【解析】
设其中一个自然数为$n$（$n$为自然数），则与其相邻的另一个自然数为$n+1$：
1. 若$n$是偶数，那么$n+1$是奇数，根据奇偶运算性质，偶数+奇数=奇数；
2. 若$n$是奇数，那么$n+1$是偶数，根据奇偶运算性质，奇数+偶数=奇数。
再通过举例验证：
$1+2=3$，3是奇数，不是合数、偶数、质数；
$2+3=5$，5是奇数，不是合数、偶数。
综上，两个相邻自然数的和一定是奇数，排除A、C、D选项。
【答案】
B
【知识点】
奇数偶数的运算性质、相邻自然数的特征
【点评】
本题考查自然数分类及奇偶性运算规律的基础应用，解题可通过代数推导或举例验证两种方式，难度较低，需要学生熟练掌握基础数论知识，避免混淆合数、质数、奇偶性的概念。
【难度系数】
0.8
首先明确相邻自然数的特征：相邻的两个自然数必然一个是奇数，另一个是偶数。接着回忆奇数与偶数的运算性质：奇数加偶数的结果是奇数。我们还可以通过举例验证的方式辅助判断，比如取相邻的1和2，和为3（奇数）；2和3，和为5（奇数），同时排除其他选项，比如和不一定是合数或质数，也不可能是偶数，从而确定正确答案。
【解析】
设其中一个自然数为$n$（$n$为自然数），则与其相邻的另一个自然数为$n+1$：
1. 若$n$是偶数，那么$n+1$是奇数，根据奇偶运算性质，偶数+奇数=奇数；
2. 若$n$是奇数，那么$n+1$是偶数，根据奇偶运算性质，奇数+偶数=奇数。
再通过举例验证：
$1+2=3$，3是奇数，不是合数、偶数、质数；
$2+3=5$，5是奇数，不是合数、偶数。
综上，两个相邻自然数的和一定是奇数，排除A、C、D选项。
【答案】
B
【知识点】
奇数偶数的运算性质、相邻自然数的特征
【点评】
本题考查自然数分类及奇偶性运算规律的基础应用，解题可通过代数推导或举例验证两种方式，难度较低，需要学生熟练掌握基础数论知识，避免混淆合数、质数、奇偶性的概念。
【难度系数】
0.8
11. 用 2，5，8 这三个数字组成的所有三位数，一定有公因数(
A.1，3
B.1，2
C.1，2，5
D.1，2，3，0
A
)。A.1，3
B.1，2
C.1，2，5
D.1，2，3，0
答案
A
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：
1. 首先明确题目要求：找出用2、5、8组成的所有三位数共有的公因数。
2. 第一步先写出所有由2、5、8组成的三位数，分别是258、285、528、582、825、852。
3. 然后逐一分析选项中的数是否是这些三位数的公因数：
1是所有非零自然数的公因数，所以所有数都有公因数1；
计算三个数字的和：2+5+8=15，15是3的倍数，根据3的倍数特征，各个数位上数字之和是3的倍数的数是3的倍数，因此这些三位数都是3的倍数，3是它们的公因数；
对于2，285、825是奇数，不能被2整除，所以2不是所有数的公因数；
对于5，只有末尾是5的数能被5整除，如258不能被5整除，所以5不是；
0不能作为因数，直接排除。
综上，这些三位数一定有的公因数是1和3，对应选项A。
【解析】
1. 列出用2、5、8组成的所有三位数：258、285、528、582、825、852。
2. 分析公因数：
1是所有非零自然数的公因数，因此所有三位数都有公因数1；
计算三个数字之和：$2+5+8=15$，15是3的倍数，根据3的倍数特征（一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数），可知这些三位数都是3的倍数，即3是它们的公因数；
观察发现285、825是奇数，不能被2整除，所以2不是所有三位数的公因数；
只有末尾是5的数能被5整除，如258不能被5整除，所以5不是所有三位数的公因数；
0不能作为因数，直接排除。
因此，这些三位数一定有的公因数是1和3，选择选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因数的概念、3的倍数特征、数的整除特征
【点评】
本题主要考查公因数的判断及3的倍数特征的应用，解题关键是先列举出所有符合条件的三位数，再结合数的整除特征逐一分析选项，同时要牢记1是所有非零自然数的公因数，避免遗漏。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，我们可以按以下思路思考：
1. 首先明确题目要求：找出用2、5、8组成的所有三位数共有的公因数。
2. 第一步先写出所有由2、5、8组成的三位数，分别是258、285、528、582、825、852。
3. 然后逐一分析选项中的数是否是这些三位数的公因数：
1是所有非零自然数的公因数，所以所有数都有公因数1；
计算三个数字的和：2+5+8=15，15是3的倍数，根据3的倍数特征，各个数位上数字之和是3的倍数的数是3的倍数，因此这些三位数都是3的倍数，3是它们的公因数；
对于2，285、825是奇数，不能被2整除，所以2不是所有数的公因数；
对于5，只有末尾是5的数能被5整除，如258不能被5整除，所以5不是；
0不能作为因数，直接排除。
综上，这些三位数一定有的公因数是1和3，对应选项A。
【解析】
1. 列出用2、5、8组成的所有三位数：258、285、528、582、825、852。
2. 分析公因数：
1是所有非零自然数的公因数，因此所有三位数都有公因数1；
计算三个数字之和：$2+5+8=15$，15是3的倍数，根据3的倍数特征（一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数），可知这些三位数都是3的倍数，即3是它们的公因数；
观察发现285、825是奇数，不能被2整除，所以2不是所有三位数的公因数；
只有末尾是5的数能被5整除，如258不能被5整除，所以5不是所有三位数的公因数；
0不能作为因数，直接排除。
因此，这些三位数一定有的公因数是1和3，选择选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因数的概念、3的倍数特征、数的整除特征
【点评】
本题主要考查公因数的判断及3的倍数特征的应用，解题关键是先列举出所有符合条件的三位数，再结合数的整除特征逐一分析选项，同时要牢记1是所有非零自然数的公因数，避免遗漏。
【难度系数】
0.6
12. 在自然数 $ 1 ∼ 20 $ 中，是合数但不是偶数的一共有(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要分步骤思考：首先明确题目要求的是“1～20中是合数但不是偶数的数”，所以得先清楚合数和偶数的定义。合数是指除了1和它本身外还有其他因数的自然数；偶数是能被2整除的自然数（即个位为0、2、4、6、8的数）。接下来我们可以先找出1～20中的所有合数，再从这些合数里排除掉偶数，最后数出剩下的数的个数即可。
【解析】
1. 明确概念：
合数：除了1和自身外，还有其他因数的自然数；
偶数：能被2整除的自然数。
2. 找出1～20中的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20；
3. 从上述合数中筛选出不是偶数的数（即奇数的合数）：9（因数为1、3、9）、15（因数为1、3、5、15）；
4. 统计符合条件的数的个数：共2个。
【答案】
B
【知识点】
合数的定义、偶数的定义
【点评】
本题主要考查对合数与偶数概念的理解与区分，解题关键是准确掌握两类数的定义，通过先列举再筛选的方法可以有效避免遗漏或错误，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要分步骤思考：首先明确题目要求的是“1～20中是合数但不是偶数的数”，所以得先清楚合数和偶数的定义。合数是指除了1和它本身外还有其他因数的自然数；偶数是能被2整除的自然数（即个位为0、2、4、6、8的数）。接下来我们可以先找出1～20中的所有合数，再从这些合数里排除掉偶数，最后数出剩下的数的个数即可。
【解析】
1. 明确概念：
合数：除了1和自身外，还有其他因数的自然数；
偶数：能被2整除的自然数。
2. 找出1～20中的合数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20；
3. 从上述合数中筛选出不是偶数的数（即奇数的合数）：9（因数为1、3、9）、15（因数为1、3、5、15）；
4. 统计符合条件的数的个数：共2个。
【答案】
B
【知识点】
合数的定义、偶数的定义
【点评】
本题主要考查对合数与偶数概念的理解与区分，解题关键是准确掌握两类数的定义，通过先列举再筛选的方法可以有效避免遗漏或错误，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
13. $ a $ 是奇数，$ b $ 是偶数，下面结果是奇数的式子是(
A.$ 3a + b $
B.$ 2a + b $
C.$ 2(a + b) $
D.$ 3a - b - 1 $
A
)。A.$ 3a + b $
B.$ 2a + b $
C.$ 2(a + b) $
D.$ 3a - b - 1 $
答案
A
解析
【分析】
要判断每个选项结果的奇偶性，需依据奇数和偶数的运算性质：奇数×奇数=奇数，偶数×任何数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，奇数-偶数=奇数，奇数-奇数=偶数。我们逐个分析选项：
1. 明确已知条件：a是奇数，b是偶数；
2. 分析选项A：3是奇数，奇数×奇数=奇数，所以3a是奇数，再加上偶数b，奇数+偶数=奇数，结果为奇数；
3. 分析选项B：2是偶数，偶数×奇数=偶数，2a是偶数，加上偶数b，偶数+偶数=偶数，结果为偶数；
4. 分析选项C：a是奇数，b是偶数，奇数+偶数=奇数，再乘2（偶数），偶数×奇数=偶数，结果为偶数；
5. 分析选项D：3a是奇数，减去偶数b得奇数，再减1（奇数），奇数-奇数=偶数，结果为偶数；
综上，只有选项A的结果是奇数。
【解析】
已知a是奇数，b是偶数，根据奇偶运算性质逐一分析：
选项A：因为奇数×奇数=奇数，所以3a为奇数；又因为奇数+偶数=奇数，因此3a+b的结果是奇数；
选项B：因为偶数×奇数=偶数，所以2a为偶数；又因为偶数+偶数=偶数，因此2a+b的结果是偶数；
选项C：因为奇数+偶数=奇数，所以a+b为奇数；又因为偶数×奇数=偶数，因此2(a+b)的结果是偶数；
选项D：3a是奇数，奇数-偶数=奇数，再减去奇数1，奇数-奇数=偶数，因此3a-b-1的结果是偶数；
综上，结果为奇数的式子是选项A。
【答案】
A
【知识点】
奇偶运算性质
【点评】
本题考查奇数和偶数的运算性质，解题核心是熟练掌握奇偶性的各类运算规律，通过拆分式子逐步推导结果的奇偶性，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.7
要判断每个选项结果的奇偶性，需依据奇数和偶数的运算性质：奇数×奇数=奇数，偶数×任何数=偶数，奇数+偶数=奇数，偶数+偶数=偶数，奇数-偶数=奇数，奇数-奇数=偶数。我们逐个分析选项：
1. 明确已知条件：a是奇数，b是偶数；
2. 分析选项A：3是奇数，奇数×奇数=奇数，所以3a是奇数，再加上偶数b，奇数+偶数=奇数，结果为奇数；
3. 分析选项B：2是偶数，偶数×奇数=偶数，2a是偶数，加上偶数b，偶数+偶数=偶数，结果为偶数；
4. 分析选项C：a是奇数，b是偶数，奇数+偶数=奇数，再乘2（偶数），偶数×奇数=偶数，结果为偶数；
5. 分析选项D：3a是奇数，减去偶数b得奇数，再减1（奇数），奇数-奇数=偶数，结果为偶数；
综上，只有选项A的结果是奇数。
【解析】
已知a是奇数，b是偶数，根据奇偶运算性质逐一分析：
选项A：因为奇数×奇数=奇数，所以3a为奇数；又因为奇数+偶数=奇数，因此3a+b的结果是奇数；
选项B：因为偶数×奇数=偶数，所以2a为偶数；又因为偶数+偶数=偶数，因此2a+b的结果是偶数；
选项C：因为奇数+偶数=奇数，所以a+b为奇数；又因为偶数×奇数=偶数，因此2(a+b)的结果是偶数；
选项D：3a是奇数，奇数-偶数=奇数，再减去奇数1，奇数-奇数=偶数，因此3a-b-1的结果是偶数；
综上，结果为奇数的式子是选项A。
【答案】
A
【知识点】
奇偶运算性质
【点评】
本题考查奇数和偶数的运算性质，解题核心是熟练掌握奇偶性的各类运算规律，通过拆分式子逐步推导结果的奇偶性，属于基础概念应用类题目。
【难度系数】
0.7
14. 一个两位数，个位上与十位上的数都是质数，且它们的和是 10，积是 21，这样的两位数有(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)个。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
首先，我们需要明确质数的定义：质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数。题目要求两位数的个位和十位都是质数，且这两个质数的和是10、积是21。我们可以先列出小于10的质数（因为数位上的数字是0-9，其中质数有2、3、5、7），再从中找出满足和为10、积为21的两个数。通过计算可知，3和7相加等于10，相乘等于21，符合条件。接下来用这两个质数组成两位数，可得到37和73，这两个数都满足题目要求，所以这样的两位数有2个。
【解析】
1. 列出小于10的质数：2、3、5、7；
2. 根据“和是10，积是21”的条件，筛选出符合的质数：3和7（3+7=10，3×7=21）；
3. 用3和7组成两位数：37、73，共2个；
4. 因此符合条件的两位数有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 质数的定义
2. 两位数的组成
【点评】
本题主要考查质数的概念及数字组合能力，解题关键是准确掌握质数的定义，先根据和与积的条件找出符合的质数，再组合成两位数。题目难度适中，有助于巩固对质数概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要明确质数的定义：质数是大于1的自然数，除了1和它本身外没有其他因数。题目要求两位数的个位和十位都是质数，且这两个质数的和是10、积是21。我们可以先列出小于10的质数（因为数位上的数字是0-9，其中质数有2、3、5、7），再从中找出满足和为10、积为21的两个数。通过计算可知，3和7相加等于10，相乘等于21，符合条件。接下来用这两个质数组成两位数，可得到37和73，这两个数都满足题目要求，所以这样的两位数有2个。
【解析】
1. 列出小于10的质数：2、3、5、7；
2. 根据“和是10，积是21”的条件，筛选出符合的质数：3和7（3+7=10，3×7=21）；
3. 用3和7组成两位数：37、73，共2个；
4. 因此符合条件的两位数有2个，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 质数的定义
2. 两位数的组成
【点评】
本题主要考查质数的概念及数字组合能力，解题关键是准确掌握质数的定义，先根据和与积的条件找出符合的质数，再组合成两位数。题目难度适中，有助于巩固对质数概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
15. 两个自然数的最大公因数是 15，这两个自然数的全部公因数是(
A.1，3，5
B.1，15
C.3，5，15
D.1，3，5，15
D
)。A.1，3，5
B.1，15
C.3，5，15
D.1，3，5，15
答案
D
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确公因数和最大公因数的关系：两个自然数的全部公因数，其实就是它们最大公因数的所有因数。题目中给出这两个数的最大公因数是15，所以我们只需要找出15的所有因数，这些因数就是这两个数的全部公因数。接下来从1开始依次尝试，找出能整除15的数即可得到15的因数。
【解析】
1. 明确核心逻辑：两个自然数的所有公因数都是它们最大公因数的因数。
2. 找出15的所有因数：
因为$1×15=15$，所以1和15是15的因数；
因为$3×5=15$，所以3和5是15的因数；
综上，15的因数为1、3、5、15。
3. 对应选项：这两个自然数的全部公因数就是1、3、5、15，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因数与最大公因数的关系；找一个数的因数
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对公因数和最大公因数概念的理解，解题关键在于掌握“两个数的公因数都是其最大公因数的因数”这一核心知识点，只要能正确找出最大公因数的所有因数，就能轻松得出答案。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确公因数和最大公因数的关系：两个自然数的全部公因数，其实就是它们最大公因数的所有因数。题目中给出这两个数的最大公因数是15，所以我们只需要找出15的所有因数，这些因数就是这两个数的全部公因数。接下来从1开始依次尝试，找出能整除15的数即可得到15的因数。
【解析】
1. 明确核心逻辑：两个自然数的所有公因数都是它们最大公因数的因数。
2. 找出15的所有因数：
因为$1×15=15$，所以1和15是15的因数；
因为$3×5=15$，所以3和5是15的因数；
综上，15的因数为1、3、5、15。
3. 对应选项：这两个自然数的全部公因数就是1、3、5、15，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
公因数与最大公因数的关系；找一个数的因数
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对公因数和最大公因数概念的理解，解题关键在于掌握“两个数的公因数都是其最大公因数的因数”这一核心知识点，只要能正确找出最大公因数的所有因数，就能轻松得出答案。
【难度系数】
0.8
