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三、解决问题。
16. 自然与数学的完美结合——斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”。斐波那契数列指的是下面这样一组数：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，(
观察上面这组数，先在括号里填合适的数，再完成下面各题。
(1)这组数的规律是从第三个数开始，每一个数都
(2)观察这组数的奇偶变化规律，可以发现：
(3)在这组数的前 100 个数中，有(
16. 自然与数学的完美结合——斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称“兔子数列”。斐波那契数列指的是下面这样一组数：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，(
89
)，(144
)，…观察上面这组数，先在括号里填合适的数，再完成下面各题。
(1)这组数的规律是从第三个数开始，每一个数都
等于它前面两个数的和
。(2)观察这组数的奇偶变化规律，可以发现：
这组数按奇数、奇数、偶数三个为一组，依次不断重复出现
。(3)在这组数的前 100 个数中，有(
67
)个奇数，(33
)个偶数。答案
89
144
等于它前面两个数的和
这组数按奇数、奇数、偶数
三个为一组，依次不断重复出现
67
33
144
等于它前面两个数的和
这组数按奇数、奇数、偶数
三个为一组，依次不断重复出现
67
33
解析
【分析】
首先观察给出的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
1. 填括号里的数：通过计算相邻数的和，发现1+1=2，1+2=3，2+3=5，以此类推，每个数都是前两个数的和，所以55后面的数是34+55=89，再后面是55+89=144。
2. 问题（1）：从第三个数开始，2=1+1，3=1+2，5=2+3，很明显每个数都等于它前面两个数的和。
3. 问题（2）：列出每个数的奇偶性：奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶…，可以发现是按“奇数、奇数、偶数”三个为一组依次重复出现。
4. 问题（3）：计算前100个数的奇偶数量，每3个一组，100÷3=33（组）……1（个），每组有2个奇数、1个偶数，33组的奇数数量是33×2=66个，余下的1个数是下一组的第一个，为奇数，所以总奇数是66+1=67个；偶数数量是33×1=33个。
【解析】
1. 括号里的数：
因为数列从第三个数开始，每个数等于前两个数的和，所以：
55前面的两个数是34和55，55后面的数为34+55=89；
89后面的数为55+89=144。
(1) 观察数列可知，从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。
(2) 列出数列的奇偶性：奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶……，可发现这组数按奇数、奇数、偶数三个为一组，依次不断重复出现。
(3) 计算前100个数的分组情况：
100÷3=33（组）……1（个），即有33组完整的“奇、奇、偶”，还多1个奇数。
奇数个数：33×2+1=67（个）
偶数个数：33×1=33（个）
【答案】
89
144
等于它前面两个数的和
这组数按奇数、奇数、偶数三个为一组，依次不断重复出现
67
33
【知识点】
斐波那契数列规律、奇偶性循环规律、周期问题
【点评】
本题结合斐波那契数列，考察学生的观察归纳能力和周期问题的计算方法。通过分析数列的数值规律和奇偶性变化，既让学生了解经典数列，又锻炼了逻辑推理和数学计算能力，注重知识的综合应用。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
1. 填括号里的数：通过计算相邻数的和，发现1+1=2，1+2=3，2+3=5，以此类推，每个数都是前两个数的和，所以55后面的数是34+55=89，再后面是55+89=144。
2. 问题（1）：从第三个数开始，2=1+1，3=1+2，5=2+3，很明显每个数都等于它前面两个数的和。
3. 问题（2）：列出每个数的奇偶性：奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶…，可以发现是按“奇数、奇数、偶数”三个为一组依次重复出现。
4. 问题（3）：计算前100个数的奇偶数量，每3个一组，100÷3=33（组）……1（个），每组有2个奇数、1个偶数，33组的奇数数量是33×2=66个，余下的1个数是下一组的第一个，为奇数，所以总奇数是66+1=67个；偶数数量是33×1=33个。
【解析】
1. 括号里的数：
因为数列从第三个数开始，每个数等于前两个数的和，所以：
55前面的两个数是34和55，55后面的数为34+55=89；
89后面的数为55+89=144。
(1) 观察数列可知，从第三个数开始，每一个数都等于它前面两个数的和。
(2) 列出数列的奇偶性：奇、奇、偶、奇、奇、偶、奇、奇、偶……，可发现这组数按奇数、奇数、偶数三个为一组，依次不断重复出现。
(3) 计算前100个数的分组情况：
100÷3=33（组）……1（个），即有33组完整的“奇、奇、偶”，还多1个奇数。
奇数个数：33×2+1=67（个）
偶数个数：33×1=33（个）
【答案】
89
144
等于它前面两个数的和
这组数按奇数、奇数、偶数三个为一组，依次不断重复出现
67
33
【知识点】
斐波那契数列规律、奇偶性循环规律、周期问题
【点评】
本题结合斐波那契数列，考察学生的观察归纳能力和周期问题的计算方法。通过分析数列的数值规律和奇偶性变化，既让学生了解经典数列，又锻炼了逻辑推理和数学计算能力，注重知识的综合应用。
【难度系数】
0.7
17. 李聪参加了全市的中学生数学竞赛（满分 100 分），他说：“我的排名比较靠前，且我的名次与得分相乘的积是 291。”李聪得了多少分？排第几？
答案
291=1×291=3×97
291的因数有:1,3,97,291
分数不大于100，且名次靠前，所以排除1和291这组。
答:李聪得了97分，排第3。
291的因数有:1,3,97,291
分数不大于100，且名次靠前，所以排除1和291这组。
答:李聪得了97分，排第3。
解析
【分析】
要解决这个问题，核心思路是围绕“名次×得分=291”这一关键等式展开：首先对291进行因数分解，得到所有可能的正整数组合；再结合题目中的限制条件（满分100分、排名靠前），逐一排除不符合实际情况的组合，最终确定正确的得分和名次。
【解析】
1. 分解291的因数：
通过计算可得$291 = 1×291 = 3×97$，因此291的因数为1、3、97、291。
2. 根据条件筛选组合：
竞赛满分是100分，得分不能超过100，因此291作为得分不符合要求，排除$1×291$这一组；
排名靠前意味着名次是较小的正整数，且得分需符合满分限制，$3×97$中，97分≤100分，第3名属于靠前的排名，完全符合题目条件。
【答案】
李聪得了97分，排第3。
【知识点】
因数分解、实际条件筛选
【点评】
本题考查因数分解的应用与实际问题的分析能力，解题关键是先通过因数分解得到所有可能的名次与得分组合，再结合竞赛满分、排名靠前的限制条件，排除不合理选项，最终锁定正确结果。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，核心思路是围绕“名次×得分=291”这一关键等式展开：首先对291进行因数分解，得到所有可能的正整数组合；再结合题目中的限制条件（满分100分、排名靠前），逐一排除不符合实际情况的组合，最终确定正确的得分和名次。
【解析】
1. 分解291的因数：
通过计算可得$291 = 1×291 = 3×97$，因此291的因数为1、3、97、291。
2. 根据条件筛选组合：
竞赛满分是100分，得分不能超过100，因此291作为得分不符合要求，排除$1×291$这一组；
排名靠前意味着名次是较小的正整数，且得分需符合满分限制，$3×97$中，97分≤100分，第3名属于靠前的排名，完全符合题目条件。
【答案】
李聪得了97分，排第3。
【知识点】
因数分解、实际条件筛选
【点评】
本题考查因数分解的应用与实际问题的分析能力，解题关键是先通过因数分解得到所有可能的名次与得分组合，再结合竞赛满分、排名靠前的限制条件，排除不合理选项，最终锁定正确结果。
【难度系数】
0.7
18. 如图，要沿着围墙 $ AB $ 边和 $ BC $ 边插彩旗，要求每相邻两面彩旗之间的距离相等，并且 $ A $，$ B $，$ C $ 处各插一面。至少要插多少面彩旗？
答案
(175,125)=25
(175+125)÷25=12(面)
12+1=13(面)
答:至少要插13面彩旗。
(175+125)÷25=12(面)
12+1=13(面)
答:至少要插13面彩旗。
解析
【分析】
要使插的彩旗数量最少，相邻两面彩旗之间的距离应尽可能大，这个距离必须同时能整除AB的长度175m和BC的长度125m，因此需要先求出175和125的最大公因数，该数就是相邻彩旗的最大间距。
接下来，把AB和BC的长度相加得到总长度，用总长度除以最大间距得到间隔数。由于A、B、C处都要插彩旗，属于两端都插的植树问题，彩旗数量=间隔数+1，据此计算即可。
【解析】
1. 求175和125的最大公因数：
通过分解质因数可知，$175=5×5×7$，$125=5×5×5$，所以175和125的最大公因数是$5×5=25$，即相邻彩旗的最大间距为25m。
2. 计算总长度：$175+125=300(\mathrm{m})$
3. 计算间隔数：$300÷25=12(\mathrm{个})$
4. 计算彩旗数量：因为属于两端都插的植树问题，所以彩旗数$=12+1=13(\mathrm{面})$
答：至少要插13面彩旗。
【答案】
13面
【知识点】
最大公因数的应用、植树问题（两端都栽）
【点评】
本题综合考查了最大公因数和植树问题的应用，解题关键是理解“至少插彩旗”对应的是最大间距，进而转化为求两个数的最大公因数，再结合植树问题的公式求解，需要学生具备知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
要使插的彩旗数量最少，相邻两面彩旗之间的距离应尽可能大，这个距离必须同时能整除AB的长度175m和BC的长度125m，因此需要先求出175和125的最大公因数，该数就是相邻彩旗的最大间距。
接下来，把AB和BC的长度相加得到总长度，用总长度除以最大间距得到间隔数。由于A、B、C处都要插彩旗，属于两端都插的植树问题，彩旗数量=间隔数+1，据此计算即可。
【解析】
1. 求175和125的最大公因数：
通过分解质因数可知，$175=5×5×7$，$125=5×5×5$，所以175和125的最大公因数是$5×5=25$，即相邻彩旗的最大间距为25m。
2. 计算总长度：$175+125=300(\mathrm{m})$
3. 计算间隔数：$300÷25=12(\mathrm{个})$
4. 计算彩旗数量：因为属于两端都插的植树问题，所以彩旗数$=12+1=13(\mathrm{面})$
答：至少要插13面彩旗。
【答案】
13面
【知识点】
最大公因数的应用、植树问题（两端都栽）
【点评】
本题综合考查了最大公因数和植树问题的应用，解题关键是理解“至少插彩旗”对应的是最大间距，进而转化为求两个数的最大公因数，再结合植树问题的公式求解，需要学生具备知识迁移和综合运用的能力。
【难度系数】
0.6
19. 五年级有 135 名同学，在一次数学实践活动中要进行分组活动，可以分成 2 人组、3 人组或 5 人组。
(1)如果只选择一种分组方式，那么选择(
(2)如果三种小组都要有一些，而且恰好全部分完，可以怎样分配？请写出你提供的两种分配方案。
(1)如果只选择一种分组方式，那么选择(
3人组或5人组
)的分组方式能正好全部分完。(2)如果三种小组都要有一些，而且恰好全部分完，可以怎样分配？请写出你提供的两种分配方案。
答案
3人组或5人组
10
20
11
15
15
12
10
20
11
15
15
12
解析
【分析】
1. 对于第一问，解题思路是判断135能否被2、3、5整除：根据整除特征，偶数能被2整除，135是奇数，不能被2整除；各位数字之和是3的倍数的数能被3整除，1+3+5=9，9是3的倍数，所以135能被3整除；末尾是0或5的数能被5整除，135末尾是5，能被5整除，因此3人组或5人组能正好分完。
2. 对于第二问，需要找到正整数x（2人组数量）、y（3人组数量）、z（5人组数量），满足2x+3y+5z=135且x、y、z均大于0。可以先固定其中一个组的数量，计算剩余人数后，再分配另外两个组的数量，保证剩余人数能被另外两种分组的人数组合凑出，且每组都有数量。
【解析】
(1) 整除判断：
135是奇数，不符合能被2整除的数的特征，所以2人组无法正好分完；
135各位数字之和为1+3+5=9，9是3的倍数，因此135能被3整除，3人组可以正好分完；
135的个位数字是5，符合能被5整除的数的特征，因此135能被5整除，5人组可以正好分完。
综上，只选择一种分组方式时，选3人组或5人组能正好全部分完。
(2) 设2人组有$ x $组，3人组有$ y $组，5人组有$ z $组，$ x、y、z $均为正整数，满足$ 2x+3y+5z=135 $。
方案一：
令$ x=10 $，则$ 2×10=20 $，剩余人数为$ 135-20=115 $。
令$ y=20 $，则$ 3×20=60 $，剩余人数为$ 115-60=55 $，$ 55÷5=11 $，即$ z=11 $。
验证：$ 2×10+3×20+5×11=20+60+55=135 $，符合要求。
方案二：
令$ x=15 $，则$ 2×15=30 $，剩余人数为$ 135-30=105 $。
令$ y=15 $，则$ 3×15=45 $，剩余人数为$ 105-45=60 $，$ 60÷5=12 $，即$ z=12 $。
验证：$ 2×15+3×15+5×12=30+45+60=135 $，符合要求。
【答案】
(1) 3人组或5人组
(2) 方案一：10、20、11；方案二：15、15、12
（对应表格填写：方案一的三个空依次填10、20、11；方案二的三个空依次填15、15、12）
【知识点】
整除的特征、不定方程整数解
【点评】
本题结合实际分组场景，考查整除特征的应用和不定方程的整数解问题。第一问通过整除特征快速筛选符合条件的分组方式，第二问需要学生通过固定变量、逐步验证的方法找到符合要求的分组方案，锻炼了学生的数感和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
1. 对于第一问，解题思路是判断135能否被2、3、5整除：根据整除特征，偶数能被2整除，135是奇数，不能被2整除；各位数字之和是3的倍数的数能被3整除，1+3+5=9，9是3的倍数，所以135能被3整除；末尾是0或5的数能被5整除，135末尾是5，能被5整除，因此3人组或5人组能正好分完。
2. 对于第二问，需要找到正整数x（2人组数量）、y（3人组数量）、z（5人组数量），满足2x+3y+5z=135且x、y、z均大于0。可以先固定其中一个组的数量，计算剩余人数后，再分配另外两个组的数量，保证剩余人数能被另外两种分组的人数组合凑出，且每组都有数量。
【解析】
(1) 整除判断：
135是奇数，不符合能被2整除的数的特征，所以2人组无法正好分完；
135各位数字之和为1+3+5=9，9是3的倍数，因此135能被3整除，3人组可以正好分完；
135的个位数字是5，符合能被5整除的数的特征，因此135能被5整除，5人组可以正好分完。
综上，只选择一种分组方式时，选3人组或5人组能正好全部分完。
(2) 设2人组有$ x $组，3人组有$ y $组，5人组有$ z $组，$ x、y、z $均为正整数，满足$ 2x+3y+5z=135 $。
方案一：
令$ x=10 $，则$ 2×10=20 $，剩余人数为$ 135-20=115 $。
令$ y=20 $，则$ 3×20=60 $，剩余人数为$ 115-60=55 $，$ 55÷5=11 $，即$ z=11 $。
验证：$ 2×10+3×20+5×11=20+60+55=135 $，符合要求。
方案二：
令$ x=15 $，则$ 2×15=30 $，剩余人数为$ 135-30=105 $。
令$ y=15 $，则$ 3×15=45 $，剩余人数为$ 105-45=60 $，$ 60÷5=12 $，即$ z=12 $。
验证：$ 2×15+3×15+5×12=30+45+60=135 $，符合要求。
【答案】
(1) 3人组或5人组
(2) 方案一：10、20、11；方案二：15、15、12
（对应表格填写：方案一的三个空依次填10、20、11；方案二的三个空依次填15、15、12）
【知识点】
整除的特征、不定方程整数解
【点评】
本题结合实际分组场景，考查整除特征的应用和不定方程的整数解问题。第一问通过整除特征快速筛选符合条件的分组方式，第二问需要学生通过固定变量、逐步验证的方法找到符合要求的分组方案，锻炼了学生的数感和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
20. 如下图，从一张长 30 厘米、宽 14 厘米的长方形纸上剪下几个同样大的小正方形后，正好剩下一张长 30 厘米、宽 2 厘米的小纸条。算一算：剪下的小正方形的边长最大是多少厘米？
答案
14-2=12(厘米)
(12,30)=6
答:剪下的小正方形的边长最大是6厘米。
(12,30)=6
答:剪下的小正方形的边长最大是6厘米。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要明确能剪出小正方形的区域尺寸：原来长方形的宽是14厘米，剩下纸条宽2厘米，因此可剪正方形的区域的宽为$14-2=12$厘米，长为30厘米。要使剪下的小正方形边长最大，这个边长必须同时能整除30厘米和12厘米，也就是求30和12的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这两个数的最大数，这样就能保证剪出的正方形最大且大小一致。
【解析】
1. 计算可剪正方形区域的宽度：
$14 - 2 = 12$（厘米）
2. 求30和12的最大公因数：
对30和12分解质因数：
$30 = 2×3×5$
$12 = 2×2×3$
二者公有的质因数为2和3，因此最大公因数为$2×3=6$。
答：剪下的小正方形的边长最大是6厘米。
【答案】
6厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际裁剪问题中的应用，解题关键是先确定可裁剪正方形的区域尺寸，再通过求两个数的最大公因数得到最大正方形的边长，需要学生理解最大公因数的意义并能结合实际问题分析。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要明确能剪出小正方形的区域尺寸：原来长方形的宽是14厘米，剩下纸条宽2厘米，因此可剪正方形的区域的宽为$14-2=12$厘米，长为30厘米。要使剪下的小正方形边长最大，这个边长必须同时能整除30厘米和12厘米，也就是求30和12的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这两个数的最大数，这样就能保证剪出的正方形最大且大小一致。
【解析】
1. 计算可剪正方形区域的宽度：
$14 - 2 = 12$（厘米）
2. 求30和12的最大公因数：
对30和12分解质因数：
$30 = 2×3×5$
$12 = 2×2×3$
二者公有的质因数为2和3，因此最大公因数为$2×3=6$。
答：剪下的小正方形的边长最大是6厘米。
【答案】
6厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际裁剪问题中的应用，解题关键是先确定可裁剪正方形的区域尺寸，再通过求两个数的最大公因数得到最大正方形的边长，需要学生理解最大公因数的意义并能结合实际问题分析。
【难度系数】
0.6
21. 食堂有甲、乙、丙三种油桶，分别能装油 8 千克、10 千克和 12 千克。开学初食堂买来一些油，若用甲种桶装，则最后有一桶少装 3 千克；若用乙种桶装，则最后有一桶只装了一半；若用丙种桶装，则最后有一桶少装 7 千克。食堂至少买来多少千克油？
答案
8-3=5(千克)
10÷2=5(千克)
12-7=5(千克)
[8,10,12]=120
120+5=125(千克)
答:食堂至少买来125千克油。
10÷2=5(千克)
12-7=5(千克)
[8,10,12]=120
120+5=125(千克)
答:食堂至少买来125千克油。
解析
【分析】
我们可以把题目中的装油条件转化为余数问题来思考：
1. 用甲桶装最后一桶少装3千克，意味着油量比8千克的倍数多$8-3=5$千克；
2. 用乙桶装最后一桶只装一半（即5千克），说明油量比10千克的倍数多5千克；
3. 用丙桶装最后一桶少装7千克，同理，油量比12千克的倍数多$12-7=5$千克。
由此可知，食堂买的油量减去5千克后，就是8、10、12的公倍数。要求至少买来多少油，只需要先求出这三个数的最小公倍数，再加上5千克即可。
【解析】
1. 计算每种装法下油量对应的“多余量”：
$8 - 3 = 5$（千克）
$10 ÷ 2 = 5$（千克）
$12 - 7 = 5$（千克）
2. 求8、10、12的最小公倍数：
$[8,10,12]=120$
3. 计算食堂至少买的油量：
$120 + 5 = 125$（千克）
答：食堂至少买来125千克油。
【答案】
125千克
【知识点】
最小公倍数应用、余数问题转化
【点评】
本题的关键是将实际装油的剩余情况转化为统一的余数问题，发现油量与8、10、12的公倍数之间的关系，考查了学生对公倍数概念的理解和实际问题的转化能力，需要具备一定的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.3
我们可以把题目中的装油条件转化为余数问题来思考：
1. 用甲桶装最后一桶少装3千克，意味着油量比8千克的倍数多$8-3=5$千克；
2. 用乙桶装最后一桶只装一半（即5千克），说明油量比10千克的倍数多5千克；
3. 用丙桶装最后一桶少装7千克，同理，油量比12千克的倍数多$12-7=5$千克。
由此可知，食堂买的油量减去5千克后，就是8、10、12的公倍数。要求至少买来多少油，只需要先求出这三个数的最小公倍数，再加上5千克即可。
【解析】
1. 计算每种装法下油量对应的“多余量”：
$8 - 3 = 5$（千克）
$10 ÷ 2 = 5$（千克）
$12 - 7 = 5$（千克）
2. 求8、10、12的最小公倍数：
$[8,10,12]=120$
3. 计算食堂至少买的油量：
$120 + 5 = 125$（千克）
答：食堂至少买来125千克油。
【答案】
125千克
【知识点】
最小公倍数应用、余数问题转化
【点评】
本题的关键是将实际装油的剩余情况转化为统一的余数问题，发现油量与8、10、12的公倍数之间的关系，考查了学生对公倍数概念的理解和实际问题的转化能力，需要具备一定的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.3
