18. (10分)如图,①,②,③,④四个图形都是平面图形,观察图形和表中对应数值,探究计数的方法并解答下面的问题.

(1)数一数每个图各有多少个顶点,多少条边,这些边围成多少区域,将结果填入下表:

(2)根据表中的数值,写出平面图形的顶点数、边数、区域数之间的关系;
(3)如果一个平面图形有20个顶点和11个区域,求这个平面图形的边数.
19. (12分)(2025·北京期末)新年前夕,某班计划用一些长方形的卡纸,为同学们制作棱长为10 cm的正方体心愿语盒.设计组提供了如图①所示的两种心愿语盒的展开图,制作组按照展开图可围成如图②所示的心愿语盒(不考虑接缝).

(1)按展开图2可以围成心愿语盒(填“A”或“B”).
(2)材料组准备了以下三种类型的卡纸供选择,规格、成本如下表:


①设计组用一张型号Ⅱ的卡纸,最多可以画出个心愿语盒A的展开图,或个心愿语盒B的展开图;
②制作组要制作16个心愿语盒.如果你是设计组的成员,请合理选择展开图的样式、卡纸的型号和数量,使所选卡纸的总成本最低,写出你的方案.
我的方案是:型号Ⅰ的卡纸张,型号Ⅱ的卡纸张,型号Ⅲ的卡纸张,所选卡纸的总成本是元.

18. (1)如表:
|图形|①|②|③|④|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|顶点数(V)|4|7|8|10|
|边数(E)|6|9|12|15|
|区域数(F)|3|3|5|6|
(2)根据以上数据,顶点数用V表示,边数用E表示,区域数用F表示,它们的关系可表示为 V+F=E+1.
(3)因为 V=20,F=11,所以 E=V+F-1=20+11-1=30.故如果平面图形有20个顶点和11个区域,那么这个平面图形的边数为30.
19. (1)B 解析:心愿语盒B的下底面和对应的上底面都是由两个长方形拼成的,所以展开图2可以围成心愿语盒B.
(2)①2 3 解析:如图①,一张型号Ⅱ的卡纸,最多可以画出2个心愿语盒A的展开图;如图②,可以画出3个心愿语盒B的展开图.
②1 1 2 23 解析:如图③,型号Ⅲ卡纸,每张卡纸可制作6个心愿语盒B,则每个心愿语盒B成本为 $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$(元),每张卡纸可制作不到6个心愿语盒A,则每个心愿语盒A成本大于 $\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$(元),由①得型号Ⅱ卡纸,每张这样的卡纸可制作2个心愿语盒A或3个心愿语盒B,则每个心愿语盒B成本为 $\frac{5}{3}$ 元,每个心愿语盒A成本为 $\frac{5}{2}$ 元,型号Ⅰ卡纸,每张这样的卡纸可制作1个心愿语盒A或1个心愿语盒B,则每个心愿语盒B成本为2元,每个心愿语盒A成本为2元,所以可选择型号Ⅲ卡纸2张,型号Ⅱ卡纸1张,型号Ⅰ卡纸1张,则 6×2+3+1=16(个),此时总成本最低,所以所用卡纸总费用为 8×2+5+2=23(元).
所以我的方案是:型号Ⅰ的卡纸1张,型号Ⅱ的卡纸1张,型号Ⅲ的卡纸2张,所选卡纸的总成本是23元.