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7 元旦期间,某商店单价为130元的书包按9折出售可获利30%,则该书包的进价是每个
90
元.答案
7. 90 【解析】设该书包的进价是每个 $ x $ 元. 根据题意, 得 $ 130×90\% - x = 30\%x $. 解这个方程, 得 $ x = 90 $. 所以该书包的进价是每个 90 元.
解析
【分析】
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系。销售问题中，“售价-进价=利润”，同时利润也等于“进价×利润率”。首先先算出售价：原价130元按9折出售，售价就是原价乘90%；再设进价为未知数，把售价、进价、利润代入等量关系列方程，最后求解即可。
【解析】
设该书包的进价是每个$x$元。
首先计算售价：$130×90\% = 117$（元）
根据“售价 - 进价 = 进价×利润率”的等量关系列方程：
$117 - x = 30\%x$
移项得：$1.3x = 117$
解得：$x = 90$
【答案】
90
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题是销售类方程应用的基础题型，解题关键是正确理解打折、利润率的含义，理清售价、进价、利润三者的数量关系，避免出现把利润率对应售价的错误。
【难度系数】
0.8
这是一道销售利润类的一元一次方程应用题，解题核心是找准等量关系。销售问题中，“售价-进价=利润”，同时利润也等于“进价×利润率”。首先先算出售价：原价130元按9折出售，售价就是原价乘90%；再设进价为未知数，把售价、进价、利润代入等量关系列方程，最后求解即可。
【解析】
设该书包的进价是每个$x$元。
首先计算售价：$130×90\% = 117$（元）
根据“售价 - 进价 = 进价×利润率”的等量关系列方程：
$117 - x = 30\%x$
移项得：$1.3x = 117$
解得：$x = 90$
【答案】
90
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 销售利润计算
【点评】
本题是销售类方程应用的基础题型，解题关键是正确理解打折、利润率的含义，理清售价、进价、利润三者的数量关系，避免出现把利润率对应售价的错误。
【难度系数】
0.8
8 甲、乙两地间的火车提速后，速度比原来提高了45 km/h，结果两地之间的行车时间由原来的6 h缩短了2 h，则火车原来的速度是
90
km/h.答案
8. 90
解析
【分析】
本题属于行程类应用题，解题核心是抓住“甲、乙两地路程不变”这一隐含等量关系。首先回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间，我们可以设火车原来的速度为未知数，分别表示出提速前和提速后甲乙两地的路程，再根据路程相等列出一元一次方程求解即可。
【解析】
设火车原来的速度是$ x $ km/h，则提速后的速度为$ (x+45) $ km/h。
已知原来行车时间为6h，提速后时间缩短2h，即提速后行车时间为$ 6-2=4 $h。
根据甲乙两地路程不变，可列方程：
$ 6x = 4(x+45) $
展开括号得：$ 6x = 4x + 180 $
移项合并同类项得：$ 2x = 180 $
解得：$ x = 90 $
【答案】
90
【知识点】
行程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题关键是准确找到提速前后路程不变的等量关系，只要掌握列方程解应用题的基本步骤，就能顺利求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
本题属于行程类应用题，解题核心是抓住“甲、乙两地路程不变”这一隐含等量关系。首先回忆行程问题基本公式：路程=速度×时间，我们可以设火车原来的速度为未知数，分别表示出提速前和提速后甲乙两地的路程，再根据路程相等列出一元一次方程求解即可。
【解析】
设火车原来的速度是$ x $ km/h，则提速后的速度为$ (x+45) $ km/h。
已知原来行车时间为6h，提速后时间缩短2h，即提速后行车时间为$ 6-2=4 $h。
根据甲乙两地路程不变，可列方程：
$ 6x = 4(x+45) $
展开括号得：$ 6x = 4x + 180 $
移项合并同类项得：$ 2x = 180 $
解得：$ x = 90 $
【答案】
90
【知识点】
行程问题、一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的行程类应用题，解题关键是准确找到提速前后路程不变的等量关系，只要掌握列方程解应用题的基本步骤，就能顺利求解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.8
9 新情境 生活实际 由于换季，商场准备对某商品打折出售，若按原售价的7.5折出售，将亏损25元，而按原售价的9折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为
300
元.答案
9. 300
解析
【分析】
本题是销售盈亏类的一元一次方程应用题，解题核心是找到不变量：商品的成本价。我们可以设商品的原售价为未知数，分别根据“7.5折出售亏25元”和“9折出售盈利20元”两种情况表示出成本价，再根据成本价相等列出方程求解即可。
【解析】
设该商品的原售价为$ x $元。
根据成本价不变列方程：
7.5折出售时，售价为$ 0.75x $，此时亏损25元，说明成本价 = 售价 + 亏损额，即成本价为$ 0.75x + 25 $；
9折出售时，售价为$ 0.9x $，此时盈利20元，说明成本价 = 售价 - 盈利额，即成本价为$ 0.9x - 20 $。
因此可得方程：
$ 0.75x + 25 = 0.9x - 20 $
移项得：$ 0.9x - 0.75x = 25 + 20 $
合并同类项得：$ 0.15x = 45 $
系数化为1得：$ x = 45 ÷ 0.15 = 300 $
【答案】
300
【知识点】
一元一次方程应用；销售盈亏问题
【点评】
本题结合生活中的换季打折情境，考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是抓住成本不变这一等量关系，理清售价、折扣、利润、成本之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
本题是销售盈亏类的一元一次方程应用题，解题核心是找到不变量：商品的成本价。我们可以设商品的原售价为未知数，分别根据“7.5折出售亏25元”和“9折出售盈利20元”两种情况表示出成本价，再根据成本价相等列出方程求解即可。
【解析】
设该商品的原售价为$ x $元。
根据成本价不变列方程：
7.5折出售时，售价为$ 0.75x $，此时亏损25元，说明成本价 = 售价 + 亏损额，即成本价为$ 0.75x + 25 $；
9折出售时，售价为$ 0.9x $，此时盈利20元，说明成本价 = 售价 - 盈利额，即成本价为$ 0.9x - 20 $。
因此可得方程：
$ 0.75x + 25 = 0.9x - 20 $
移项得：$ 0.9x - 0.75x = 25 + 20 $
合并同类项得：$ 0.15x = 45 $
系数化为1得：$ x = 45 ÷ 0.15 = 300 $
【答案】
300
【知识点】
一元一次方程应用；销售盈亏问题
【点评】
本题结合生活中的换季打折情境，考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是抓住成本不变这一等量关系，理清售价、折扣、利润、成本之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
10 在一段双轨铁道上，两辆列车迎头驶过，A列车的车速为20 m/s，B列车的车速为25 m/s。若A列车全长200 m，B列车全长160 m，则两辆列车交错的时间为
8
s。答案
10. 8
解析
【分析】
本题属于行程中的相向相遇问题，解题时可按以下思路推导：首先明确两辆列车交错的过程是从车头相遇到车尾完全分离，这个过程中两车一共行驶的总路程等于两辆列车的车身长度之和；其次因为两车是迎头行驶（相向而行），所以相同时间内两车的路程和等于速度和乘行驶时间；最后根据路程的等量关系，既可以用算术法直接计算，也可以列一元一次方程求解。
【解析】
方法1（算术法）：
第一步：计算两车交错时的总路程，总路程为两车车长之和：$200 + 160 = 360\,\mathrm{m}$
第二步：计算两车的相对速度，相向行驶时相对速度为速度之和：$20 + 25 = 45\,\mathrm{m/s}$
第三步：根据$时间=路程÷速度$，得交错时间：$360÷45 = 8\,\mathrm{s}$
方法2（方程法）：
设两辆列车交错的时间为$x\,\mathrm{s}$，交错时间内A车行驶的路程为$20x\,\mathrm{m}$，B车行驶的路程为$25x\,\mathrm{m}$。
根据两车行驶路程和等于两车总车长，可列方程：
$20x + 25x = 200 + 160$
合并同类项得：$45x = 360$
系数化为1得：$x = 8$
【答案】
8
【知识点】
行程相遇问题、一元一次方程的应用、路程速度时间关系
【点评】
本题是行程问题的典型基础题，解题的关键是结合实际场景准确找到交错过程对应的总路程，明确相向行驶时路程和与速度和的关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
本题属于行程中的相向相遇问题，解题时可按以下思路推导：首先明确两辆列车交错的过程是从车头相遇到车尾完全分离，这个过程中两车一共行驶的总路程等于两辆列车的车身长度之和；其次因为两车是迎头行驶（相向而行），所以相同时间内两车的路程和等于速度和乘行驶时间；最后根据路程的等量关系，既可以用算术法直接计算，也可以列一元一次方程求解。
【解析】
方法1（算术法）：
第一步：计算两车交错时的总路程，总路程为两车车长之和：$200 + 160 = 360\,\mathrm{m}$
第二步：计算两车的相对速度，相向行驶时相对速度为速度之和：$20 + 25 = 45\,\mathrm{m/s}$
第三步：根据$时间=路程÷速度$，得交错时间：$360÷45 = 8\,\mathrm{s}$
方法2（方程法）：
设两辆列车交错的时间为$x\,\mathrm{s}$，交错时间内A车行驶的路程为$20x\,\mathrm{m}$，B车行驶的路程为$25x\,\mathrm{m}$。
根据两车行驶路程和等于两车总车长，可列方程：
$20x + 25x = 200 + 160$
合并同类项得：$45x = 360$
系数化为1得：$x = 8$
【答案】
8
【知识点】
行程相遇问题、一元一次方程的应用、路程速度时间关系
【点评】
本题是行程问题的典型基础题，解题的关键是结合实际场景准确找到交错过程对应的总路程，明确相向行驶时路程和与速度和的关系，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.7
11 教材 P124 练习 T1 变式 某种商品每件的进价为 120 元，标价为 180 元。为了拓展销路，商店准备打折销售。若使利润率为 20%，则商店应打几折？
答案
11. 设商店打 $ x $ 折后每件商品的利润率为 20%. 根据题意, 得 $ 180×\dfrac{x}{10} - 120 = 120×20\% $. 解这个方程, 得 $ x = 8 $. 答:若使利润率为 20%,则商店应打 8 折
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售问题的核心等量关系：利润=实际售价-进价，同时利润也等于进价×利润率。首先设折扣为x折，需注意打x折时，实际售价是标价乘以$\frac{x}{10}$，而非直接乘以x，之后将已知的进价、标价、利润率代入等量关系，列出一元一次方程求解即可得到折扣数。
【解析】
设商店打$ x $折后每件商品的利润率为20%。
根据“实际售价 - 进价 = 进价×利润率”的等量关系列方程：
$ 180×\dfrac{x}{10} - 120 = 120×20\% $
先化简计算：
方程右侧：$120×20\%=24$
方程左侧化简为：$18x-120$
可得$18x-120=24$
移项得$18x=144$
解得$x=8$
答：若使利润率为20%，则商店应打8折。
【答案】
8折
【知识点】
一元一次方程的应用；打折销售问题；利润率计算
【点评】
本题是销售类典型基础应用题，解题核心是准确把握售价、进价、利润、利润率之间的数量关系，掌握折扣的正确换算方式，即可快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确销售问题的核心等量关系：利润=实际售价-进价，同时利润也等于进价×利润率。首先设折扣为x折，需注意打x折时，实际售价是标价乘以$\frac{x}{10}$，而非直接乘以x，之后将已知的进价、标价、利润率代入等量关系，列出一元一次方程求解即可得到折扣数。
【解析】
设商店打$ x $折后每件商品的利润率为20%。
根据“实际售价 - 进价 = 进价×利润率”的等量关系列方程：
$ 180×\dfrac{x}{10} - 120 = 120×20\% $
先化简计算：
方程右侧：$120×20\%=24$
方程左侧化简为：$18x-120$
可得$18x-120=24$
移项得$18x=144$
解得$x=8$
答：若使利润率为20%，则商店应打8折。
【答案】
8折
【知识点】
一元一次方程的应用；打折销售问题；利润率计算
【点评】
本题是销售类典型基础应用题，解题核心是准确把握售价、进价、利润、利润率之间的数量关系，掌握折扣的正确换算方式，即可快速列方程求解。
【难度系数】
0.8
12 某行军纵队以 7 km/h 的速度行进，队尾的通讯员以 11 km/h 的速度赶到队伍前送一封信，送到后又立即以原来的速度返回队尾，共用时 1.32 min. 求这支队伍的长度.
答案
12. 设这支队伍的长度为 $ x $ km. 根据题意, 得 $\dfrac{x}{11-7}+\dfrac{x}{11+7}=\dfrac{1.32}{60}$. 解这个方程, 得 $ x = 0.072 $. 答:这支队伍的长度为 0.072 km
解析
【分析】
解题时先拆分通讯员的运动过程：①从队尾到队头：属于追及问题，相同时间内通讯员比队伍多走的路程等于队伍长度，因此通讯员相对于队伍的速度为两者速度差，此过程用时为队伍长度除以速度差；②从队头返回队尾：属于相遇问题，通讯员和队尾相向运动，相同时间内两者路程和等于队伍长度，因此相对速度为两者速度和，此过程用时为队伍长度除以速度和。两个过程的总用时为1.32min，注意要将时间单位换算为小时（与速度单位km/h匹配），根据“总用时=追及用时+相遇用时”列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设这支队伍的长度为$x$ km。
1. 单位换算：总用时1.32 min换算为小时为$\dfrac{1.32}{60}$ h。
2. 追及过程（队尾到队头）相对速度为$11-7=4$ km/h，用时为$\dfrac{x}{11-7}$ h。
3. 相遇过程（队头到队尾）相对速度为$11+7=18$ km/h，用时为$\dfrac{x}{11+7}$ h。
4. 根据总用时列方程：
$\dfrac{x}{11-7}+\dfrac{x}{11+7}=\dfrac{1.32}{60}$
化简得：$\dfrac{11x}{36}=0.022$
解得：$x=0.072$
答：这支队伍的长度为0.072 km。
【答案】
0.072 km
【知识点】
一元一次方程应用，追及相遇问题
【点评】
本题是行程类方程应用的典型题，核心是正确拆分运动过程，准确分析不同过程的路程与速度关系，同时要注意单位的统一，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.7
解题时先拆分通讯员的运动过程：①从队尾到队头：属于追及问题，相同时间内通讯员比队伍多走的路程等于队伍长度，因此通讯员相对于队伍的速度为两者速度差，此过程用时为队伍长度除以速度差；②从队头返回队尾：属于相遇问题，通讯员和队尾相向运动，相同时间内两者路程和等于队伍长度，因此相对速度为两者速度和，此过程用时为队伍长度除以速度和。两个过程的总用时为1.32min，注意要将时间单位换算为小时（与速度单位km/h匹配），根据“总用时=追及用时+相遇用时”列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设这支队伍的长度为$x$ km。
1. 单位换算：总用时1.32 min换算为小时为$\dfrac{1.32}{60}$ h。
2. 追及过程（队尾到队头）相对速度为$11-7=4$ km/h，用时为$\dfrac{x}{11-7}$ h。
3. 相遇过程（队头到队尾）相对速度为$11+7=18$ km/h，用时为$\dfrac{x}{11+7}$ h。
4. 根据总用时列方程：
$\dfrac{x}{11-7}+\dfrac{x}{11+7}=\dfrac{1.32}{60}$
化简得：$\dfrac{11x}{36}=0.022$
解得：$x=0.072$
答：这支队伍的长度为0.072 km。
【答案】
0.072 km
【知识点】
一元一次方程应用，追及相遇问题
【点评】
本题是行程类方程应用的典型题，核心是正确拆分运动过程，准确分析不同过程的路程与速度关系，同时要注意单位的统一，避免因单位不匹配出错。
【难度系数】
0.7
13 [2025 北京]北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产.为制作一只京燕风筝,小明准备了五根直竹条(如图①):一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条.他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图②),其头部高、胸腹高与尾部高的比是$1:1:2$.已知单根膀条长是胸腹高的5倍,门条比单根膀条短10 cm,图①中 $BC$ 的长是门条长的$\frac{5}{9}$,$AB$,$CD$ 的长均等于胸腹高.求这只风筝的骨架的总高.
答案
13. 设胸腹高为 $ x $ cm,则单根膀条长为 $ 5x $ cm,门条 $ AD $ 的长为 $(5x-10)$cm,$BC=\dfrac{5}{9}(5x-10)$cm,$AB=CD=x$ cm,头部高为 $ x $ cm,尾部高为 $ 2x $ cm,这只风筝的骨架的总高为 $ 4x $ cm. 由题图①中 $ AD=AB+BC+CD $,可得 $ 5x-10=x+\dfrac{5}{9}(5x-10)+x $,解得 $ x=20 $. 所以 $ 4x=80 $,即这只风筝的骨架的总高为 80 cm
解析
【分析】
本题是结合实际手工制作的一元一次方程应用题，解题时首先找到关联多个未知量的中间量——胸腹高，将其设为未知数x，再根据题目给出的长度关系，把单根膀条长度、门条长度、BC长度等都用含x的代数式表示；接着根据图①中门条AD的长度等于AB、BC、CD三段长度之和，找到等量关系列出一元一次方程；求解得到x的值后，根据总高是头部高、胸腹高、尾部高的和，结合三者的比例即可算出总高。
【解析】
设胸腹高为 $ x $ cm，
根据题意可得：单根膀条长为 $ 5x $ cm，门条$ AD $的长为 $(5x-10)$ cm，
$BC=\dfrac{5}{9}(5x-10)$ cm，$AB=CD=x$ cm，
又因为头部高、胸腹高、尾部高的比为$1:1:2$，因此头部高为$x$ cm，尾部高为$2x$ cm，总高为$x+x+2x=4x$ cm。
由图①中线段$AD$的长度等于各段之和，可得等量关系：$AD=AB+BC+CD$，
代入对应代数式得：
$5x-10=x+\dfrac{5}{9}(5x-10)+x$
解方程：
两边同乘9去分母得：$9(5x-10)=9x+5(5x-10)+9x$
展开得：$45x-90=9x+25x-50+9x$
移项合并同类项得：$2x=40$
解得$x=20$。
因此总高$4x=4×20=80$ cm。
【答案】
80 cm
【知识点】
一元一次方程应用，线段和差计算，比例应用
【点评】
本题以非物质文化遗产风筝制作为背景，将实际问题转化为数学方程问题，需要学生准确梳理各长度之间的数量关系，找到列方程的等量关系，既考查了基础知识的运用，也体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
本题是结合实际手工制作的一元一次方程应用题，解题时首先找到关联多个未知量的中间量——胸腹高，将其设为未知数x，再根据题目给出的长度关系，把单根膀条长度、门条长度、BC长度等都用含x的代数式表示；接着根据图①中门条AD的长度等于AB、BC、CD三段长度之和，找到等量关系列出一元一次方程；求解得到x的值后，根据总高是头部高、胸腹高、尾部高的和，结合三者的比例即可算出总高。
【解析】
设胸腹高为 $ x $ cm，
根据题意可得：单根膀条长为 $ 5x $ cm，门条$ AD $的长为 $(5x-10)$ cm，
$BC=\dfrac{5}{9}(5x-10)$ cm，$AB=CD=x$ cm，
又因为头部高、胸腹高、尾部高的比为$1:1:2$，因此头部高为$x$ cm，尾部高为$2x$ cm，总高为$x+x+2x=4x$ cm。
由图①中线段$AD$的长度等于各段之和，可得等量关系：$AD=AB+BC+CD$，
代入对应代数式得：
$5x-10=x+\dfrac{5}{9}(5x-10)+x$
解方程：
两边同乘9去分母得：$9(5x-10)=9x+5(5x-10)+9x$
展开得：$45x-90=9x+25x-50+9x$
移项合并同类项得：$2x=40$
解得$x=20$。
因此总高$4x=4×20=80$ cm。
【答案】
80 cm
【知识点】
一元一次方程应用，线段和差计算，比例应用
【点评】
本题以非物质文化遗产风筝制作为背景，将实际问题转化为数学方程问题，需要学生准确梳理各长度之间的数量关系，找到列方程的等量关系，既考查了基础知识的运用，也体现了数学在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
