7. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$CD$是$\odot O$的弦,$AB⊥ CD$,垂足为$E$,若$AB=26$,$CD=24$,则$\boldsymbol{\dfrac{CE}{CO}}$的值为
A. $\dfrac{7}{13}$
B. $\dfrac{7}{12}$
C. $\dfrac{13}{12}$
D. $\dfrac{12}{13}$

7. D

【分析】
要计算$\dfrac{CE}{CO}$的值，需先求出$CE$和$CO$的长度：先根据直径$AB$的长度求出圆的半径$CO$，再利用垂径定理，由$AB⊥ CD$得到$CE$是$CD$的一半，最后计算两者的比值。
【解析】
$\because AB$是$\odot O$的直径，$AB=26$，
$\therefore \odot O$的半径$CO=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{26}{2}=13$。
又$\because AB⊥ CD$，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，
$\therefore CE=\dfrac{CD}{2}=\dfrac{24}{2}=12$。
$\therefore \dfrac{CE}{CO}=\dfrac{12}{13}$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，圆的半径性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心考查垂径定理的应用，解题思路清晰，步骤简单，属于容易题。
【难度系数】
0.5

8. 如图,半径为5的$\odot A$与$y$轴交于点$B(0,2)$、$C(0,10)$,则点$A$的横坐标为
A. $-3$
B. 3
C. 4
D. 6

8. B

【分析】要确定点A的横坐标，需利用圆的垂径定理结合勾股定理求解：B、C是圆与y轴的交点，BC为圆的弦，过圆心A作BC的垂线，根据垂径定理，垂足是BC的中点，由此可构造直角三角形，结合半径长度计算出A到y轴的水平距离，即A的横坐标。
【解析】
1. 由点B(0,2)、C(0,10)，可得BC的长度为10-2=8；
2. 过点A作AD⊥BC于点D，根据垂径定理，D是BC中点，因此BD=8÷2=4，D点纵坐标为(2+10)÷2=6，即D(0,6)；
3. 在Rt△ABD中，AB是⊙A的半径，AB=5，由勾股定理得：AD=√(AB² - BD²)=√(5² -4²)=3；
4. 因AD垂直于y轴，A与D纵坐标相同，且A在y轴右侧，故A的横坐标等于AD的长度，即3。
【答案】B
【知识点】垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】本题结合垂径定理与勾股定理求解圆心坐标，核心是利用垂径定理构造直角三角形，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】0.5

9. 如图,有一个底部呈球形的烧瓶,球的半径为5 cm,瓶内液体已经过半,截面圆中弦$AB$的长为$2\sqrt{21}$ cm,则最大深度$CD$的长为.

9. 7 cm

【分析】要计算最大深度CD，需结合圆的垂径定理和勾股定理。首先，CD是过圆心且垂直于弦AB的线段，根据垂径定理，弦AB的中点为C，故AC为AB的一半；再在直角三角形OAC中，利用勾股定理求出圆心O到弦AB的距离OC，最后结合OD为圆的半径，即可算出CD的长度。
【解析】连接OA，因为CD是最大深度，所以CD⊥AB，根据垂径定理，AC = $\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 2\sqrt{21} = \sqrt{21}$ cm。已知圆的半径OA = 5 cm，在Rt△OAC中，由勾股定理得：OC = $\sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - (\sqrt{21})^2} = \sqrt{25 - 21} = \sqrt{4} = 2$ cm。又因为OD是圆的半径，所以OD = 5 cm，因此CD = OC + OD = 2 + 5 = 7 cm。
【答案】7 cm
【知识点】垂径定理、勾股定理、圆的计算
【点评】本题是圆的基础应用题，核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理求解，难度不大，注重基础知识点的应用。
【难度系数】0.5

10. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C$、$D$为$\odot O$上的点,且$BC// OD$,过点$D$作$DE⊥ AB$于点$E$.
(1) 求证:$BD$平分$∠ ABC$;
(2) 若$BC=4$,$DE=3$,求$\odot O$的半径长.

10. (1) 证明略 (2) $\odot O$的半径长为$\sqrt{13}$.

【分析】
(1) 要证明BD平分∠ABC，需证∠ABD=∠CBD。根据圆的半径相等得OD=OB，故∠ODB=∠ABD；再由BC//OD，利用平行线内错角相等得∠ODB=∠CBD，等量代换即可得证。
(2) 求⊙O半径，需构造直角三角形结合垂径定理与勾股定理：过圆心作BC的垂线，利用垂径定理得BH=2，再通过平行线和垂直关系证明OH=DE=3，最后在Rt△OHB中用勾股定理计算半径。
【解析】
(1) 证明：
∵ OD、OB是⊙O的半径，
∴ OD = OB，
∴ ∠ODB = ∠ABD（等腰三角形两底角相等）。
又
∵ BC // OD，
∴ ∠ODB = ∠CBD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠ABD = ∠CBD，即BD平分∠ABC。
(2) 解：过点O作OH ⊥ BC于点H，
∵ OH过圆心，且OH ⊥ BC，
∴ BH = ½ BC = ½ ×4 =2（垂径定理：垂直于弦的直径平分弦）。
∵ DE ⊥ AB，OH ⊥ BC，BC // OD，
∴ ∠OED = ∠OHB =90°，且∠DOE=∠OBH，
又OD=OB=r（设半径为r），
∴ △ODE ≌ △BOH（AAS），
∴ OH = DE =3。
在Rt△OHB中，由勾股定理得：
OB² = OH² + BH²，
即r² =3² +2²=13，
∵ r＞0，
∴ r=√13，即⊙O的半径长为√13。
【答案】
√13
【知识点】
垂径定理，平行线性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，第一问结合等腰三角形与平行线性质证明角平分线，第二问通过作辅助线构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理求解半径，重点考察圆的基本性质的应用，难度适中。
【难度系数】
0.6

11. 如图,$AB$是$\odot O$的弦,点$C$在线段$AB$上,$OC=AC=4$,$BC=8$.
(1) 求$\odot O$的半径.
(2) $P$是$\odot O$上一动点,当点$P$在何处时,以$A$、$P$、$B$为顶点的三角形面积最大? 请求出最大面积.

11. (1) $\odot O$的半径为$4\sqrt{3}$.
(2) 当点P在AB上方,并且在线段AB的垂直平分线与
$\odot O$的交点上时,$△ APB$的面积最大,此时$S_{△ APB}=36\sqrt{3}$.

【分析】
第(1)问，已知AB的长度可由AC与BC之和求得，过圆心O作AB的垂线，利用垂径定理得到AB的中点，结合已知线段长度，通过勾股定理计算圆心到AB的距离，进而求出圆的半径；第(2)问，△APB的面积由定长AB和点P到AB的距离决定，当P到AB的距离最大时面积最大，圆上到弦AB距离最大的点是过圆心且垂直于AB的直线与圆的交点，据此计算最大面积。
【解析】
(1) 过点O作OD⊥AB于点D，根据垂径定理，D为AB中点，故AD=DB=½AB。
已知AC=4，BC=8，因此AB=AC+BC=12，可得AD=6，CD=AD-AC=6-4=2。
在Rt△ODC中，OC=4，CD=2，由勾股定理得：OD²=OC²-CD²=4²-2²=12。
在Rt△ODA中，OA²=OD²+AD²=12+6²=48，所以OA=√48=4√3，即⊙O的半径为4√3。
(2) △APB的面积S=½×AB×h（h为点P到AB的距离），AB固定为12，故h最大时S最大。
圆上一点到弦AB的最大距离为圆心O到AB的距离OD与半径OA之和，由(1)知OD=√12=2√3，OA=4√3，因此最大h=2√3+4√3=6√3。
此时点P在AB上方，且为AB的垂直平分线（即OD所在直线）与⊙O的交点，最大面积S=½×12×6√3=36√3。
【答案】
(1) ⊙O的半径为4√3；(2) 当点P在AB上方且为AB垂直平分线与⊙O的交点时，△APB面积最大，最大面积为36√3。
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的性质
【点评】
本题结合垂径定理与勾股定理求圆的半径，利用圆上点到弦的最大距离求三角形最大面积，需掌握圆的核心性质，综合性适中。
【难度系数】
0.5