登录
专题二十一
四边形
四边形
答案
证明：连接BD，交AC于点O
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC，OB=OD
又∵ AE=CF
∴ OA - AE = OC - CF
即 OE = OF
∵ OE=OF，OB=OD
∴ 四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC，OB=OD
又∵ AE=CF
∴ OA - AE = OC - CF
即 OE = OF
∵ OE=OF，OB=OD
∴ 四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
解析
【分析】
要证明四边形BFDE是平行四边形，结合已知条件中平行四边形ABCD的对角线AC上有线段AE=CF，优先选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法解题。首先作辅助线连接BD交AC于点O，利用平行四边形对角线互相平分的性质可得OA=OC、OB=OD；再结合已知的AE=CF，通过等式的性质可推出OE=OF；此时四边形BFDE的两条对角线互相平分，即可根据判定定理完成证明。
【解析】
证明：连接BD，交AC于点O
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC，OB=OD
又
∵ AE=CF
∴ OA - AE = OC - CF
即 OE = OF
∵ OE=OF，OB=OD
∴ 四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
【答案】
四边形BFDE是平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础题型，解题的关键是合理构造辅助线连接对角线，灵活运用平行四边形的性质与判定定理简化推导过程，可有效检验学生对平行四边形核心定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要证明四边形BFDE是平行四边形，结合已知条件中平行四边形ABCD的对角线AC上有线段AE=CF，优先选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定方法解题。首先作辅助线连接BD交AC于点O，利用平行四边形对角线互相平分的性质可得OA=OC、OB=OD；再结合已知的AE=CF，通过等式的性质可推出OE=OF；此时四边形BFDE的两条对角线互相平分，即可根据判定定理完成证明。
【解析】
证明：连接BD，交AC于点O
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC，OB=OD
又
∵ AE=CF
∴ OA - AE = OC - CF
即 OE = OF
∵ OE=OF，OB=OD
∴ 四边形BFDE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
【答案】
四边形BFDE是平行四边形
【知识点】
平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形相关的基础题型，解题的关键是合理构造辅助线连接对角线，灵活运用平行四边形的性质与判定定理简化推导过程，可有效检验学生对平行四边形核心定理的掌握程度。
【难度系数】
0.8
知识回顾
四边形
├─一般四边形及多边形
├─平行四边形
│ ├─研究对象
│ │ ├─定义：两组对边分别的四边形叫作平行四边形
│ │ ├─性质：平行四边形的{对边 对角 对角线
│ │ └─判定：（1）定义法：两组对边分别 （2）两组对边分别 （3）两组对角分别 （4）一组对边 （5）对角线 }的四边形是平行四边形
│ └─特殊的平行四边形
│ └─具体
│ └─特殊
│ ├─角特殊：形 研究对象 边特殊(相等)
│ ├─边、角都特殊：形
│ └─边特殊：形 研究对象 角特殊(相等)
├─
├─矩形
│ ├─定义：有一个角是直角的平行四边形叫作形
│ ├─特有性质：矩形的{四个角都是 对角线
│ └─特有判定：（1）定义法：有的平行四边形 （2）有的四边形 （3）对角线的平行四边形 }是矩形
└─菱形
├─定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作形
├─特有性质：菱形的{四条边 两条对角线，并且每一条对角线
└─特有判定：（1）定义法：有的平行四边形 （2）的四边形 （3）对角线的平行四边形 }是菱形
四边形
├─一般四边形及多边形
├─平行四边形
│ ├─研究对象
│ │ ├─定义：两组对边分别的四边形叫作平行四边形
│ │ ├─性质：平行四边形的{对边 对角 对角线
│ │ └─判定：（1）定义法：两组对边分别 （2）两组对边分别 （3）两组对角分别 （4）一组对边 （5）对角线 }的四边形是平行四边形
│ └─特殊的平行四边形
│ └─具体
│ └─特殊
│ ├─角特殊：形 研究对象 边特殊(相等)
│ ├─边、角都特殊：形
│ └─边特殊：形 研究对象 角特殊(相等)
├─
├─矩形
│ ├─定义：有一个角是直角的平行四边形叫作形
│ ├─特有性质：矩形的{四个角都是 对角线
│ └─特有判定：（1）定义法：有的平行四边形 （2）有的四边形 （3）对角线的平行四边形 }是矩形
└─菱形
├─定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作形
├─特有性质：菱形的{四条边 两条对角线，并且每一条对角线
└─特有判定：（1）定义法：有的平行四边形 （2）的四边形 （3）对角线的平行四边形 }是菱形
答案
解：
1. 平行
2. 平行且相等
3. 相等
4. 互相平分
5. 平行
6. 相等
7. 相等
8. 平行且相等
9. 互相平分
10. 矩
11. 正方
12. 菱
13. 矩
14. 直角
15. 相等
16. 一个角是直角
17. 三个角是直角
18. 相等
19. 菱
20. 相等
21. 互相垂直
22. 平分一组对角
23. 一组邻边相等
24. 四条边相等
25. 互相垂直
1. 平行
2. 平行且相等
3. 相等
4. 互相平分
5. 平行
6. 相等
7. 相等
8. 平行且相等
9. 互相平分
10. 矩
11. 正方
12. 菱
13. 矩
14. 直角
15. 相等
16. 一个角是直角
17. 三个角是直角
18. 相等
19. 菱
20. 相等
21. 互相垂直
22. 平分一组对角
23. 一组邻边相等
24. 四条边相等
25. 互相垂直
解析
【分析】
本题是四边形章节的基础概念梳理题，解题时按照知识框架的逻辑逐步回忆即可：首先梳理平行四边形的定义、性质、判定核心知识点，再区分特殊平行四边形的分类：仅角特殊的平行四边形是矩形，仅边特殊的平行四边形是菱形，边角都特殊的是正方形，最后分别对应填写矩形、菱形的定义、特有性质和特有判定即可，填写时注意区分不同图形性质、判定的差异，避免混淆。
【解析】
我们按照知识框架顺序逐一填写对应内容：
1. 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形；
2. 平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；
3. 平行四边形判定：
（1）定义法：两组对边分别平行；
（2）两组对边分别相等；
（3）两组对角分别相等；
（4）一组对边平行且相等；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4. 特殊平行四边形分类：仅角特殊的平行四边形是矩形，边、角都特殊的平行四边形是正方形，仅边特殊的平行四边形是菱形；
5. 矩形相关：
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；
特有性质：矩形的四个角都是直角，对角线相等；
特有判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角的四边形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形；
6. 菱形相关：
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；
特有性质：菱形的四条边相等，两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
特有判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）四条边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
【答案】
1. 平行
2. 平行且相等
3. 相等
4. 互相平分
5. 平行
6. 相等
7. 相等
8. 平行且相等
9. 互相平分
10. 矩
11. 正方
12. 菱
13. 矩
14. 直角
15. 相等
16. 一个角是直角
17. 三个角是直角
18. 相等
19. 菱
20. 相等
21. 互相垂直
22. 平分一组对角
23. 一组邻边相等
24. 四条边相等
25. 互相垂直
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形菱形的性质与判定；特殊平行四边形分类
【点评】
本题是四边形模块的基础概念梳理题，旨在帮助学生搭建完整的四边形知识体系，所有考点均为核心识记内容，是解决四边形证明、计算类综合题的基础，需熟练掌握，避免不同图形的性质、判定混淆。
【难度系数】
0.8
本题是四边形章节的基础概念梳理题，解题时按照知识框架的逻辑逐步回忆即可：首先梳理平行四边形的定义、性质、判定核心知识点，再区分特殊平行四边形的分类：仅角特殊的平行四边形是矩形，仅边特殊的平行四边形是菱形，边角都特殊的是正方形，最后分别对应填写矩形、菱形的定义、特有性质和特有判定即可，填写时注意区分不同图形性质、判定的差异，避免混淆。
【解析】
我们按照知识框架顺序逐一填写对应内容：
1. 平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形；
2. 平行四边形性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分；
3. 平行四边形判定：
（1）定义法：两组对边分别平行；
（2）两组对边分别相等；
（3）两组对角分别相等；
（4）一组对边平行且相等；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
4. 特殊平行四边形分类：仅角特殊的平行四边形是矩形，边、角都特殊的平行四边形是正方形，仅边特殊的平行四边形是菱形；
5. 矩形相关：
定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；
特有性质：矩形的四个角都是直角，对角线相等；
特有判定：（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角的四边形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形；
6. 菱形相关：
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；
特有性质：菱形的四条边相等，两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
特有判定：（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）四条边相等的四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
【答案】
1. 平行
2. 平行且相等
3. 相等
4. 互相平分
5. 平行
6. 相等
7. 相等
8. 平行且相等
9. 互相平分
10. 矩
11. 正方
12. 菱
13. 矩
14. 直角
15. 相等
16. 一个角是直角
17. 三个角是直角
18. 相等
19. 菱
20. 相等
21. 互相垂直
22. 平分一组对角
23. 一组邻边相等
24. 四条边相等
25. 互相垂直
【知识点】
平行四边形的性质与判定；矩形菱形的性质与判定；特殊平行四边形分类
【点评】
本题是四边形模块的基础概念梳理题，旨在帮助学生搭建完整的四边形知识体系，所有考点均为核心识记内容，是解决四边形证明、计算类综合题的基础，需熟练掌握，避免不同图形的性质、判定混淆。
【难度系数】
0.8
