趣味数学
行军中测量距离的方法
我们看《西游记》时,可看到孙悟空经常用手盖在自己的眉毛上方,然后去眺望远方.很多人觉得这不过是猴子的习惯而已,事实真的如此吗? 孙悟空这样做是为了遮阳还是为了看得更远? 真实情况恐怕只有“美猴王”知道了,但这种用手遮挡额头上方光线、辅助远眺的姿势,在古代行军中经常用到,甚至在现代的军队行进过程中也会用到.
在军队中使用这种姿势眺望远方,可不是为了模仿孙悟空,实际上这是测量距离最简单快捷的方法.
我们知道行军过程中需要隐蔽,很多地点是无法直接靠近测量的,古代又没有高科技设备,这个时候就需要用一种简单的方法来测量某一处与军队间的距离,例如某建筑物与军队间的距离.
当测量一条河的宽度时,士兵站立起来,利用手掌遮盖在眉毛的位置,然后调整手掌的边缘,使得边缘恰好与河岸对面重合,这个时候手掌不要动,士兵转过身子,在身边找到某一处恰好与手掌边缘重合的地方(,人高为$BC$,利用上述方法,与手掌边缘恰好重合的点为$A$).这样只需要测量士兵与这一点间的距离,就可以在不需要渡河的情况下测量出河的宽度.如果继续计算的话,利用勾股定理还可以求出$AB$的长度,这在测量河宽的时候虽然看似没有用途,可是如果在行军中遇到了狙击手,有经验的军人就可以根据子弹的角度与方向快速地判断出敌人的位置.
这种测量方法简单明了,或许孙悟空才是最早掌握这种方法的“猴子”呢.

解：
由题意可知，BC⊥AC，即∠C=90°。
测量时手掌位置保持不变，两次观测的视线与竖直方向的夹角相等，观测对岸形成的直角三角形与Rt△ABC满足全等条件，因此河的宽度与线段AC的长度相等，直接测量AC的长度即可得到河宽。
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
即 $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$。
答：测量出点A到测量者站立点C的距离AC即可得到河宽，AB的长度为AC与BC的平方和的算术平方根。

【分析】
解题时首先理解该测量方法的几何原理：首先测量时人竖直站立，因此身高BC与地面AC垂直，形成直角三角形；其次手掌不动意味着两次观测时视线与竖直方向BC的夹角相等，结合公共边BC、两个直角相等，可判定两次观测形成的直角三角形全等，因此河宽与AC长度相等，测量AC即可得到河宽。要求AB的长度时，观察到△ABC是直角三角形，直接用勾股定理计算即可。
【解析】
解：由题意可知，BC⊥AC，即∠C=90°。
测量时手掌位置保持不变，两次观测的视线与竖直方向的夹角相等，观测对岸形成的直角三角形与Rt△ABC满足ASA全等判定条件，因此两个三角形全等，对应边相等，即河的宽度与线段AC的长度相等，直接测量AC的长度即可得到河宽。
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据勾股定理可得：
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
即 $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$。
【答案】
测量出点A到测量者站立点C的距离AC即可得到河宽，AB的长度为$\sqrt{AC^2 + BC^2}$（或AC与BC的平方和的算术平方根）。
【知识点】
全等三角形的应用、勾股定理、实际问题几何建模
【点评】
本题将几何知识与古代行军测量的实际场景相结合，既考查了全等三角形、勾股定理等核心知识的掌握情况，也体现了数学知识在生活实际中的应用价值，有助于提升学生将实际问题转化为几何模型的能力。
【难度系数】
0.75