登录
12. 已知 $ x $，$ y $ 为实数，且 $ y = \sqrt{x^2 - 9} - \sqrt{9 - x^2} + 4 $，则 $ x - y = $ ______.
答案
-1或-7
解析
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，因此：
$\begin{cases} x^2 - 9 ≥ 0 \\ 9 - x^2 ≥ 0 \end{cases}$
解得$x^2 = 9$，即$x = \pm 3$。
将$x^2 =9$代入$y = \sqrt{x^2 -9} - \sqrt{9 -x^2} +4$，得$y = 0 -0 +4 =4$。
当$x=3$时，$x - y =3 -4 = -1$；当$x=-3$时，$x - y = -3 -4 = -7$。
$\begin{cases} x^2 - 9 ≥ 0 \\ 9 - x^2 ≥ 0 \end{cases}$
解得$x^2 = 9$，即$x = \pm 3$。
将$x^2 =9$代入$y = \sqrt{x^2 -9} - \sqrt{9 -x^2} +4$，得$y = 0 -0 +4 =4$。
当$x=3$时，$x - y =3 -4 = -1$；当$x=-3$时，$x - y = -3 -4 = -7$。
13. 图像识别是人工智能领域的一个重要分支. 如图, 某人工智能模型图像识别的正确率随着训练次数的增加而逐渐趋于稳定. 现用该模型识别 100 幅图像, 被正确识别的图像估计有幅.
答案
80
解析
观察图像可知，该人工智能模型图像识别的正确率趋于稳定时为80%，因此识别100幅图像时，被正确识别的图像数量为100×80%=80幅。
14. 已知关于$ x $的分式方程$\frac{x + k}{x + 1} - \frac{k}{x - 1} = 1$的解为负数，则$ k $的取值范围是________.
答案
$k＞\frac{1}{2}$且$k≠1$
解析
先去分母，两边同乘最简公分母$(x+1)(x-1)$，得：$(x+k)(x-1)-k(x+1)=(x+1)(x-1)$；展开并整理整式方程：$x^2 -x +kx -k -kx -k =x^2 -1$，化简得$-x -2k=-1$，解得$x=1-2k$；根据方程的解为负数，得$1-2k＜0$，解得$k＞\frac{1}{2}$；又因为分式方程分母不能为0，所以$x≠1$且$x≠-1$，代入$x=1-2k$得：$1-2k≠1$（即$k≠0$），$1-2k≠-1$（即$k≠1$），结合$k＞\frac{1}{2}$，最终得$k$的取值范围是$k＞\frac{1}{2}$且$k≠1$。
15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在BC边上运动，点Q是任意一点. 若所得菱形OPQD的边长为5，则点Q的坐标为 .
答案
(8,4)
解析
1. 由矩形OABC的顶点A(10,0)、C(0,4)，D是OA中点，可得D点坐标为(5,0)，OD长度为5；2. 因为菱形OPQD的边长为5，所以OP=5，设点P坐标为(x,4)（P在BC边上，BC边纵坐标为4），根据两点间距离公式，OP=√(x²+4²)=5，解得x=3（x＞0），即P(3,4)；3. 菱形对边平行且相等，OD平行且等于PQ，OD为水平线段，故Q的纵坐标与P相同为4，横坐标为P的横坐标加OD的长度，即3+5=8，因此Q点坐标为(8,4)。
16. 某中学为了解全校1000名学生对新闻、娱乐、体育、动画、戏曲五类电视节目的喜爱情况，学校就“我最喜爱的电视节目”做了一次简单随机抽样调查. 如图是根据调查结果绘制的扇形统计图. 根据图中的信息，该校1000名学生中，最喜爱娱乐节目的学生大约有________名.
答案
200
解析
根据扇形统计图可知，喜爱娱乐节目的学生占比为20%，全校共有1000名学生，因此最喜爱娱乐节目的学生人数为1000×20%=200（名）。
17. 如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BD上，$BF=3DF$，若$AB=4$，$BC=3$，则EF的长为________.
答案
$\frac{5}{4}$
解析
建立平面直角坐标系，设A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，则E为CD中点，坐标为(2,3)。对角线BD的直线方程为$y=-\frac{3}{4}x + 3$。由$BF=3DF$，得$DF:FB=1:3$，根据分点公式，F点坐标为$(1,\frac{9}{4})$。根据两点间距离公式，$EF=\sqrt{(2-1)^2 + (3-\frac{9}{4})^2}=\sqrt{1 + (\frac{3}{4})^2}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$。
18. 如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的动点（点E，F均不与点C重合），连接AF，EF，G，H分别是AF，EF的中点，连接GH. 若$∠ B=60°$，$AD=4\sqrt{3}$，则GH的最小值是________.
答案
3
解析
在菱形ABCD中，AB=AD=4√3，∠B=60°，所以AB=BC=4√3。因为G、H分别是AF、EF的中点，根据三角形中位线定理，GH是△AEF的中位线，故GH=1/2 AE。要使GH最小，需AE最小，当AE⊥BC时，AE最短（点到直线的距离垂线段最短）。在Rt△ABE中，∠B=60°，AB=4√3，计算得AE=AB·sin60°=4√3×(√3/2)=6，因此GH=1/2×6=3。
三、解答题
19. 把下列各式因式分解：
(1) $(x + 2)(x + 4) + 1$；
(2) $(x^2 + 4)^2 - 16x^2$。
19. 把下列各式因式分解：
(1) $(x + 2)(x + 4) + 1$；
(2) $(x^2 + 4)^2 - 16x^2$。
答案
(1) $(x + 3)^2$；
(2) $(x + 2)^2(x - 2)^2$
(2) $(x + 2)^2(x - 2)^2$
解析
(1) 先展开并整理原式：
$(x + 2)(x + 4) + 1 = x^2 + 6x + 8 + 1 = x^2 + 6x + 9$，
符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$（其中$a=x$，$b=3$），故分解为$(x + 3)^2$。
(2) 原式符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，令$a=x^2 + 4$，$b=4x$，则：
$(x^2 + 4)^2 - 16x^2 = (x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x)$，
两个因式均为完全平方，即$x^2 + 4x + 4=(x+2)^2$，$x^2 -4x +4=(x-2)^2$，故最终分解为$(x + 2)^2(x - 2)^2$。
$(x + 2)(x + 4) + 1 = x^2 + 6x + 8 + 1 = x^2 + 6x + 9$，
符合完全平方公式$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$（其中$a=x$，$b=3$），故分解为$(x + 3)^2$。
(2) 原式符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，令$a=x^2 + 4$，$b=4x$，则：
$(x^2 + 4)^2 - 16x^2 = (x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x)$，
两个因式均为完全平方，即$x^2 + 4x + 4=(x+2)^2$，$x^2 -4x +4=(x-2)^2$，故最终分解为$(x + 2)^2(x - 2)^2$。
