1.函数$f(x)=3\sin(2x+\dfrac{π}{3})$与函数$g(x)=2\sin(2x-\dfrac{π}{4})$具有相同的 （）

A.振幅
B.频率
C.相位
D.初相

函数$f(x)=3\sin(2x+\frac{π}{3})$的振幅为3,周期$T=\frac{2π}{2}=π$,频率为$\frac{1}{T}=\frac{1}{π}$,相位为$2x+\frac{π}{3}$,初相为$\frac{π}{3}$;函数$g(x)=2\sin(2x-\frac{π}{4})$的振幅为2,周期$T=\frac{2π}{2}=π$,频率为$\frac{1}{T}=\frac{1}{π}$,相位为$2x-\frac{π}{4}$,初相为$-\frac{π}{4}$。
故两个函数具有相同的频率。

2.交流电的瞬时值随时间呈周期性变化,正负号表示电流方向的交替变化.电流强度$I(\mathrm{A})$随时间$t(\mathrm{s})$变化的函数$I=A\sin(ω t + \varphi)$$(A＞0,ω＞0,0＜\varphi＜\frac{π}{2})$的图象如图所示,则当$t=\frac{1}{200}\ \mathrm{s}$时,电流强度是（）


A.$-5\ \mathrm{A}$
B.$5\ \mathrm{A}$
C.$-5\sqrt{3}\ \mathrm{A}$
D.$5\sqrt{3}\ \mathrm{A}$

由题中图象,得电流强度的最大值和最小值分别为10和$-10$,所以$A=10$。
由周期$T=2×(\frac{4}{300}-\frac{1}{300})=\frac{1}{50}=\frac{2π}{ω}$,得$ω=100π$。
将点$(\frac{1}{300},10)$代入$I=10\sin(100π t+\varphi)$,得$\sin(\frac{π}{3}+\varphi)=1$,
所以$\frac{π}{3}+\varphi=\frac{π}{2}+2kπ,k\in \mathbf{Z}$,所以$\varphi=\frac{π}{6}+2kπ,k\in \mathbf{Z}$。
因为$0＜\varphi＜\frac{π}{2}$,所以$\varphi=\frac{π}{6}$,
所以$I=10\sin(100π t+\frac{π}{6})$。
将$t=\frac{1}{200}$代入,得$I=10\sin(\frac{π}{2}+\frac{π}{6})=5\sqrt{3}$,即电流强度是$5\sqrt{3}\ \mathrm{A}$。

3.某日重庆气温波动较大，假设渝中区该天8~18时的温度变化近似满足函数$f(x)=A\sin(ω x+\varphi)+B(A＞0,ω＞0,|\varphi|＜\frac{π}{2})$，已知8时气温最低，为$10\ °\mathrm{C}$，14时气温最高，为$20\ °\mathrm{C}$，则$f(x)$的解析式可以是 （）

A.$f(x)=5\sin(\frac{π}{6}x+\frac{π}{6})+15,x\in[8,18]$
B.$f(x)=5\sin(\frac{π}{6}x-\frac{π}{6})+15,x\in[8,18]$
C.$f(x)=5\sin(\frac{π}{6}x+\frac{π}{3})+15,x\in[8,18]$
D.$f(x)=5\sin(\frac{π}{6}x-\frac{π}{3})+15,x\in[8,18]$

依题意,得$\begin{cases}A+B=20,\\-A+B=10,\end{cases}$解得$\begin{cases}A=5,\\B=15.\end{cases}$
设该函数的最小正周期为$T$。
因为$\frac{T}{2}=14-8=6$,所以$T=12=\frac{2π}{ω}$,
所以$ω=\frac{π}{6}$,所以$f(x)=5\sin(\frac{π}{6}x+\varphi)+15$。
又$f(8)=5\sin(\frac{π}{6}× 8+\varphi)+15=10$,
所以$\sin(\frac{4π}{3}+\varphi)=-1$,所以$\frac{4π}{3}+\varphi=\frac{3π}{2}+2kπ,k\in \mathbf{Z}$,
所以$\varphi=\frac{π}{6}+2kπ,k\in \mathbf{Z}$。
又$|\varphi|＜\frac{π}{2}$,所以$\varphi=\frac{π}{6}$,所以$f(x)=5\sin(\frac{π}{6}x+\frac{π}{6})+15,x\in[8,18]$。

4.如图,某港口某天从6时到18时的水深y（单位:米）与时间x（单位:时）之间的关系可用函数$f(x)=A\sin(ω x+\varphi)+5(A＞0,ω＞0,|\varphi|＜\frac{π}{2})$近似刻画,据此可估计当天12时的水深为（）


A.$\frac{7}{2}$米
B.4米
C.$(5-\frac{3\sqrt{2}}{2})$米
D.$(5-\frac{3\sqrt{3}}{2})$米

由题图可得,最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=18-6=12$,则$ω=\frac{π}{6}$。
当$\sin(ω x+\varphi)=-1$时,$y$取得最小值,为$-A+5=2$,得$A=3$。
因为函数$y=3\sin(\frac{π}{6}x+\varphi)+5$的图象过点$(6,\frac{13}{2})$,
所以$3\sin(\frac{π}{6}× 6+\varphi)+5=\frac{13}{2}$,即$\sin \varphi=-\frac{1}{2}$。
又$|\varphi|＜\frac{π}{2}$,所以$\varphi=-\frac{π}{6}$,
所以$y=3\sin(\frac{π}{6}x-\frac{π}{6})+5$。
当$x=12$时,$y=3\sin(2π-\frac{π}{6})+5=-\frac{3}{2}+5=\frac{7}{2}$,即估计当天12时的水深为$\frac{7}{2}$米。

5.如图,一个半径为4 m的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为2 m.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m).若当盛水筒P刚出水面时开始计时,则d与时间t(单位:s)之间的关系近似为$d=A\sin(ω t+\varphi)+K(A＞0,ω＞0,-\frac{π}{2}＜\varphi＜\frac{π}{2})$,则盛水筒出水面后至少约经过s可以到达最高点(精确到1 s).

以水面所在直线为$x$轴,以垂直水面、且过轴心$O$的直线为$y$轴建立平面直角坐标系(图略).由题意,得$A=4$,$K=2$。
因为筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,
所以$ω=\frac{1.5× 2π}{60}=\frac{π}{20}$。
因为当$t=0$时,$d=0$,
所以$0=4\sin \varphi+2$,
所以$\sin \varphi=-\frac{1}{2}$。
因为$-\frac{π}{2}＜\varphi＜\frac{π}{2}$,所以$\varphi=-\frac{π}{6}$,
所以$d=4\sin(\frac{π}{20}t-\frac{π}{6})+2$。
将$d=6$代入,得$\sin(\frac{π}{20}t-\frac{π}{6})=1$,所以$\frac{π}{20}t-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+2kπ(k\in \mathbf{Z})$,
解得$t=\frac{40}{3}+40k(k\in \mathbf{Z})$。
当$k=0$时,$t=\frac{40}{3}\approx 13$,即盛水筒出水面后至少约经过13 s可以到达最高点。