6.已知甲、乙两车间的污水瞬时排放量$y$(单位:$\mathrm{m}^3/\mathrm{h}$)关于时间$t$(单位:$\mathrm{h}$)的关系均近似地满足函数$y=A\sin(ω t+\varphi)+B(A＞0,ω＞0,0＜\varphi＜π)$，其部分图象如图所示.

(1)根据图象求函数解析式；
(2)若甲车间先投产，1 h后乙车间再投产，求两车间都投产时的污水瞬时排放量的最大值.

解:(1)由题图可得,$A=\frac{6-2}{2}=2$,$B=\frac{6+2}{2}=4$。
因为最小正周期$T=\frac{2π}{ω}=6$,所以$ω=\frac{π}{3}$。
将$(0,6)$代入$y=2\sin(\frac{π}{3}t+\varphi)+4$,得$\sin \varphi=1$,
所以$\varphi=2kπ+\frac{π}{2},k\in \mathbf{Z}$。
又因为$0＜\varphi＜π$,所以$\varphi=\frac{π}{2}$,
所以$y=2\sin(\frac{π}{3}t+\frac{π}{2})+4=2\cos(\frac{π}{3}t)+4(t≥ 0)$。
(2)设乙车间投产$t\ \mathrm{h}$后,甲、乙两车间的污水瞬时排放量之和为$W\ \mathrm{m}^3$,
此时甲车间的污水瞬时排放量为$\{2\cos[\frac{π}{3}(t+1)]+4\}\mathrm{m}^3$,乙车间的污水瞬时排放量为$(2\cos \frac{π t}{3}+4)\mathrm{m}^3$,
故$W=2\cos [\frac{π}{3}(t+1)]+2\cos (\frac{π}{3}t)+8=2\cos(\frac{π}{3}t)\cos \frac{π}{3}-2\sin(\frac{π}{3}t)\sin \frac{π}{3}+2\cos(\frac{π}{3}t)+8=3\cos(\frac{π}{3}t)-\sqrt{3}\sin(\frac{π}{3}t)+8=2\sqrt{3}\cos(\frac{π}{3}t+\frac{π}{6})+8$,$t≥ 0$。
故两车间都投产时的污水瞬时排放量的最大值为$(2\sqrt{3}+8)\mathrm{m}^3$。

7.(多选)已知某景区有一时钟花观花区,这种花的开放与环境的温度有关.在花期内,时钟花每天可开谢一次,当温度达到 $20\ °\mathrm{C}$ 时花会开放,当温度上升到 $30\ °\mathrm{C}$ 时花会凋谢.已知某季节该景区在8时到16时的气温 $y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间 $t$(单位:时)近似满足函数关系式 $y=\dfrac{80}{3}+\dfrac{10\sqrt{3}}{3}\sin(\dfrac{π}{3}t)+\dfrac{10}{3}\cos(\dfrac{π}{3}t)$.某游客在该季节的某日8时到16时的某时段到该景区观赏这种时钟花,则他能欣赏到这种花开放的时段是 ()

A.8~10时
B.10~12时
C.12~14时
D.14~16时

$y=\frac{80}{3}+\frac{10\sqrt{3}}{3}\sin(\frac{π}{3}t)+\frac{10}{3}\cos(\frac{π}{3}t)=\frac{80}{3}+\frac{20}{3}\sin(\frac{π}{3}t+\frac{π}{6})$。
令$20≤ \frac{80}{3}+\frac{20}{3}\sin(\frac{π}{3}t+\frac{π}{6})≤ 30$,得$-1≤ \sin(\frac{π}{3}t+\frac{π}{6})≤ \frac{1}{2}$,
所以$2kπ-\frac{π}{2}≤ \frac{π}{3}t+\frac{π}{6}≤ 2kπ+\frac{π}{6},k\in \mathbf{Z}$或$2kπ+\frac{5π}{6}≤ \frac{π}{3}t+\frac{π}{6}≤ 2kπ+\frac{3π}{2},k\in \mathbf{Z}$,
解得$6k-2≤ t≤ 6k,k\in \mathbf{Z}$或$6k+2≤ t≤ 6k+4,k\in \mathbf{Z}$。
结合$8≤ t≤ 16$,
所以当$k=1$时,$8≤ t≤ 10$;
当$k=2$时,$10≤ t≤ 12$或$14≤ t≤ 16$。
故$8≤ t≤ 10$或$10≤ t≤ 12$或$14≤ t≤ 16$。

8.某同学坐摩天轮时距地面的高度$y$(m)与时间$t$(s)的部分数据如下表所示：

用函数模型$y=A\sinω t+B$近似刻画$y$与$t$之间的对应关系，则该同学在第25 s时距地面的高度为（）

A.7.5 m
B.6.5 m
C.8.5 m
D.5.5 m

根据题中表格数据可知最大高度为9 m,最小高度为3 m。
不妨取$A＞0$,因此可得$A+B=9$,$-A+B=3$,解得$A=3$,$B=6$。
摩天轮旋转一周用时为12 s,因此周期$T=\frac{2π}{ω}=12$,
所以$ω=\frac{π}{6}$。
因此函数模型为$y=3\sin(\frac{π}{6}t)+6$。
将$t=25$代入,得$y=3\sin(\frac{π}{6}× 25)+6=3\sin \frac{π}{6}+6=1.5+6=7.5$,即该同学第25 s时距地面的高度为7.5 m。

9.已知某地区某天的温度$f(t)$(单位:$°\mathrm{C}$)随时间$t$(单位:时)的变化近似满足函数关系$f(t)=28+A\sin(\frac{π}{8}t+\frac{3π}{4})(A＞0),t\in[0,24)$,且这天的最大温差为$8°\mathrm{C}$,则$A=$;若温度不低于$30°\mathrm{C}$需要开空调降温,则这天需要降温的时长为h.

对于$f(t)=28+A\sin(\frac{π}{8}t+\frac{3π}{4})(A＞0)$,其最小正周期$T=\frac{2π}{\frac{π}{8}}=16＜24$,
故这天的最大温差即为$f(t)$的最大值与最小值的差。
又$A＞0$,故$(A+28)-(-A+28)=2A=8$,解得$A=4$。
令$f(t)≥ 30$,得$4\sin(\frac{π}{8}t+\frac{3π}{4})+28≥ 30$,即$\sin(\frac{π}{8}t+\frac{3π}{4})≥ \frac{1}{2}$。
由$t\in[0,24)$,得$\frac{π}{8}t+\frac{3π}{4}\in [\frac{3π}{4},\frac{15π}{4})$,
所以$\frac{3π}{4}≤ \frac{π}{8}t+\frac{3π}{4}≤ \frac{5π}{6}$或$\frac{13π}{6}≤ \frac{π}{8}t+\frac{3π}{4}≤ \frac{17π}{6}$,解得$t\in [0,\frac{2}{3}]\cup [\frac{34}{3},\frac{50}{3}]$,
所以这天需要降温的时长为$\frac{2}{3}+(\frac{50}{3}-\frac{34}{3})=6(\mathrm{h})$。