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第一步 学新知
知识点 常见的函数模型 ★★★
(1)一次函数(线性函数)模型：$f(x)=kx+b(k≠0)$。
(2)二次函数模型：$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$。
(3)反比例函数模型：$f(x)=\frac{k}{x}(k≠0)$。
(4)幂(型)函数模型：$f(x)=kx^α+b(k≠0,α≠0)$。
(5)分段函数模型：$f(x)=\begin{cases}f_1(x),&x∈D_1,\\f_2(x),&x∈D_2,\\···,\\f_n(x),&x∈D_n.\end{cases}$
▶名师点拨
对于实际问题，求出解析式后要注意标明自变量的取值范围。
【学以致用】如图，用一段长为300 m的篱笆围成一个多边形菜园BCDEFG，地块ABCD是矩形，矩形AGFE为水塘。已知AE=20 m，AG=10 m，设GB=x m，BC=y m，菜园BCDEFG的面积为S m²。
(1)写出y关于x的关系式；
(2)求S的最大值。
知识点 常见的函数模型 ★★★
(1)一次函数(线性函数)模型：$f(x)=kx+b(k≠0)$。
(2)二次函数模型：$f(x)=ax^2+bx+c(a≠0)$。
(3)反比例函数模型：$f(x)=\frac{k}{x}(k≠0)$。
(4)幂(型)函数模型：$f(x)=kx^α+b(k≠0,α≠0)$。
(5)分段函数模型：$f(x)=\begin{cases}f_1(x),&x∈D_1,\\f_2(x),&x∈D_2,\\···,\\f_n(x),&x∈D_n.\end{cases}$
▶名师点拨
对于实际问题，求出解析式后要注意标明自变量的取值范围。
【学以致用】如图，用一段长为300 m的篱笆围成一个多边形菜园BCDEFG，地块ABCD是矩形，矩形AGFE为水塘。已知AE=20 m，AG=10 m，设GB=x m，BC=y m，菜园BCDEFG的面积为S m²。
(1)写出y关于x的关系式；
(2)求S的最大值。
答案
解:(1)因为AE=20 m,AG=10 m,多边形菜园BCDEFG的周长为300 m,GB=x m,BC=y m,
所以DC=(x+10)m,DE=(y-20)m,
则x+y+x+10+y-20+10+20=300,
所以y=140-x.
(2)因为y=140-x,
所以S=xy+10(y-20)=x(140-x)+10(140-x-20)=-x²+130x+1200=-(x-65)²+5425,
所以当x=65时,S取得最大值,最大值为5425.
所以DC=(x+10)m,DE=(y-20)m,
则x+y+x+10+y-20+10+20=300,
所以y=140-x.
(2)因为y=140-x,
所以S=xy+10(y-20)=x(140-x)+10(140-x-20)=-x²+130x+1200=-(x-65)²+5425,
所以当x=65时,S取得最大值,最大值为5425.
【典例1】某企业准备从生产单一产品转为生产A,B两种产品,根据市场调查与市场预测,生产A产品的利润与投入成正比,其关系如图1所示;生产B产品的利润与投入的算术平方根成正比,其关系如图2所示.(注:图中的横坐标表示投入,单位为万元;纵坐标表示利润,单位为万元)
(1)分别表示生产A,B两种产品的利润关于投入的函数.
(2)该企业已筹集到12万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产.问:怎样分配这12万元资金,才能使该企业获得最大利润?最大利润是多少?
解题指导 (1)由题意,设$f(x)=k_1x,g(t)=k_2\sqrt{t}$,根据图象求解.
(2)列出利润$y$关于生产A产品的投入$x$的函数解析式,根据函数解析式的特点,利用换元法求最值.
答案 解:(1)设生产A产品的投入是$x$万元,利润是$f(x)$万元,生产B产品的投入是$t$万元,利润是$g(t)$万元.
由题意,设$f(x)=k_1x,g(t)=k_2\sqrt{t}$.
由题图,知$f(2)=1$,故$k_1=\frac{1}{2}$.
又$g(4)=4$,所以$k_2=2$.
故$f(x)=\frac{1}{2}x(x≥0),g(t)=2\sqrt{t}(t≥0)$.
(2)设该企业获得的利润是$y$万元.由(1),知生产A产品的投入是$x$万元,则生产B产品的投入是$(12-x)$万元.
由题意,得$y=f(x)+g(12-x)=\frac{1}{2}x+2\sqrt{12-x}(0≤ x≤12)$.
令$s=\sqrt{12-x}$,则$0≤ s≤2\sqrt{3}$,
所以$y=-\frac{1}{2}(s-2)^2+8$,
所以当$s=2$时,$y_{\mathrm{max}}=8$,此时$x=8$.
故生产A产品投入8万元,生产B产品投入4万元,才能使该企业获得最大利润,最大利润是8万元.
(1)分别表示生产A,B两种产品的利润关于投入的函数.
(2)该企业已筹集到12万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产.问:怎样分配这12万元资金,才能使该企业获得最大利润?最大利润是多少?
解题指导 (1)由题意,设$f(x)=k_1x,g(t)=k_2\sqrt{t}$,根据图象求解.
(2)列出利润$y$关于生产A产品的投入$x$的函数解析式,根据函数解析式的特点,利用换元法求最值.
答案 解:(1)设生产A产品的投入是$x$万元,利润是$f(x)$万元,生产B产品的投入是$t$万元,利润是$g(t)$万元.
由题意,设$f(x)=k_1x,g(t)=k_2\sqrt{t}$.
由题图,知$f(2)=1$,故$k_1=\frac{1}{2}$.
又$g(4)=4$,所以$k_2=2$.
故$f(x)=\frac{1}{2}x(x≥0),g(t)=2\sqrt{t}(t≥0)$.
(2)设该企业获得的利润是$y$万元.由(1),知生产A产品的投入是$x$万元,则生产B产品的投入是$(12-x)$万元.
由题意,得$y=f(x)+g(12-x)=\frac{1}{2}x+2\sqrt{12-x}(0≤ x≤12)$.
令$s=\sqrt{12-x}$,则$0≤ s≤2\sqrt{3}$,
所以$y=-\frac{1}{2}(s-2)^2+8$,
所以当$s=2$时,$y_{\mathrm{max}}=8$,此时$x=8$.
故生产A产品投入8万元,生产B产品投入4万元,才能使该企业获得最大利润,最大利润是8万元.
答案
解：
(1) 设生产A产品的投入为$x$万元，利润为$f(x)$万元，生产B产品的投入为$t$万元，利润为$g(t)$万元。
由题意设$f(x)=k_1x$，$g(t)=k_2\sqrt{t}$。
将图1中点$(2,1)$代入$f(x)=k_1x$，得$1=2k_1$，解得$k_1=\frac{1}{2}$。
将图2中点$(4,4)$代入$g(t)=k_2\sqrt{t}$，得$4=k_2\sqrt{4}$，解得$k_2=2$。
因此生产A、B两种产品的利润函数分别为：
$f(x)=\frac{1}{2}x\quad (x≥0),\quad g(t)=2\sqrt{t}\quad (t≥0)$
(2) 设企业总利润为$y$万元，投入A产品的资金为$x$万元，则投入B产品的资金为$(12-x)$万元，其中$0≤ x≤12$。
总利润满足：
$y=f(x)+g(12-x)=\frac{1}{2}x + 2\sqrt{12-x}$
令$s=\sqrt{12-x}$，则$x=12-s^2$，由$0≤ x≤12$得$0≤ s≤2\sqrt{3}$，代入得：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(12-s^2)+2s\\&=-\frac{1}{2}s^2+2s+6\\&=-\frac{1}{2}(s-2)^2+8\end{aligned}$
该二次函数开口向下，对称轴$s=2$在定义域内，当$s=2$时，$y$取最大值$y_{\mathrm{max}}=8$。
此时$\sqrt{12-x}=2$，解得$x=8$，$12-x=4$。
答：将8万元投入生产A产品，4万元投入生产B产品时，企业获得的利润最大，最大利润为8万元。
(1) 设生产A产品的投入为$x$万元，利润为$f(x)$万元，生产B产品的投入为$t$万元，利润为$g(t)$万元。
由题意设$f(x)=k_1x$，$g(t)=k_2\sqrt{t}$。
将图1中点$(2,1)$代入$f(x)=k_1x$，得$1=2k_1$，解得$k_1=\frac{1}{2}$。
将图2中点$(4,4)$代入$g(t)=k_2\sqrt{t}$，得$4=k_2\sqrt{4}$，解得$k_2=2$。
因此生产A、B两种产品的利润函数分别为：
$f(x)=\frac{1}{2}x\quad (x≥0),\quad g(t)=2\sqrt{t}\quad (t≥0)$
(2) 设企业总利润为$y$万元，投入A产品的资金为$x$万元，则投入B产品的资金为$(12-x)$万元，其中$0≤ x≤12$。
总利润满足：
$y=f(x)+g(12-x)=\frac{1}{2}x + 2\sqrt{12-x}$
令$s=\sqrt{12-x}$，则$x=12-s^2$，由$0≤ x≤12$得$0≤ s≤2\sqrt{3}$，代入得：
$\begin{aligned}y&=\frac{1}{2}(12-s^2)+2s\\&=-\frac{1}{2}s^2+2s+6\\&=-\frac{1}{2}(s-2)^2+8\end{aligned}$
该二次函数开口向下，对称轴$s=2$在定义域内，当$s=2$时，$y$取最大值$y_{\mathrm{max}}=8$。
此时$\sqrt{12-x}=2$，解得$x=8$，$12-x=4$。
答：将8万元投入生产A产品，4万元投入生产B产品时，企业获得的利润最大，最大利润为8万元。
