1.代数式$x^2+\frac{4}{x^2}$取得最小值时，对应的$x$的值为（）

A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\pm2$
D.$\pm\sqrt{2}$

D 因为$x^2＞0$，所以$x^2+\frac{4}{x^2}≥2\sqrt{x^2·\frac{4}{x^2}}=4$，当且仅当$x^2=\frac{4}{x^2}$，即$x^2=2,x=\pm\sqrt{2}$时，等号成立。

2.当$x≥2$时，不等式$x+1+\dfrac{1}{x}＞a$恒成立，则实数$a$的取值范围是（）

A.$(-∞,3)$
B.$(-∞,3]$
C.$(-∞,\dfrac{7}{2}]$
D.$(-∞,\dfrac{7}{2})$

D 已知当$x≥2$时，不等式$x+1+\frac{1}{x}＞a$恒成立。因为函数$y=x+\frac{1}{x}+1$在$[2,+∞)$上单调递增，所以当x=2时，$y_{min}=2+\frac{1}{2}+1=\frac{7}{2}$，所以$a＜\frac{7}{2}$，即实数a的取值范围是$(-∞,\frac{7}{2})$。(本题易误选A，忽视$x+\frac{1}{x}≥2$中等号成立的条件是x=1，而1＜2，x取不到1)

3.若对任意正数$x$，不等式$x+\dfrac{16}{x}≥ a^2-2a$恒成立，则实数$a$的取值范围为。

$[-2,4]$ 对任意正数x，有$x+\frac{16}{x}≥8$，当且仅当$x=\frac{16}{x}$，即x=4时，等号成立。由题意，得$a^2-2a≤(x+\frac{16}{x})_{min}=8$，即$a^2-2a-8≤0$，所以$(a-4)(a+2)≤0$，解得$-2≤ a≤4$，即实数a的取值范围为$[-2,4]$。

4.已知幂函数$f(x)=x^α$（$α$为常数）的图象经过点$M(2,4)$。
(1)求$f(x)$的解析式。
(2)设$g(x)=\frac{f(x)+1}{x}$。
①判断$g(x)$在区间$[1,+∞)$上的单调性，并用单调性定义证明你的结论；
②若$g(x)≥ t$在$[1,+∞)$上恒成立，求实数$t$的取值范围。

解:(1)因为幂函数$f(x)=x^α$（$α$为常数）的图象经过点M(2,4)，所以$4=2^α$，解得$α=2$，所以$f(x)=x^2$。
(2)$g(x)=\frac{f(x)+1}{x}=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$。
①$g(x)$在区间$[1,+∞)$上单调递增。证明如下：
设$x_1＞x_2≥1$，所以$g(x_1)-g(x_2)=x_1+\frac{1}{x_1}-x_2-\frac{1}{x_2}=(x_1-x_2)\frac{x_1x_2-1}{x_1x_2}$。因为$x_1＞x_2≥1$，所以$x_1-x_2＞0$，$x_1x_2＞1$，所以$(x_1-x_2)\frac{x_1x_2-1}{x_1x_2}＞0$，所以$g(x_1)＞g(x_2)$，所以$g(x)$在区间$[1,+∞)$上单调递增。
②因为$g(x)≥ t$在$[1,+∞)$上恒成立，所以$t≤ g(x)_{min}$。又因为$g(x)$在区间$[1,+∞)$上单调递增，所以$g(x)_{min}=g(1)=2$，所以$t≤2$，即实数t的取值范围为$(-∞,2]$。

5.(一题多解)当$x＞1$时,不等式$x^2+ax+9＞0$恒成立,求实数$a$的取值范围.

解:方法1:因为当x＞1时，不等式$x^2+ax+9＞0$恒成立，所以只需求出函数$y=x^2+ax+9(x＞1)$的最小值，令最小值大于0即可。二次函数$y=x^2+ax+9$的图象的对称轴为$x=-\frac{a}{2}$。当$-\frac{a}{2}≤1$，即$a≥-2$时，函数在x=1处取得最小值，最小值为a+10，所以a+10≥0，解得a≥-10，所以a≥-2；当$-\frac{a}{2}＞1$，即a＜-2时，函数在$x=-\frac{a}{2}$处取得最小值，最小值为$(-\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{2}+9=9-\frac{a^2}{4}$，所以$9-\frac{a^2}{4}＞0$，解得-6＜a＜6，所以-6＜a＜-2。综上，实数a的取值范围为$(-6,+∞)$。
方法2:因为x＞1，所以$a＞-(x+\frac{9}{x})$。因为$x+\frac{9}{x}≥2\sqrt{x·\frac{9}{x}}=6$，当且仅当$x=\frac{9}{x}$，即x=3时，等号成立，所以$-(x+\frac{9}{x})$的最大值为-6，所以a＞-6。故实数a的取值范围为$(-6,+∞)$。

6.若∃$x_0 \in ( \dfrac{1}{2},3 )$，使得不等式$x^2 + ax + 2 ＞ 0$成立，求实数$a$的取值范围.
(提示:不等式中只含一个参数$a$，故采取分离参数法，将其转化为$a ＞ g(x)$在$x \in ( \dfrac{1}{2},3 )$上的存在性问题，故只需满足$a ＞ g(x)_{\mathrm{min}}$即可)
答案 P34

解:由不等式$x^2+ax+2＞0$以及$x_0\in(\frac{1}{2},3)$可得，$a＞-(x+\frac{2}{x})$。设$g(x)=-(x+\frac{2}{x}),x\in(\frac{1}{2},3)$。由对勾函数的性质可知，g(x)在$(\frac{1}{2},\sqrt{2}]$上单调递增，在$(\sqrt{2},3)$上单调递减。因为$g(\frac{1}{2})=-\frac{9}{2}$，$g(3)=-\frac{11}{3}$，$g(\sqrt{2})=-2\sqrt{2}$，所以$g(x)\in(-\frac{9}{2},-2\sqrt{2}]$，所以$a＞-\frac{9}{2}$。故实数a的取值范围是$(-\frac{9}{2},+∞)$。