8. （★★）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH $ \bot $ AB于点H，连接OH，若 $ OA=6,S_{\mathrm{菱形}ABCD}=48 $ ，则OH的长为
【】

A.4
B.8
C.$ \sqrt{1 3} $
D.6

8. A

 9. （★★）（2025·青海）如图，在菱形 ABCD中，BD=6，E，F分别为AB，BC的中点，且EF=2，则菱形 ABCD的面积为_______.

9. 12

 10. （★★）如图，在菱形ABCD中， $ AB=4 $ E为BC的中点， $ AE\bot BC $ 于点E， $ AF\bot CD $ 于点F，CG//AE，CG交AF于点H，交AD于点G.
(1) 求菱形ABCD的面积；
(2) 求 $ ∠ C H A $的度数.

10. (1)如图,连接AC.

∵ E为BC的中点,$AE⊥ BC$,
∴ $AB=AC$.
又
∵ 菱形的边$AB=BC$,
∴ $AB=AC=BC$.
∴ $△ ABC$是等边三角形.
∴ $∠ B=60°$.
∵ $AE⊥ BC$,
∴ $∠ AEB=90°$.
∴ $∠ BAE=90°-∠ B=30°$.
∴ $BE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$.
∴ $AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$.
∴ 菱形ABCD的面积$=BC· AE=4×2\sqrt{3}=8\sqrt{3}$.
(2)在等边三角形ABC中,
∵ $AE⊥ BC$,
∴ $∠ CAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$.
同理$∠ CAF=30°$,
∴ $∠ EAF=∠ CAE+∠ CAF=30°+30°=60°$.
∵ $AE// CG$,
∴ $∠ CHA+∠ EAF=180°$.
∴ $∠ CHA=180°-∠ EAF=180°-60°=120°$.

 11. （★★）如图，在菱形 ABCD中，E,F分别是边 CD，BC上的动点，连接 AE，EF，G，H分别为 AE，EF的中点，连接 GH. 若 $ ∠ A B C=6 0° $ $ B C=2 $ ，则 GH的最小值为_______.
 

11. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

 12. （★★）（2025·凉山州）如图，四边形 ABCD是菱形，对角线 AC，BD相交于点 O，E是边 CD的中点，过点 E作 EF $ \bot $ BD于点 F， EG $ \bot $ AC于点 G，若 AC=12，BD=16，则 FG的长为_______.

12. 5

 13. （★★）如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于点E.
求证： $ ∠ A F D=∠ C B E. $

13.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $∠ BCE=∠ DCE$,$BC=DC$,$AB// CD$.
∴ $∠ AFD=∠ CDE$.
在$△ BCE$和$△ DCE$中,
$\begin{cases}BC=DC,\\∠ BCE=∠ DCE,\\CE=CE,\end{cases}$
∴ $△ BCE≌△ DCE(\mathrm{SAS})$.
∴ $∠ CBE=∠ CDE$.
∴ $∠ AFD=∠ CBE$.