14. （★★）如图，在菱形ABCD中，P是对角线 AC上一动点，过点P作 $ P E\bot B C $于点E， $ P F\bot A B $于点F.若菱形ABCD的周
长为20，面积为24，则PE+PF的值为【 】

A.4
B.4.8
C.6
D.9.6

14. B

 15. （★★）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，DE平分 $ ∠ A D B $交AC于点 E，BF平分 $ ∠ C B D $交AC于点F，连接BE，DF.
(1) 求证： $ ∠ 1=∠ 2; $
(2) 若四边形ABCD是菱形且 AB=2， $ ∠ ABC=1 2 0° $ ，求四边形BEDF的面积.

15. (1)
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ $AD// BC$,$OD=OB$.
∴ $∠ ADO=∠ CBO$.
∵ DE平分$∠ ADB$,BF平分$∠ CBD$,
∴ $∠ ODE=\frac{1}{2}∠ ADB$,$∠ OBF=\frac{1}{2}∠ CBD$.
∴ $∠ ODE=∠ OBF$.
∴ $DE// BF$.
∵ $OD=OB$,$∠ DOE=∠ BOF$,
∴ $△ ODE≌△ OBF(\mathrm{ASA})$.
∴ $DE=BF$.
∴ 四边形DEBF是平行四边形.
∴ $BE// DF$.
∴ $∠ 1=∠ 2$.
(2)由(1)知,$△ ODE≌△ OBF(\mathrm{ASA})$.
∴ $OE=OF$.
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ $BD⊥ EF$,$OD=OB$,$AD// BC$,$AD=AB$.
∴ 四边形DEBF是菱形.
∵ $AD// BC$,
∴ $∠ BAD+∠ ABC=180°$.
∵ $∠ ABC=120°$,
∴ $∠ BAD=60°$.
∴ $△ ABD$是等边三角形.
∴ $BD=AB=2$,$∠ ADO=60°$.
∴ $OD=\frac{1}{2}BD=1$.
∵ $∠ ODE=\frac{1}{2}∠ ADB=30°$,
∴ $OE=\frac{1}{2}DE$.
设$OE=x(x＞0)$,则$DE=2x$.
∵ $OE^{2}+OD^{2}=DE^{2}$,
∴ $x^{2}+1^{2}=(2x)^{2}$.
∴ $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴ $OE=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∴ $EF=2OE=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
∴ 四边形BEDF的面积$=\frac{1}{2}BD· EF=\frac{1}{2}×2×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

 16. （★★★）如图，在边长为 a的菱形 ABCD中， $ ∠ D A B=6 0° $ ，E是AD上异于A,D两点的动点，F是CD上的动点，满足 $ A E+C F=a. $
(1) 求证： $ △ B D E≌ △ B C F; $
(2) 求证：不论 E，F怎样移动， $ △ BEF $总是等边三角形.

16. (1)
∵ 四边形ABCD是边长为$a$的菱形,$∠ DAB=60°$,
∴ $AD=AB=CB=CD=a$,$∠ C=∠ DAB=60°$.
∴ $△ ABD$,$△ CBD$都是等边三角形.
∴ $BD=BC$,$∠ BDE=∠ C=60°$.
∵ $AE+DE=a$,$AE+CF=a$,
∴ $AE+DE=AE+CF$.
∴ $DE=CF$.
在$△ BDE$和$△ BCF$中,
$\begin{cases}BD=BC,\\∠ BDE=∠ C,\\DE=CF,\end{cases}$
∴ $△ BDE≌△ BCF(\mathrm{SAS})$.
(2)由(1)知,$△ CBD$是等边三角形.
∴ $∠ DBC=60°$.
∵ $△ BDE≌△ BCF$,
∴ $BE=BF$,$∠ DBE=∠ CBF$.
∴ $∠ EBF=∠ DBE+∠ DBF=∠ CBF+∠ DBF=∠ DBC=60°$.
∴ $△ BEF$是等边三角形.
∴ 不论E,F怎样移动,$△ BEF$总是等边三角形.