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1. 填空题(将正确答案填在括号里)。
(1)正方体、长方体和圆柱的体积都等于(
(2)将一个棱长是4 dm的正方体钢坯锻造成一个高是8 dm的圆柱形钢材，则这个圆柱形钢材的底面积是(
(3)圆柱的体积是$50.24\ \mathrm{cm}^{3}$，底面直径是4 cm，高是(
(4)一个圆柱的底面周长是6.28 cm，高是2 cm，它的侧面积是(
(1)正方体、长方体和圆柱的体积都等于(
底面积
)×(高
)，用字母表示是($V=Sh$
)。(2)将一个棱长是4 dm的正方体钢坯锻造成一个高是8 dm的圆柱形钢材，则这个圆柱形钢材的底面积是(
8
)$\mathrm{dm}^{2}$。(3)圆柱的体积是$50.24\ \mathrm{cm}^{3}$，底面直径是4 cm，高是(
4
)cm。(4)一个圆柱的底面周长是6.28 cm，高是2 cm，它的侧面积是(
$12.56\ \mathrm{cm}^{2}$
)，表面积是($18.84\ \mathrm{cm}^{2}$
)，体积是($6.28\ \mathrm{cm}$
)。答案
1. (1) 底面积 高 $V=Sh$
(2) 8
(3) 4
(4) $12.56\ \mathrm{cm}^{2}$ $18.84\ \mathrm{cm}^{2}$ $6.28\ \mathrm{cm}$
(2) 8
(3) 4
(4) $12.56\ \mathrm{cm}^{2}$ $18.84\ \mathrm{cm}^{2}$ $6.28\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
1. 第(1)题：回忆正方体、长方体、圆柱的体积推导逻辑，正方体体积可转化为底面积（棱长×棱长）乘高（棱长），长方体体积是底面积（长×宽）乘高，圆柱通过割补转化为长方体后体积同样是底面积乘高，因此三者体积公式统一为底面积×高，用字母表示为$V=Sh$。
2. 第(2)题：锻造过程中钢材体积不变，先计算正方体钢坯的体积，再根据圆柱体积公式$V=Sh$变形得到底面积$S=V÷h$，代入数值计算即可。
3. 第(3)题：已知圆柱体积和底面直径，先求出底面半径，进而算出底面积，再利用体积公式变形$h=V÷S$求出高。
4. 第(4)题：圆柱侧面积直接用底面周长乘高计算；表面积需先通过底面周长求出底面半径，算出底面积后，用侧面积加两个底面积得到；体积则用底面积乘高计算。
【解析】
(1) 正方体体积 = 棱长×棱长×棱长 = 底面积×高，长方体体积 = 长×宽×高 = 底面积×高，圆柱体积经转化推导得底面积×高，因此三者体积都等于底面积×高，字母表示为$V=Sh$。
(2) 正方体钢坯体积：$4×4×4=64(\mathrm{dm}^3)$，锻造后圆柱体积与正方体体积相等，根据$V=Sh$，可得圆柱底面积：$64÷8=8(\mathrm{dm}^2)$。
(3) 底面半径：$4÷2=2(\mathrm{cm})$，底面积：$3.14×2^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$，根据$V=Sh$，高：$50.24÷12.56=4(\mathrm{cm})$。
(4) 侧面积：$6.28×2=12.56(\mathrm{cm}^2)$；
底面半径：$6.28÷3.14÷2=1(\mathrm{cm})$，底面积：$3.14×1^2=3.14(\mathrm{cm}^2)$，表面积：$12.56 + 3.14×2=18.84(\mathrm{cm}^2)$；
体积：$3.14×2=6.28(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
1. (1) 底面积 高 $V=Sh$
(2) 8
(3) 4
(4) $12.56\ \mathrm{cm}^{2}$ $18.84\ \mathrm{cm}^{2}$ $6.28\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 立体图形体积统一公式
2. 圆柱表面积计算
3. 等积变形原理
【点评】
本题围绕正方体、长方体、圆柱的体积及圆柱的表面积、侧面积展开考查，重点考查公式的灵活运用和等积变形中体积不变的核心思想，需要学生熟练掌握各类立体图形的相关公式，并能根据已知条件进行公式变形计算，计算过程中需注意单位的一致性。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)题：回忆正方体、长方体、圆柱的体积推导逻辑，正方体体积可转化为底面积（棱长×棱长）乘高（棱长），长方体体积是底面积（长×宽）乘高，圆柱通过割补转化为长方体后体积同样是底面积乘高，因此三者体积公式统一为底面积×高，用字母表示为$V=Sh$。
2. 第(2)题：锻造过程中钢材体积不变，先计算正方体钢坯的体积，再根据圆柱体积公式$V=Sh$变形得到底面积$S=V÷h$，代入数值计算即可。
3. 第(3)题：已知圆柱体积和底面直径，先求出底面半径，进而算出底面积，再利用体积公式变形$h=V÷S$求出高。
4. 第(4)题：圆柱侧面积直接用底面周长乘高计算；表面积需先通过底面周长求出底面半径，算出底面积后，用侧面积加两个底面积得到；体积则用底面积乘高计算。
【解析】
(1) 正方体体积 = 棱长×棱长×棱长 = 底面积×高，长方体体积 = 长×宽×高 = 底面积×高，圆柱体积经转化推导得底面积×高，因此三者体积都等于底面积×高，字母表示为$V=Sh$。
(2) 正方体钢坯体积：$4×4×4=64(\mathrm{dm}^3)$，锻造后圆柱体积与正方体体积相等，根据$V=Sh$，可得圆柱底面积：$64÷8=8(\mathrm{dm}^2)$。
(3) 底面半径：$4÷2=2(\mathrm{cm})$，底面积：$3.14×2^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$，根据$V=Sh$，高：$50.24÷12.56=4(\mathrm{cm})$。
(4) 侧面积：$6.28×2=12.56(\mathrm{cm}^2)$；
底面半径：$6.28÷3.14÷2=1(\mathrm{cm})$，底面积：$3.14×1^2=3.14(\mathrm{cm}^2)$，表面积：$12.56 + 3.14×2=18.84(\mathrm{cm}^2)$；
体积：$3.14×2=6.28(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
1. (1) 底面积 高 $V=Sh$
(2) 8
(3) 4
(4) $12.56\ \mathrm{cm}^{2}$ $18.84\ \mathrm{cm}^{2}$ $6.28\ \mathrm{cm}$
【知识点】
1. 立体图形体积统一公式
2. 圆柱表面积计算
3. 等积变形原理
【点评】
本题围绕正方体、长方体、圆柱的体积及圆柱的表面积、侧面积展开考查，重点考查公式的灵活运用和等积变形中体积不变的核心思想，需要学生熟练掌握各类立体图形的相关公式，并能根据已知条件进行公式变形计算，计算过程中需注意单位的一致性。
【难度系数】
0.7
2. 判断题(正确的画“√”，错误的画“×”)。
(1)两个圆柱的侧面积相等，它们的体积也一定相等。 (
(2)求圆柱形容器的容积，就是求这个容器的体积。 (
(1)两个圆柱的侧面积相等，它们的体积也一定相等。 (
×
)(2)求圆柱形容器的容积，就是求这个容器的体积。 (
×
)答案
2. (1) ×
(2) ×
(2) ×
解析
【分析】
1. 对于第(1)题：先明确圆柱侧面积和体积的计算公式，侧面积公式为$S_{侧}=2π rh$，体积公式为$V=π r^2h$。侧面积相等说明$rh$的乘积相等，但体积是$π r^2h=π r×(rh)$，当$rh$固定时，底面半径$r$不同，体积就会不同，因此侧面积相等的两个圆柱体积不一定相等。
2. 对于第(2)题：要区分容积和体积的概念，体积是物体自身所占空间的大小，计算时从外部测量数据；容积是容器内部能容纳物体的体积，计算时从内部测量数据，由于圆柱形容器有厚度，二者测量的数据不同，所以容积和体积不相等。
【解析】
(1) 举例验证：设第一个圆柱底面半径$r_1=2$，高$h_1=3$，侧面积$S_{侧1}=2π×2×3=12π$，体积$V_1=π×2^2×3=12π$；设第二个圆柱底面半径$r_2=3$，高$h_2=2$，侧面积$S_{侧2}=2π×3×2=12π$，体积$V_2=π×3^2×2=18π$。可见侧面积相等的两个圆柱体积不相等，故该说法错误。
(2) 圆柱形容器的体积是从外部测量底面半径和高计算得到的容器自身所占空间大小，容积是从内部测量相关数据计算得到的容器容纳物体的体积，因容器有厚度，内外测量数据不同，所以容积和体积不相等，该说法错误。
【答案】
(1) ×；(2) ×
【知识点】
圆柱的侧面积与体积；容积与体积的区别
【点评】
本题重点考查圆柱相关公式的应用以及容积和体积的概念辨析，需要准确掌握基础公式和概念，避免因概念混淆导致错误。
【难度系数】
0.6
1. 对于第(1)题：先明确圆柱侧面积和体积的计算公式，侧面积公式为$S_{侧}=2π rh$，体积公式为$V=π r^2h$。侧面积相等说明$rh$的乘积相等，但体积是$π r^2h=π r×(rh)$，当$rh$固定时，底面半径$r$不同，体积就会不同，因此侧面积相等的两个圆柱体积不一定相等。
2. 对于第(2)题：要区分容积和体积的概念，体积是物体自身所占空间的大小，计算时从外部测量数据；容积是容器内部能容纳物体的体积，计算时从内部测量数据，由于圆柱形容器有厚度，二者测量的数据不同，所以容积和体积不相等。
【解析】
(1) 举例验证：设第一个圆柱底面半径$r_1=2$，高$h_1=3$，侧面积$S_{侧1}=2π×2×3=12π$，体积$V_1=π×2^2×3=12π$；设第二个圆柱底面半径$r_2=3$，高$h_2=2$，侧面积$S_{侧2}=2π×3×2=12π$，体积$V_2=π×3^2×2=18π$。可见侧面积相等的两个圆柱体积不相等，故该说法错误。
(2) 圆柱形容器的体积是从外部测量底面半径和高计算得到的容器自身所占空间大小，容积是从内部测量相关数据计算得到的容器容纳物体的体积，因容器有厚度，内外测量数据不同，所以容积和体积不相等，该说法错误。
【答案】
(1) ×；(2) ×
【知识点】
圆柱的侧面积与体积；容积与体积的区别
【点评】
本题重点考查圆柱相关公式的应用以及容积和体积的概念辨析，需要准确掌握基础公式和概念，避免因概念混淆导致错误。
【难度系数】
0.6
3. 一瓶矿泉水，小强喝了一些，正放时剩下水的高度是10 cm，把瓶盖拧紧倒置，无水部分是圆柱形，高度是9 cm，瓶子内直径是6 cm。这个瓶子的容积是多少？
答案
3. $536.94\ \mathrm{cm}^{3}$
解析
【分析】
要计算瓶子的容积，观察瓶子可知，正放时水的体积加上倒置时无水部分的体积就是瓶子的容积。由于水的部分和无水部分都是圆柱形，且瓶子的内直径相同，所以可以将两者的高度相加，再利用圆柱体积公式计算整体的体积，也就是瓶子的容积。具体步骤：先求出圆柱的底面半径，再计算底面积，最后用底面积乘以水的高度与无水部分高度的和，即可得到瓶子容积。
【解析】
1. 计算圆柱底面半径：
已知瓶子内直径是6 cm，所以半径 $ r = 6÷2 = 3\ \mathrm{cm} $
2. 计算圆柱底面积：
根据圆的面积公式 $ S = π r^2 $，代入数据得：
$ S = 3.14×3^2 = 3.14×9 = 28.26\ \mathrm{cm}^2 $
3. 计算瓶子的总高度（水的高度+无水部分高度）：
$ h_{\mathrm{总}} = 10 + 9 = 19\ \mathrm{cm} $
4. 计算瓶子容积（即圆柱体积）：
根据圆柱体积公式 $ V = S h $，代入数据得：
$ V = 28.26×19 = 536.94\ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$536.94\ \mathrm{cm}^{3}$
【知识点】
圆柱体积计算，不规则容器容积转化
【点评】
本题考查不规则容器容积的求解，核心思路是将不规则容器的容积转化为两个规则圆柱的体积之和，需要学生掌握圆柱体积公式，并具备转化的数学思维，把复杂问题简单化。
【难度系数】
0.6
要计算瓶子的容积，观察瓶子可知，正放时水的体积加上倒置时无水部分的体积就是瓶子的容积。由于水的部分和无水部分都是圆柱形，且瓶子的内直径相同，所以可以将两者的高度相加，再利用圆柱体积公式计算整体的体积，也就是瓶子的容积。具体步骤：先求出圆柱的底面半径，再计算底面积，最后用底面积乘以水的高度与无水部分高度的和，即可得到瓶子容积。
【解析】
1. 计算圆柱底面半径：
已知瓶子内直径是6 cm，所以半径 $ r = 6÷2 = 3\ \mathrm{cm} $
2. 计算圆柱底面积：
根据圆的面积公式 $ S = π r^2 $，代入数据得：
$ S = 3.14×3^2 = 3.14×9 = 28.26\ \mathrm{cm}^2 $
3. 计算瓶子的总高度（水的高度+无水部分高度）：
$ h_{\mathrm{总}} = 10 + 9 = 19\ \mathrm{cm} $
4. 计算瓶子容积（即圆柱体积）：
根据圆柱体积公式 $ V = S h $，代入数据得：
$ V = 28.26×19 = 536.94\ \mathrm{cm}^3 $
【答案】
$536.94\ \mathrm{cm}^{3}$
【知识点】
圆柱体积计算，不规则容器容积转化
【点评】
本题考查不规则容器容积的求解，核心思路是将不规则容器的容积转化为两个规则圆柱的体积之和，需要学生掌握圆柱体积公式，并具备转化的数学思维，把复杂问题简单化。
【难度系数】
0.6
4. 一个圆柱形水槽里面盛有10 cm深的水，水槽的底面积是$225\ \mathrm{cm}^{2}$。将一个棱长是6 cm的正方体铁块放入水中，水面将上升多少厘米？
答案
4. $0.96\ \mathrm{cm}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要明确：正方体铁块放入水中后，水面上升部分的水的体积等于正方体铁块的体积（因为铁块完全浸没在水中）。解题步骤分为两步：第一步计算正方体铁块的体积，第二步利用圆柱体积公式，用铁块体积除以水槽的底面积，得到水面上升的高度。
【解析】
1. 计算正方体铁块的体积：
正方体体积公式为 $ V = a^3 $（$ a $ 为棱长），则铁块体积为：
$ 6×6×6 = 216\ \mathrm{cm}^3 $
2. 计算水面上升的高度：
上升部分水的体积等于铁块体积，而上升部分水可看作一个底面积为水槽底面积的圆柱，根据圆柱体积公式 $ V = S×h $（$ S $ 为底面积，$ h $ 为高），可得水面上升高度 $ h = V÷S $：
$ 216÷225 = 0.96\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ 0.96\ \mathrm{cm} $
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 圆柱体积的应用
3. 排水法求液面高度
【点评】
本题考查排水法在实际问题中的应用，核心是理解“浸没物体的体积等于液面上升部分液体的体积”这一关键关系，需要熟练掌握正方体和圆柱的体积公式，通过等量代换的思想解决问题，培养学生的空间想象能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们需要明确：正方体铁块放入水中后，水面上升部分的水的体积等于正方体铁块的体积（因为铁块完全浸没在水中）。解题步骤分为两步：第一步计算正方体铁块的体积，第二步利用圆柱体积公式，用铁块体积除以水槽的底面积，得到水面上升的高度。
【解析】
1. 计算正方体铁块的体积：
正方体体积公式为 $ V = a^3 $（$ a $ 为棱长），则铁块体积为：
$ 6×6×6 = 216\ \mathrm{cm}^3 $
2. 计算水面上升的高度：
上升部分水的体积等于铁块体积，而上升部分水可看作一个底面积为水槽底面积的圆柱，根据圆柱体积公式 $ V = S×h $（$ S $ 为底面积，$ h $ 为高），可得水面上升高度 $ h = V÷S $：
$ 216÷225 = 0.96\ \mathrm{cm} $
【答案】
$ 0.96\ \mathrm{cm} $
【知识点】
1. 正方体体积计算
2. 圆柱体积的应用
3. 排水法求液面高度
【点评】
本题考查排水法在实际问题中的应用，核心是理解“浸没物体的体积等于液面上升部分液体的体积”这一关键关系，需要熟练掌握正方体和圆柱的体积公式，通过等量代换的思想解决问题，培养学生的空间想象能力和实际应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 把一张长为12.56 dm、宽为6.28 dm的长方形纸片卷成一个圆柱，并把这个圆柱直立在桌面上，它的最大容积是多少（纸片厚度忽略不计）？
答案
5. $78.8768\ \mathrm{dm}^{3}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确用长方形纸片卷圆柱有两种不同的卷法：一种是以长方形的长作为圆柱底面的周长，宽作为圆柱的高；另一种是以长方形的宽作为圆柱底面的周长，长作为圆柱的高。我们需要分别计算这两种情况下圆柱的容积，再比较大小得出最大容积。解题步骤为：先根据底面周长求出底面半径，再利用圆的面积公式计算底面积，最后用底面积乘高得到圆柱容积，最终比较两个容积的大小。
【解析】
圆柱的容积公式为 $ V = π r^2 h $（其中 $ r $ 为底面半径，$ h $ 为高），圆的周长公式为 $ C = 2π r $，可得 $ r = \frac{C}{2π} $。
情况一：以长方形的长为底面周长，宽为高
已知底面周长 $ C = 12.56\ \mathrm{dm} $，高 $ h = 6.28\ \mathrm{dm} $
1. 求底面半径：
$ r = \frac{12.56}{2 × 3.14} = 2\ \mathrm{dm} $
2. 计算底面积：
$ S = π r^2 = 3.14 × 2^2 = 12.56\ \mathrm{dm}^2 $
3. 计算容积：
$ V_1 = S × h = 12.56 × 6.28 = 78.8768\ \mathrm{dm}^3 $
情况二：以长方形的宽为底面周长，长为高
已知底面周长 $ C = 6.28\ \mathrm{dm} $，高 $ h = 12.56\ \mathrm{dm} $
1. 求底面半径：
$ r = \frac{6.28}{2 × 3.14} = 1\ \mathrm{dm} $
2. 计算底面积：
$ S = π r^2 = 3.14 × 1^2 = 3.14\ \mathrm{dm}^2 $
3. 计算容积：
$ V_2 = S × h = 3.14 × 12.56 = 39.4384\ \mathrm{dm}^3 $
比较两种情况的容积：$ 78.8768 ＞ 39.4384 $，所以最大容积为 $ 78.8768\ \mathrm{dm}^3 $。
【答案】
$78.8768\ \mathrm{dm}^{3}$
【知识点】
圆柱容积计算、圆的周长公式
【点评】
本题考查圆柱容积的实际应用，需要考虑长方形卷圆柱的两种不同方式，培养分类讨论的思维。解题关键是熟练掌握圆的周长公式和圆柱容积公式，准确计算两种情况下的容积并比较大小。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先明确用长方形纸片卷圆柱有两种不同的卷法：一种是以长方形的长作为圆柱底面的周长，宽作为圆柱的高；另一种是以长方形的宽作为圆柱底面的周长，长作为圆柱的高。我们需要分别计算这两种情况下圆柱的容积，再比较大小得出最大容积。解题步骤为：先根据底面周长求出底面半径，再利用圆的面积公式计算底面积，最后用底面积乘高得到圆柱容积，最终比较两个容积的大小。
【解析】
圆柱的容积公式为 $ V = π r^2 h $（其中 $ r $ 为底面半径，$ h $ 为高），圆的周长公式为 $ C = 2π r $，可得 $ r = \frac{C}{2π} $。
情况一：以长方形的长为底面周长，宽为高
已知底面周长 $ C = 12.56\ \mathrm{dm} $，高 $ h = 6.28\ \mathrm{dm} $
1. 求底面半径：
$ r = \frac{12.56}{2 × 3.14} = 2\ \mathrm{dm} $
2. 计算底面积：
$ S = π r^2 = 3.14 × 2^2 = 12.56\ \mathrm{dm}^2 $
3. 计算容积：
$ V_1 = S × h = 12.56 × 6.28 = 78.8768\ \mathrm{dm}^3 $
情况二：以长方形的宽为底面周长，长为高
已知底面周长 $ C = 6.28\ \mathrm{dm} $，高 $ h = 12.56\ \mathrm{dm} $
1. 求底面半径：
$ r = \frac{6.28}{2 × 3.14} = 1\ \mathrm{dm} $
2. 计算底面积：
$ S = π r^2 = 3.14 × 1^2 = 3.14\ \mathrm{dm}^2 $
3. 计算容积：
$ V_2 = S × h = 3.14 × 12.56 = 39.4384\ \mathrm{dm}^3 $
比较两种情况的容积：$ 78.8768 ＞ 39.4384 $，所以最大容积为 $ 78.8768\ \mathrm{dm}^3 $。
【答案】
$78.8768\ \mathrm{dm}^{3}$
【知识点】
圆柱容积计算、圆的周长公式
【点评】
本题考查圆柱容积的实际应用，需要考虑长方形卷圆柱的两种不同方式，培养分类讨论的思维。解题关键是熟练掌握圆的周长公式和圆柱容积公式，准确计算两种情况下的容积并比较大小。
【难度系数】
0.6
