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13. （12分）如图，已知直线$l$和直线外三点$A$，$B$，$C$，按下列要求尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）。
（1）作射线$CB$；
（2）在射线$CB$上求作点$D$，使得$BD = 2BC$；
（3）在直线$l$上确定点$E$，使得$AE + CE$最小。
（1）作射线$CB$；
（2）在射线$CB$上求作点$D$，使得$BD = 2BC$；
（3）在直线$l$上确定点$E$，使得$AE + CE$最小。
答案
13.解:如图。(1)射线CB为所求。(2)点D为所求。
(3)点E为所求。
解析
【分析】
我们按照题目三个要求分步梳理思路：1. 作射线CB：射线的端点是C，向经过点B的方向无限延伸，因此从C出发，过点B向外延伸画线即可得到射线CB。2. 作点D满足BD=2BC：射线CB的方向是从C出发经过B向外延伸，我们只需要以B为起点，沿着射线CB上远离C的方向，连续截取两段长度等于BC的线段，最终得到的终点就是点D，此时BD的长度就等于2BC。3. 找直线l上的点E让AE+CE最小：根据两点之间线段最短的基本公理，直接连接点A和点C，线段AC和直线l的交点就是所求的点E，此时AE+CE=AC，是所有可能路径里的最小值。
【解析】
1. 以点C为端点，作经过点B并向B侧无限延伸的线，得到射线CB，即为第一问所求。
2. 以点B为圆心，BC的长度为半径画弧，在射线CB上、点B远离C的一侧得到第一个交点，再以该交点为圆心，BC长为半径继续画弧，与射线CB的交点即为点D，此时BD=2BC，满足第二问要求。
3. 连接A、C两点，线段AC与直线l的交点即为点E，此时AE+CE最小，符合第三问要求，全程保留作图圆弧痕迹即可。
【答案】
【知识点】
射线定义，尺规作线段，两点之间线段最短
【点评】
本题是基础几何尺规作图题，综合考察了射线的基本画法、倍长线段的尺规操作，以及两点连线最短的最短路径原理，属于几何入门的常规题型，需要学生牢记基本作图规则，作图时保留对应的圆弧痕迹即可。
【难度系数】
0.7
我们按照题目三个要求分步梳理思路：1. 作射线CB：射线的端点是C，向经过点B的方向无限延伸，因此从C出发，过点B向外延伸画线即可得到射线CB。2. 作点D满足BD=2BC：射线CB的方向是从C出发经过B向外延伸，我们只需要以B为起点，沿着射线CB上远离C的方向，连续截取两段长度等于BC的线段，最终得到的终点就是点D，此时BD的长度就等于2BC。3. 找直线l上的点E让AE+CE最小：根据两点之间线段最短的基本公理，直接连接点A和点C，线段AC和直线l的交点就是所求的点E，此时AE+CE=AC，是所有可能路径里的最小值。
【解析】
1. 以点C为端点，作经过点B并向B侧无限延伸的线，得到射线CB，即为第一问所求。
2. 以点B为圆心，BC的长度为半径画弧，在射线CB上、点B远离C的一侧得到第一个交点，再以该交点为圆心，BC长为半径继续画弧，与射线CB的交点即为点D，此时BD=2BC，满足第二问要求。
3. 连接A、C两点，线段AC与直线l的交点即为点E，此时AE+CE最小，符合第三问要求，全程保留作图圆弧痕迹即可。
【答案】
【知识点】
射线定义，尺规作线段，两点之间线段最短
【点评】
本题是基础几何尺规作图题，综合考察了射线的基本画法、倍长线段的尺规操作，以及两点连线最短的最短路径原理，属于几何入门的常规题型，需要学生牢记基本作图规则，作图时保留对应的圆弧痕迹即可。
【难度系数】
0.7
14. （12分）如图，已知线段$AB = 23$，$BC = 15$，点$M$是$AC$的中点。
（1）求线段$AM$的长；
（2）在$CB$上取一点$N$，使得$CN:NB = 2:3$，求线段$MN$的长。
（1）求线段$AM$的长；
（2）在$CB$上取一点$N$，使得$CN:NB = 2:3$，求线段$MN$的长。
答案
14.解:(1)线段AM的长是4。
(2)线段MN的长是10。
(2)线段MN的长是10。
解析
【分析】
这道题是线段长度的常规计算问题，解题思路可以分两步走：第一问，先观察线段AB的组成，AB由AC和BC两段拼接而成，已知AB和BC的长度，先通过减法求出AC的总长度，再利用M是AC中点的性质，中点会把线段分成相等的两部分，因此AM长度是AC的一半，即可算出AM的长。第二问，已知CN和NB的比例关系，且CN+NB=BC，先按比例分配求出CN的长度，再观察MN的组成，MN由MC和CN两段拼接而成，MC的长度和第一问求出的AM相等，将两段长度相加就能得到MN的总长度。
【解析】
(1) 已知线段AB=23，BC=15，根据线段的和差关系可得：
$AC = AB - BC = 23 - 15 = 8$
因为点M是AC的中点，根据线段中点的定义，中点将线段分为等长的两部分：
$AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 8 = 4$
(2) 已知$CN:NB = 2:3$，且$CN + NB = BC = 15$，总份数为$2+3=5$，每份对应的长度为$15÷5=3$，因此：
$CN = 2×3 = 6$
又因为M是AC的中点，所以$MC = AM = 4$，根据线段和差关系：
$MN = MC + CN = 4 + 6 = 10$
【答案】
(1) 线段AM的长为4；(2) 线段MN的长为10
【知识点】
线段的和差，线段中点，比例计算
【点评】
本题是线段章节的基础常规考题，核心是理清各线段之间的拼接和差关系，结合中点性质、比例分配规则即可完成计算，难度较低，主要考察学生对线段基本性质的掌握程度，解题时注意不要混淆各小段的位置关系即可。
【难度系数】
0.8
这道题是线段长度的常规计算问题，解题思路可以分两步走：第一问，先观察线段AB的组成，AB由AC和BC两段拼接而成，已知AB和BC的长度，先通过减法求出AC的总长度，再利用M是AC中点的性质，中点会把线段分成相等的两部分，因此AM长度是AC的一半，即可算出AM的长。第二问，已知CN和NB的比例关系，且CN+NB=BC，先按比例分配求出CN的长度，再观察MN的组成，MN由MC和CN两段拼接而成，MC的长度和第一问求出的AM相等，将两段长度相加就能得到MN的总长度。
【解析】
(1) 已知线段AB=23，BC=15，根据线段的和差关系可得：
$AC = AB - BC = 23 - 15 = 8$
因为点M是AC的中点，根据线段中点的定义，中点将线段分为等长的两部分：
$AM = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} × 8 = 4$
(2) 已知$CN:NB = 2:3$，且$CN + NB = BC = 15$，总份数为$2+3=5$，每份对应的长度为$15÷5=3$，因此：
$CN = 2×3 = 6$
又因为M是AC的中点，所以$MC = AM = 4$，根据线段和差关系：
$MN = MC + CN = 4 + 6 = 10$
【答案】
(1) 线段AM的长为4；(2) 线段MN的长为10
【知识点】
线段的和差，线段中点，比例计算
【点评】
本题是线段章节的基础常规考题，核心是理清各线段之间的拼接和差关系，结合中点性质、比例分配规则即可完成计算，难度较低，主要考察学生对线段基本性质的掌握程度，解题时注意不要混淆各小段的位置关系即可。
【难度系数】
0.8
15. (14分)利用折纸可以作出角平分线。
(1)如图1，若$∠ AOB = 58^{\circ}$，则$∠ BOC =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
(2)如图2，折叠长方形纸片，$OC$，$OD$均为折痕。折叠后，点$A$落在点$A'$处，点$B$落在点$B'$处，且点$B'$在$OA'$上。
①若$∠ AOC = 30^{\circ}$，求$∠ COD$的度数；
②判断$∠ AOC$与$∠ BOD$的关系，并说明理由。
(1)如图1，若$∠ AOB = 58^{\circ}$，则$∠ BOC =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
(2)如图2，折叠长方形纸片，$OC$，$OD$均为折痕。折叠后，点$A$落在点$A'$处，点$B$落在点$B'$处，且点$B'$在$OA'$上。
①若$∠ AOC = 30^{\circ}$，求$∠ COD$的度数；
②判断$∠ AOC$与$∠ BOD$的关系，并说明理由。
答案
15.解:(1)29
(2)①∠COD的度数为90°。
②∠AOC+∠BOD=90°。理由:
由折叠知,∠AOC=∠A'OC,所以∠AOA'=2∠AOC。由折叠知,∠BOD=∠B'OD,所以∠BOB'=2∠BOD。
因为点B'落在OA'上,
所以∠AOA'+∠BOB'=180°。
所以2∠AOC+2∠BOD=180°。
所以∠AOC+∠BOD=90°。
(2)①∠COD的度数为90°。
②∠AOC+∠BOD=90°。理由:
由折叠知,∠AOC=∠A'OC,所以∠AOA'=2∠AOC。由折叠知,∠BOD=∠B'OD,所以∠BOB'=2∠BOD。
因为点B'落在OA'上,
所以∠AOA'+∠BOB'=180°。
所以2∠AOC+2∠BOD=180°。
所以∠AOC+∠BOD=90°。
解析
【分析】
这道题围绕折纸操作的几何性质展开，解题的核心思路是利用折叠前后对应角相等的特点推导角的关系：
1. 第(1)问，折纸作角平分线的本质是折痕平分原角，因此直接用已知的∠AOB的度数除以2就能得到∠BOC的度数。
2. 第(2)问①，先根据折叠性质得到∠AOC和∠A'OC相等，算出∠AOA'的度数，再利用平角180°得到剩余的∠BOA'的度数，再结合OD是折痕、平分∠BOA'的性质，把∠COD拆成∠A'OC和∠A'OD相加，就能算出结果。
3. 第(2)问②，从折叠的对应角相等出发，把∠AOA'和∠BOB'分别表示为2倍的∠AOC和2倍的∠BOD，结合B'在OA'上、两个角相加为平角180°的条件，化简后就能得到两个角的数量关系。
【解析】
(1) 由折纸作角平分线的性质可知，OC平分∠AOB，
因此$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB$，代入$∠ AOB=58°$，得$∠ BOC=\frac{1}{2}×58°=29°$。
(2) ① 由折叠的性质可得：$∠ AOC = ∠ A'OC = 30°$，
因此$∠ AOA' = ∠ AOC + ∠ A'OC = 60°$。
因为A、O、B三点共线，$∠ AOB=180°$，
所以$∠ BOA' = 180° - ∠ AOA' = 180° - 60° = 120°$。
又由折叠性质得：$∠ BOD = ∠ B'OD$，即OD平分$∠ BOA'$，
因此$∠ A'OD = \frac{1}{2}∠ BOA' = 60°$。
所以$∠ COD = ∠ A'OC + ∠ A'OD = 30° + 60° = 90°$。
② $∠ AOC$与$∠ BOD$的关系为：$∠ AOC + ∠ BOD = 90°$，理由如下：
由折叠性质可知：$∠ AOC = ∠ A'OC$，因此$∠ AOA' = 2∠ AOC$；
由折叠性质可知：$∠ BOD = ∠ B'OD$，因此$∠ BOB' = 2∠ BOD$。
因为点$B'$在$OA'$上，所以$∠ AOA' + ∠ BOB' = ∠ AOB = 180°$，
代入得：$2∠ AOC + 2∠ BOD = 180°$，两边同时除以2，得$∠ AOC + ∠ BOD = 90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{29}$；(2) ① $∠ COD$的度数为$\boldsymbol{90°}$；② $\boldsymbol{∠ AOC + ∠ BOD = 90°}$
【知识点】
折叠的性质，角平分线定义，平角的性质
【点评】
本题是几何操作类基础题型，结合折纸的生活化场景考察角的和差计算，核心是让学生掌握折叠前后对应角完全相等的特点，学会把未知角转化为已知角的倍数关系，整体思路清晰，能帮助学生建立几何操作和角的性质之间的关联。
【难度系数】
0.7
这道题围绕折纸操作的几何性质展开，解题的核心思路是利用折叠前后对应角相等的特点推导角的关系：
1. 第(1)问，折纸作角平分线的本质是折痕平分原角，因此直接用已知的∠AOB的度数除以2就能得到∠BOC的度数。
2. 第(2)问①，先根据折叠性质得到∠AOC和∠A'OC相等，算出∠AOA'的度数，再利用平角180°得到剩余的∠BOA'的度数，再结合OD是折痕、平分∠BOA'的性质，把∠COD拆成∠A'OC和∠A'OD相加，就能算出结果。
3. 第(2)问②，从折叠的对应角相等出发，把∠AOA'和∠BOB'分别表示为2倍的∠AOC和2倍的∠BOD，结合B'在OA'上、两个角相加为平角180°的条件，化简后就能得到两个角的数量关系。
【解析】
(1) 由折纸作角平分线的性质可知，OC平分∠AOB，
因此$∠ BOC = \frac{1}{2}∠ AOB$，代入$∠ AOB=58°$，得$∠ BOC=\frac{1}{2}×58°=29°$。
(2) ① 由折叠的性质可得：$∠ AOC = ∠ A'OC = 30°$，
因此$∠ AOA' = ∠ AOC + ∠ A'OC = 60°$。
因为A、O、B三点共线，$∠ AOB=180°$，
所以$∠ BOA' = 180° - ∠ AOA' = 180° - 60° = 120°$。
又由折叠性质得：$∠ BOD = ∠ B'OD$，即OD平分$∠ BOA'$，
因此$∠ A'OD = \frac{1}{2}∠ BOA' = 60°$。
所以$∠ COD = ∠ A'OC + ∠ A'OD = 30° + 60° = 90°$。
② $∠ AOC$与$∠ BOD$的关系为：$∠ AOC + ∠ BOD = 90°$，理由如下：
由折叠性质可知：$∠ AOC = ∠ A'OC$，因此$∠ AOA' = 2∠ AOC$；
由折叠性质可知：$∠ BOD = ∠ B'OD$，因此$∠ BOB' = 2∠ BOD$。
因为点$B'$在$OA'$上，所以$∠ AOA' + ∠ BOB' = ∠ AOB = 180°$，
代入得：$2∠ AOC + 2∠ BOD = 180°$，两边同时除以2，得$∠ AOC + ∠ BOD = 90°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{29}$；(2) ① $∠ COD$的度数为$\boldsymbol{90°}$；② $\boldsymbol{∠ AOC + ∠ BOD = 90°}$
【知识点】
折叠的性质，角平分线定义，平角的性质
【点评】
本题是几何操作类基础题型，结合折纸的生活化场景考察角的和差计算，核心是让学生掌握折叠前后对应角完全相等的特点，学会把未知角转化为已知角的倍数关系，整体思路清晰，能帮助学生建立几何操作和角的性质之间的关联。
【难度系数】
0.7
