登录
12. 已知关于 $ x $，$ y $ 的方程组 $\begin{cases} x - y = a + 3, \\ 2x + y = 5a \end{cases}$ 的解满足 $ x＞y $，且 $ y $ 为负数，求符合条件的 $ a $ 的所有整数值的和。
答案
12. 解: 解方程组$\begin{cases} x-y=a+3, \\ 2x+y=5a, \end{cases}$得$\begin{cases} x=2a+1, \\ y=a-2. \end{cases}$由题意知$\begin{cases} 2a+1＞a-2, \\ a-2＜0, \end{cases}$解得$-3＜a＜2$, 所以$a$的所有整数值为$-2,-1,0,1$, 因此$a$的所有整数值的和为$-2$.
解析
【分析】
这是一道二元一次方程组与一元一次不等式组结合的综合题，解题思路可分为三步：第一步，把a当作常数，解关于x、y的二元一次方程组，得到用含a的代数式表示的x、y；第二步，结合题目给出的$x＞y$、$y$为负数两个条件，列出关于a的不等式组，解出a的取值范围；第三步，在a的取值范围内找出所有整数，计算这些整数的和即可得到最终结果。
【解析】
解：解方程组$\begin{cases} x - y = a + 3① \\ 2x + y = 5a② \end{cases}$
①+②得：$3x=6a+3$，解得$x=2a+1$
将$x=2a+1$代入①得：$2a+1 - y = a + 3$，解得$y=a-2$
根据题意列不等式组：$\begin{cases} 2a+1＞a-2 \\ a-2＜0 \end{cases}$
解第一个不等式：移项得$a＞-3$
解第二个不等式：移项得$a＜2$
因此不等式组的解集为$-3＜a＜2$
符合条件的a的整数值为-2、-1、0、1
整数值的和为：$-2+(-1)+0+1=-2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
二元一次方程组求解，一元一次不等式组求解，整数解计算
【点评】
本题侧重考察方程与不等式的综合应用能力，解题关键是先用参数表示出方程组的解，再结合限制条件建立不等式组确定参数范围，最终筛选符合要求的整数计算结果，能有效检验学生的运算能力和逻辑思维。
【难度系数】
0.7
这是一道二元一次方程组与一元一次不等式组结合的综合题，解题思路可分为三步：第一步，把a当作常数，解关于x、y的二元一次方程组，得到用含a的代数式表示的x、y；第二步，结合题目给出的$x＞y$、$y$为负数两个条件，列出关于a的不等式组，解出a的取值范围；第三步，在a的取值范围内找出所有整数，计算这些整数的和即可得到最终结果。
【解析】
解：解方程组$\begin{cases} x - y = a + 3① \\ 2x + y = 5a② \end{cases}$
①+②得：$3x=6a+3$，解得$x=2a+1$
将$x=2a+1$代入①得：$2a+1 - y = a + 3$，解得$y=a-2$
根据题意列不等式组：$\begin{cases} 2a+1＞a-2 \\ a-2＜0 \end{cases}$
解第一个不等式：移项得$a＞-3$
解第二个不等式：移项得$a＜2$
因此不等式组的解集为$-3＜a＜2$
符合条件的a的整数值为-2、-1、0、1
整数值的和为：$-2+(-1)+0+1=-2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
二元一次方程组求解，一元一次不等式组求解，整数解计算
【点评】
本题侧重考察方程与不等式的综合应用能力，解题关键是先用参数表示出方程组的解，再结合限制条件建立不等式组确定参数范围，最终筛选符合要求的整数计算结果，能有效检验学生的运算能力和逻辑思维。
【难度系数】
0.7
13. 某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗的数量比甲种树苗数量的2倍少40棵.
(1)若购买两种树苗的总金额为9 000元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？
(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵(两种都买)，总费用不超过230元，求可能的购买方案.
(1)若购买两种树苗的总金额为9 000元，则购买甲、乙两种树苗各多少棵？
(2)为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵(两种都买)，总费用不超过230元，求可能的购买方案.
答案
13.(1)购买甲种树苗140棵, 乙种树苗240棵.
(2)有三种购买方案: 购买甲种树苗1棵, 乙种树苗9棵; 购买甲种树苗2棵, 乙种树苗8棵; 购买甲种树苗3棵, 乙种树苗7棵.
(2)有三种购买方案: 购买甲种树苗1棵, 乙种树苗9棵; 购买甲种树苗2棵, 乙种树苗8棵; 购买甲种树苗3棵, 乙种树苗7棵.
解析
【分析】
(1) 本题是一元一次方程的实际应用，首先抓住两个关键数量关系：①乙种树苗数量=2×甲种树苗数量-40；②总购买金额=甲种树苗总费用+乙种树苗总费用。我们可以设甲种树苗的数量为未知数，用含未知数的式子表示乙种树苗数量，再代入总金额的等量关系列方程求解即可。
(2) 第二问是一元一次不等式的方案设计问题，已知追加购买的总数量为10棵，总费用不超过230元，且两种树苗都要买。我们设追加购买的甲种树苗数量为未知数，用总数量减去甲的数量表示乙的数量，结合总费用的不等关系列不等式，再结合树苗数量为正整数、两种都买的限制条件，找出符合要求的整数解即可得到购买方案。
【解析】
(1) 设购买甲种树苗$ x $棵，则购买乙种树苗$ (2x-40) $棵。
根据总金额为9000元列方程：
$ 30x + 20(2x - 40) = 9000 $
展开得：$ 30x + 40x - 800 = 9000 $
合并同类项得：$ 70x = 9800 $
解得：$ x = 140 $
则乙种树苗数量为：$ 2×140 - 40 = 240 $（棵）
(2) 设再购买甲种树苗$ m $棵，则购买乙种树苗$ (10 - m) $棵，由题意可知$ m $为正整数，且$ 10 - m ＞ 0 $，即$ 0 ＜ m ＜ 10 $。
根据总费用不超过230元列不等式：
$ 30m + 20(10 - m) ≤ 230 $
展开得：$ 30m + 200 - 20m ≤ 230 $
合并同类项得：$ 10m ≤ 30 $
解得：$ m ≤ 3 $
结合$ 0 ＜ m ＜ 10 $且$ m $为正整数，可得$ m $的取值为1、2、3，对应购买方案如下：
① 当$ m=1 $时，购买甲种树苗1棵，乙种树苗$ 10-1=9 $棵；
② 当$ m=2 $时，购买甲种树苗2棵，乙种树苗$ 10-2=8 $棵；
③ 当$ m=3 $时，购买甲种树苗3棵，乙种树苗$ 10-3=7 $棵。
【答案】
(1)购买甲种树苗140棵, 乙种树苗240棵。
(2)有三种购买方案: 购买甲种树苗1棵, 乙种树苗9棵; 购买甲种树苗2棵, 乙种树苗8棵; 购买甲种树苗3棵, 乙种树苗7棵。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题属于生活中常见的采购类实际问题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，结合实际问题中未知数的取值限制（如数量为正整数）求解，需要注意审题时不要遗漏“两种都买”这类限制条件。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是一元一次方程的实际应用，首先抓住两个关键数量关系：①乙种树苗数量=2×甲种树苗数量-40；②总购买金额=甲种树苗总费用+乙种树苗总费用。我们可以设甲种树苗的数量为未知数，用含未知数的式子表示乙种树苗数量，再代入总金额的等量关系列方程求解即可。
(2) 第二问是一元一次不等式的方案设计问题，已知追加购买的总数量为10棵，总费用不超过230元，且两种树苗都要买。我们设追加购买的甲种树苗数量为未知数，用总数量减去甲的数量表示乙的数量，结合总费用的不等关系列不等式，再结合树苗数量为正整数、两种都买的限制条件，找出符合要求的整数解即可得到购买方案。
【解析】
(1) 设购买甲种树苗$ x $棵，则购买乙种树苗$ (2x-40) $棵。
根据总金额为9000元列方程：
$ 30x + 20(2x - 40) = 9000 $
展开得：$ 30x + 40x - 800 = 9000 $
合并同类项得：$ 70x = 9800 $
解得：$ x = 140 $
则乙种树苗数量为：$ 2×140 - 40 = 240 $（棵）
(2) 设再购买甲种树苗$ m $棵，则购买乙种树苗$ (10 - m) $棵，由题意可知$ m $为正整数，且$ 10 - m ＞ 0 $，即$ 0 ＜ m ＜ 10 $。
根据总费用不超过230元列不等式：
$ 30m + 20(10 - m) ≤ 230 $
展开得：$ 30m + 200 - 20m ≤ 230 $
合并同类项得：$ 10m ≤ 30 $
解得：$ m ≤ 3 $
结合$ 0 ＜ m ＜ 10 $且$ m $为正整数，可得$ m $的取值为1、2、3，对应购买方案如下：
① 当$ m=1 $时，购买甲种树苗1棵，乙种树苗$ 10-1=9 $棵；
② 当$ m=2 $时，购买甲种树苗2棵，乙种树苗$ 10-2=8 $棵；
③ 当$ m=3 $时，购买甲种树苗3棵，乙种树苗$ 10-3=7 $棵。
【答案】
(1)购买甲种树苗140棵, 乙种树苗240棵。
(2)有三种购买方案: 购买甲种树苗1棵, 乙种树苗9棵; 购买甲种树苗2棵, 乙种树苗8棵; 购买甲种树苗3棵, 乙种树苗7棵。
【知识点】
一元一次方程应用，一元一次不等式应用，方案设计
【点评】
本题属于生活中常见的采购类实际问题，解题核心是准确梳理题干中的等量关系和不等关系，结合实际问题中未知数的取值限制（如数量为正整数）求解，需要注意审题时不要遗漏“两种都买”这类限制条件。
【难度系数】
0.7
14. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的友好方程. 例如，方程$x - 3 = 0$的解为$x = 3$，不等式组$\begin{cases} x - 2 ＞ 0, \\ x ＜ 5 \end{cases}$的解集为$2 ＜ x ＜ 5$，因为$2 ＜ 3 ＜ 5$，所以称方程$x - 3 = 0$为不等式组$\begin{cases} x - 2 ＞ 0, \\ x ＜ 5 \end{cases}$的友好方程.
(1) 在方程①$4x - 3 = 0$，②$\frac{2}{5}x + 1 = 0$，③$x - (3x + 1) = -5$中，不等式组$\begin{cases} 2x -5 ＞ 3x -8, \\ -4x +3 ＜ x -4 \end{cases}$的友好方程是________（填序号）；
(2) 若不等式组$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{1}{3} ＜ \frac{1}{4}, \\ 1 + 2x ＞ -6x +5 \end{cases}$的一个友好方程的解是整数，则这个友好方程可以是________（写出一个即可）；
(3) 若方程$2x -1 = x +2$，$3 + x = 2(x + \frac{1}{2})$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases} x ＜ 2x -k, \\ \frac{x}{2} -1 ≤ k \end{cases}$的友好方程，求$k$的取值范围.
(1) 在方程①$4x - 3 = 0$，②$\frac{2}{5}x + 1 = 0$，③$x - (3x + 1) = -5$中，不等式组$\begin{cases} 2x -5 ＞ 3x -8, \\ -4x +3 ＜ x -4 \end{cases}$的友好方程是________（填序号）；
(2) 若不等式组$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{1}{3} ＜ \frac{1}{4}, \\ 1 + 2x ＞ -6x +5 \end{cases}$的一个友好方程的解是整数，则这个友好方程可以是________（写出一个即可）；
(3) 若方程$2x -1 = x +2$，$3 + x = 2(x + \frac{1}{2})$都是关于$x$的不等式组$\begin{cases} x ＜ 2x -k, \\ \frac{x}{2} -1 ≤ k \end{cases}$的友好方程，求$k$的取值范围.
答案
14.(1)③ (2)$x-1=0$(答案不唯一, 只要解为$x=1$即可) (3)$\frac{1}{2}≤k＜2$
解析
【分析】
本题是新定义“友好方程”的题型，解题核心是明确：判断一个方程是不是不等式组的友好方程，只需先分别求出不等式组的解集、方程的解，再验证方程的解是否在不等式组的解集范围内即可。各小问思路如下：
(1) 先求解给出的不等式组得到解集，再分别解3个一元一次方程，判断哪个方程的解在不等式组的解集内，即为友好方程；
(2) 先求解不等式组得到解集，找出解集中的整数解，写出任意一个解为该整数的一元一次方程即可；
(3) 先求解两个给定的一元一次方程得到它们的解，再求解含参数k的不等式组得到解集，根据两个方程的解都属于解集，列出关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 先解不等式组$\begin{cases} 2x -5 ＞ 3x -8 \quad ① \\ -4x +3 ＜ x -4 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-3x ＞ -8+5$，即$-x ＞ -3$，系数化为1得$x ＜ 3$；
解不等式②：移项得$-4x -x ＜ -4-3$，即$-5x ＜ -7$，系数化为1得$x ＞ \frac{7}{5}$；
因此不等式组的解集为$\frac{7}{5} ＜ x ＜ 3$。
分别解3个方程：
①解方程$4x - 3 = 0$，得$x = \frac{3}{4}$，$\frac{3}{4} ＜ \frac{7}{5}$，不在解集内，不是友好方程；
②解方程$\frac{2}{5}x + 1 = 0$，得$x = -\frac{5}{2}$，$-\frac{5}{2} ＜ \frac{7}{5}$，不在解集内，不是友好方程；
③解方程$x - (3x + 1) = -5$，去括号得$x - 3x -1 = -5$，移项合并得$-2x = -4$，解得$x=2$，$\frac{7}{5} ＜ 2 ＜ 3$，在解集内，是友好方程。
(2) 解不等式组$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{1}{3} ＜ \frac{1}{4} \quad ① \\ 1 + 2x ＞ -6x +5 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：两边同乘12消分母得$6x - 4 ＜ 3$，移项得$6x ＜ 7$，解得$x ＜ \frac{7}{6}$；
解不等式②：移项得$2x + 6x ＞ 5 - 1$，合并得$8x ＞ 4$，解得$x ＞ \frac{1}{2}$；
因此不等式组的解集为$\frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{7}{6}$，其中的整数解为$x=1$，写解为$x=1$的一元一次方程即可。
(3) 先解两个给定的一元一次方程：
解方程$2x -1 = x +2$，移项得$x = 3$；
解方程$3 + x = 2(x + \frac{1}{2})$，去括号得$3 + x = 2x +1$，移项得$x = 2$。
再解关于x的不等式组$\begin{cases} x ＜ 2x -k \quad ① \\ \frac{x}{2} -1 ≤ k \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x - 2x ＜ -k$，即$-x ＜ -k$，解得$x ＞ k$；
解不等式②：移项得$\frac{x}{2} ≤ k + 1$，解得$x ≤ 2k + 2$；
因此不等式组的解集为$k ＜ x ≤ 2k + 2$。
根据题意，$x=2$和$x=3$都是该不等式组的解，因此需满足：
$\begin{cases} k ＜ 2 \\ 3 ≤ 2k + 2 \end{cases}$
解$3 ≤ 2k + 2$得$2k ≥ 1$，即$k ≥ \frac{1}{2}$，结合$k ＜ 2$，可得k的取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{③}$
(2) $\boldsymbol{x-1=0}$（答案不唯一，只要解为$x=1$即可）
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}≤k＜2}$
【知识点】
1. 一元一次方程求解
2. 一元一次不等式组求解
3. 新定义问题应用
【点评】
本题以新定义为载体，考查一元一次方程和一元一次不等式组的基础解法，解题关键是将新定义转化为已学的“判断解是否属于解集”的问题，培养转化思维和运算能力，第三小问含参数的解集范围判断，需要注意边界值的取舍。
【难度系数】
0.6
本题是新定义“友好方程”的题型，解题核心是明确：判断一个方程是不是不等式组的友好方程，只需先分别求出不等式组的解集、方程的解，再验证方程的解是否在不等式组的解集范围内即可。各小问思路如下：
(1) 先求解给出的不等式组得到解集，再分别解3个一元一次方程，判断哪个方程的解在不等式组的解集内，即为友好方程；
(2) 先求解不等式组得到解集，找出解集中的整数解，写出任意一个解为该整数的一元一次方程即可；
(3) 先求解两个给定的一元一次方程得到它们的解，再求解含参数k的不等式组得到解集，根据两个方程的解都属于解集，列出关于k的不等式组，求解即可得到k的取值范围。
【解析】
(1) 先解不等式组$\begin{cases} 2x -5 ＞ 3x -8 \quad ① \\ -4x +3 ＜ x -4 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$2x-3x ＞ -8+5$，即$-x ＞ -3$，系数化为1得$x ＜ 3$；
解不等式②：移项得$-4x -x ＜ -4-3$，即$-5x ＜ -7$，系数化为1得$x ＞ \frac{7}{5}$；
因此不等式组的解集为$\frac{7}{5} ＜ x ＜ 3$。
分别解3个方程：
①解方程$4x - 3 = 0$，得$x = \frac{3}{4}$，$\frac{3}{4} ＜ \frac{7}{5}$，不在解集内，不是友好方程；
②解方程$\frac{2}{5}x + 1 = 0$，得$x = -\frac{5}{2}$，$-\frac{5}{2} ＜ \frac{7}{5}$，不在解集内，不是友好方程；
③解方程$x - (3x + 1) = -5$，去括号得$x - 3x -1 = -5$，移项合并得$-2x = -4$，解得$x=2$，$\frac{7}{5} ＜ 2 ＜ 3$，在解集内，是友好方程。
(2) 解不等式组$\begin{cases} \frac{x}{2} - \frac{1}{3} ＜ \frac{1}{4} \quad ① \\ 1 + 2x ＞ -6x +5 \quad ② \end{cases}$
解不等式①：两边同乘12消分母得$6x - 4 ＜ 3$，移项得$6x ＜ 7$，解得$x ＜ \frac{7}{6}$；
解不等式②：移项得$2x + 6x ＞ 5 - 1$，合并得$8x ＞ 4$，解得$x ＞ \frac{1}{2}$；
因此不等式组的解集为$\frac{1}{2} ＜ x ＜ \frac{7}{6}$，其中的整数解为$x=1$，写解为$x=1$的一元一次方程即可。
(3) 先解两个给定的一元一次方程：
解方程$2x -1 = x +2$，移项得$x = 3$；
解方程$3 + x = 2(x + \frac{1}{2})$，去括号得$3 + x = 2x +1$，移项得$x = 2$。
再解关于x的不等式组$\begin{cases} x ＜ 2x -k \quad ① \\ \frac{x}{2} -1 ≤ k \quad ② \end{cases}$
解不等式①：移项得$x - 2x ＜ -k$，即$-x ＜ -k$，解得$x ＞ k$；
解不等式②：移项得$\frac{x}{2} ≤ k + 1$，解得$x ≤ 2k + 2$；
因此不等式组的解集为$k ＜ x ≤ 2k + 2$。
根据题意，$x=2$和$x=3$都是该不等式组的解，因此需满足：
$\begin{cases} k ＜ 2 \\ 3 ≤ 2k + 2 \end{cases}$
解$3 ≤ 2k + 2$得$2k ≥ 1$，即$k ≥ \frac{1}{2}$，结合$k ＜ 2$，可得k的取值范围。
【答案】
(1) $\boldsymbol{③}$
(2) $\boldsymbol{x-1=0}$（答案不唯一，只要解为$x=1$即可）
(3) $\boldsymbol{\frac{1}{2}≤k＜2}$
【知识点】
1. 一元一次方程求解
2. 一元一次不等式组求解
3. 新定义问题应用
【点评】
本题以新定义为载体，考查一元一次方程和一元一次不等式组的基础解法，解题关键是将新定义转化为已学的“判断解是否属于解集”的问题，培养转化思维和运算能力，第三小问含参数的解集范围判断，需要注意边界值的取舍。
【难度系数】
0.6
