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10 数形结合思想 已知$a,b$是有理数，且$|a|=-a$，$|b|=b$，$|a|＞|b|$，用数轴上的点表示$a,b$正确的是（
）
）答案
10.A
解析
【分析】
解题时先根据绝对值的性质判断a、b的正负性，再结合|a|＞|b|的条件判断a、b到原点的距离大小，最后逐一对比选项排除错误答案即可。首先回忆绝对值性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此可先确定a、b在数轴上相对于原点的位置，排除不符合正负要求的选项；再根据绝对值的几何意义（绝对值表示数轴上的点到原点的距离），结合|a|＞|b|的条件，排除不符合距离要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 判断a、b的正负性：
已知$|a|=-a$，根据绝对值的性质可得$a≤0$，即a在数轴原点的左侧或与原点重合；
已知$|b|=b$，根据绝对值的性质可得$b≥0$，即b在数轴原点的右侧或与原点重合。
观察选项，B、C选项中a在原点右侧，为正数，不符合a的性质，故排除B、C。
2. 判断a、b到原点的距离：
绝对值的几何意义是数轴上的点到原点的距离，因此$|a|＞|b|$表示a到原点的距离大于b到原点的距离。
观察剩余选项：
D选项中a到原点的距离小于b到原点的距离，即$|a|＜|b|$，不符合要求，排除D；
A选项中a在原点左侧，b在原点右侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离，符合所有条件。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质；数轴的应用
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，将绝对值的代数性质、几何意义与数轴的表示结合考查，掌握绝对值和数的正负的对应关系、绝对值的几何意义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先根据绝对值的性质判断a、b的正负性，再结合|a|＞|b|的条件判断a、b到原点的距离大小，最后逐一对比选项排除错误答案即可。首先回忆绝对值性质：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此可先确定a、b在数轴上相对于原点的位置，排除不符合正负要求的选项；再根据绝对值的几何意义（绝对值表示数轴上的点到原点的距离），结合|a|＞|b|的条件，排除不符合距离要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
1. 判断a、b的正负性：
已知$|a|=-a$，根据绝对值的性质可得$a≤0$，即a在数轴原点的左侧或与原点重合；
已知$|b|=b$，根据绝对值的性质可得$b≥0$，即b在数轴原点的右侧或与原点重合。
观察选项，B、C选项中a在原点右侧，为正数，不符合a的性质，故排除B、C。
2. 判断a、b到原点的距离：
绝对值的几何意义是数轴上的点到原点的距离，因此$|a|＞|b|$表示a到原点的距离大于b到原点的距离。
观察剩余选项：
D选项中a到原点的距离小于b到原点的距离，即$|a|＜|b|$，不符合要求，排除D；
A选项中a在原点左侧，b在原点右侧，且a到原点的距离大于b到原点的距离，符合所有条件。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质；数轴的应用
【点评】
本题是典型的数形结合类题目，将绝对值的代数性质、几何意义与数轴的表示结合考查，掌握绝对值和数的正负的对应关系、绝对值的几何意义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
11 如果在数轴上的A，B两点所表示的有理数分别是x，y，且|x|=2，|y|=3，那么A，B两点之间的距离是
1或5
。答案
11.1或5
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，确定x、y的所有可能取值；再回忆数轴上两点间距离的计算方法：两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值；最后将x、y的不同取值组合代入计算，汇总所有可能的距离结果即可。
【解析】
解：
∵|x|=2，
∴x=2或x=-2；
∵|y|=3，
∴y=3或y=-3。
数轴上A、B两点之间的距离为|x - y|，分情况计算：
①当x=2，y=3时，距离为|2 - 3|=1；
②当x=2，y=-3时，距离为|2 - (-3)|=|5|=5；
③当x=-2，y=3时，距离为|-2 - 3|=|-5|=5；
④当x=-2，y=-3时，距离为|-2 - (-3)|=|1|=1。
综上，A、B两点之间的距离是1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 数轴两点距离计算
【点评】
本题核心考查绝对值的应用与数轴上两点距离的计算，解题的关键是牢记绝对值等于正数的数有正负两个，需要分类讨论所有取值情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据绝对值的性质，确定x、y的所有可能取值；再回忆数轴上两点间距离的计算方法：两点之间的距离等于两点所表示数的差的绝对值；最后将x、y的不同取值组合代入计算，汇总所有可能的距离结果即可。
【解析】
解：
∵|x|=2，
∴x=2或x=-2；
∵|y|=3，
∴y=3或y=-3。
数轴上A、B两点之间的距离为|x - y|，分情况计算：
①当x=2，y=3时，距离为|2 - 3|=1；
②当x=2，y=-3时，距离为|2 - (-3)|=|5|=5；
③当x=-2，y=3时，距离为|-2 - 3|=|-5|=5；
④当x=-2，y=-3时，距离为|-2 - (-3)|=|1|=1。
综上，A、B两点之间的距离是1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
1. 绝对值的性质
2. 数轴两点距离计算
【点评】
本题核心考查绝对值的应用与数轴上两点距离的计算，解题的关键是牢记绝对值等于正数的数有正负两个，需要分类讨论所有取值情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7
12若$|x+6|+|y-13|=0$，则$2y-|x|=$
20
.答案
12.20
解析
【分析】
首先回忆绝对值的性质：任意数的绝对值都是非负数（即大于等于0）。两个非负数相加的结果为0，说明这两个非负数必须都等于0，只要其中一个大于0，和就会大于0，不符合题意。因此我们可以先令两个绝对值内的算式分别等于0，求出x、y的取值，再代入目标式计算即可。
【解析】
解：
∵ 任意数的绝对值都是非负数，
∴ $|x+6|≥0$，$|y-13|≥0$，
又
∵ $|x+6|+|y-13|=0$，
∴ $\begin{cases}x+6=0\\y-13=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-6\\y=13\end{cases}$。
将$x=-6$，$y=13$代入$2y-|x|$：
$2y-|x|=2×13 - |-6|=26-6=20$。
【答案】
20
【知识点】
绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题重点考查绝对值非负性的应用，牢记“若干个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质即可快速求出未知数的值，计算时注意负数的绝对值是它的相反数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆绝对值的性质：任意数的绝对值都是非负数（即大于等于0）。两个非负数相加的结果为0，说明这两个非负数必须都等于0，只要其中一个大于0，和就会大于0，不符合题意。因此我们可以先令两个绝对值内的算式分别等于0，求出x、y的取值，再代入目标式计算即可。
【解析】
解：
∵ 任意数的绝对值都是非负数，
∴ $|x+6|≥0$，$|y-13|≥0$，
又
∵ $|x+6|+|y-13|=0$，
∴ $\begin{cases}x+6=0\\y-13=0\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=-6\\y=13\end{cases}$。
将$x=-6$，$y=13$代入$2y-|x|$：
$2y-|x|=2×13 - |-6|=26-6=20$。
【答案】
20
【知识点】
绝对值的非负性；代数式求值
【点评】
本题重点考查绝对值非负性的应用，牢记“若干个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质即可快速求出未知数的值，计算时注意负数的绝对值是它的相反数，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
13 计算：
(1) $|-56| - |-18|$；
(2) $\left| +3\dfrac{2}{3} \right| × |-12|$；
(3) $\left| -\dfrac{3}{4} \right| ÷ \left| -1\dfrac{7}{8} \right|$；
(4) $\left| -3\dfrac{1}{3} \right| × \left| -1\dfrac{1}{8} \right| ÷ |-1.25|$；
(1) $|-56| - |-18|$；
(2) $\left| +3\dfrac{2}{3} \right| × |-12|$；
(3) $\left| -\dfrac{3}{4} \right| ÷ \left| -1\dfrac{7}{8} \right|$；
(4) $\left| -3\dfrac{1}{3} \right| × \left| -1\dfrac{1}{8} \right| ÷ |-1.25|$；
答案
13.(1) 38 (2) 44 (3) $\frac{2}{5}$ (4) 3
解析
【分析】
这是一组含绝对值的有理数运算题，解题核心思路分两步：第一步根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉所有绝对值符号，将式子转化为普通的有理数四则运算；第二步按照有理数加减乘除的运算法则计算，遇到带分数先化为假分数，除法运算转化为乘以倒数，运算过程中可通过约分简化计算。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$|-56|=56$，$|-18|=18$，
原式$=56 - 18 = 38$；
(2) 先化简绝对值：$\left|+3\dfrac{2}{3}\right|=3\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3}$，$|-12|=12$，
原式$=\dfrac{11}{3} × 12 = 11 × 4 = 44$；
(3) 先化简绝对值：$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$，$\left|-1\dfrac{7}{8}\right|=1\dfrac{7}{8}=\dfrac{15}{8}$，
原式$=\dfrac{3}{4} ÷ \dfrac{15}{8} = \dfrac{3}{4} × \dfrac{8}{15} = \dfrac{2}{5}$；
(4) 先化简绝对值：$\left|-3\dfrac{1}{3}\right|=3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$，$\left|-1\dfrac{1}{8}\right|=1\dfrac{1}{8}=\dfrac{9}{8}$，$|-1.25|=1.25=\dfrac{5}{4}$，
原式$=\dfrac{10}{3} × \dfrac{9}{8} ÷ \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{3} × \dfrac{9}{8} × \dfrac{4}{5} = 3$。
【答案】
(1) $38$；(2) $44$；(3) $\dfrac{2}{5}$；(4) $3$
【知识点】
绝对值的性质，有理数四则运算，分数乘除运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察绝对值的化简规则和有理数四则运算的熟练度，解题时要先准确去掉绝对值符号，再按照运算规则逐步计算，注意带分数化假分数、除法转乘法、约分等细节，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
这是一组含绝对值的有理数运算题，解题核心思路分两步：第一步根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉所有绝对值符号，将式子转化为普通的有理数四则运算；第二步按照有理数加减乘除的运算法则计算，遇到带分数先化为假分数，除法运算转化为乘以倒数，运算过程中可通过约分简化计算。
【解析】
(1) 先化简绝对值：$|-56|=56$，$|-18|=18$，
原式$=56 - 18 = 38$；
(2) 先化简绝对值：$\left|+3\dfrac{2}{3}\right|=3\dfrac{2}{3}=\dfrac{11}{3}$，$|-12|=12$，
原式$=\dfrac{11}{3} × 12 = 11 × 4 = 44$；
(3) 先化简绝对值：$\left|-\dfrac{3}{4}\right|=\dfrac{3}{4}$，$\left|-1\dfrac{7}{8}\right|=1\dfrac{7}{8}=\dfrac{15}{8}$，
原式$=\dfrac{3}{4} ÷ \dfrac{15}{8} = \dfrac{3}{4} × \dfrac{8}{15} = \dfrac{2}{5}$；
(4) 先化简绝对值：$\left|-3\dfrac{1}{3}\right|=3\dfrac{1}{3}=\dfrac{10}{3}$，$\left|-1\dfrac{1}{8}\right|=1\dfrac{1}{8}=\dfrac{9}{8}$，$|-1.25|=1.25=\dfrac{5}{4}$，
原式$=\dfrac{10}{3} × \dfrac{9}{8} ÷ \dfrac{5}{4} = \dfrac{10}{3} × \dfrac{9}{8} × \dfrac{4}{5} = 3$。
【答案】
(1) $38$；(2) $44$；(3) $\dfrac{2}{5}$；(4) $3$
【知识点】
绝对值的性质，有理数四则运算，分数乘除运算
【点评】
本题属于基础运算题，重点考察绝对值的化简规则和有理数四则运算的熟练度，解题时要先准确去掉绝对值符号，再按照运算规则逐步计算，注意带分数化假分数、除法转乘法、约分等细节，减少计算失误。
【难度系数】
0.8
14 新情境 生活实际 某一天下午，出租车司机小张的营运全是在东西走向的幸福路上进行的。如果规定向东为正、向西为负，那么他这天下午的行程(单位：km)如下：+3，+10，-4，+7，-5，-4，+12，-8，-5，+6，-21，+9。若出租车的耗油量为0.1 L/km，则这天下午小张的出租车共耗油多少升？
答案
14.$|+3|+|+10|+|-4|+|+7|+|-5|+|-4|+|+12|+|-8|+|-5|+|+6|+|-21|+|+9|=94(\mathrm{km}),94×0.1=9.4(\mathrm{L}),$所以这天下午小张的出租车共耗油9.4 L
解析
【分析】
要计算出租车总耗油量，首先需要明确耗油量只和行驶的总路程有关，和行驶方向无关。题目中的正负数仅表示行驶的方向，因此我们需要先求出每次行程的绝对值（即每次行驶的实际长度），将所有绝对值相加得到总路程，再用总路程乘每千米的耗油量，即可求出总耗油量。
【解析】
第一步：计算这天下午出租车行驶的总路程，总路程为所有行程的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+3|+|+10|+|-4|+|+7|+|-5|+|-4|+|+12|+|-8|+|-5|+|+6|+|-21|+|+9|\\=&3+10+4+7+5+4+12+8+5+6+21+9\\=&94(\mathrm{km})\end{aligned}$
第二步：计算总耗油量，已知每千米耗油量为0.1L：
$94×0.1=9.4(\mathrm{L})$
【答案】
这天下午小张的出租车共耗油9.4 L
【知识点】
1. 绝对值的应用
2. 正负数的意义
3. 有理数的加法
【点评】
本题结合生活实际情境，考查对正负数意义和绝对值的理解运用，解题核心是明确路程与行驶方向无关，需要通过取绝对值计算总路程，易错点是直接将带符号的行程数求和计算路程。
【难度系数】
0.8
要计算出租车总耗油量，首先需要明确耗油量只和行驶的总路程有关，和行驶方向无关。题目中的正负数仅表示行驶的方向，因此我们需要先求出每次行程的绝对值（即每次行驶的实际长度），将所有绝对值相加得到总路程，再用总路程乘每千米的耗油量，即可求出总耗油量。
【解析】
第一步：计算这天下午出租车行驶的总路程，总路程为所有行程的绝对值之和：
$\begin{aligned}&|+3|+|+10|+|-4|+|+7|+|-5|+|-4|+|+12|+|-8|+|-5|+|+6|+|-21|+|+9|\\=&3+10+4+7+5+4+12+8+5+6+21+9\\=&94(\mathrm{km})\end{aligned}$
第二步：计算总耗油量，已知每千米耗油量为0.1L：
$94×0.1=9.4(\mathrm{L})$
【答案】
这天下午小张的出租车共耗油9.4 L
【知识点】
1. 绝对值的应用
2. 正负数的意义
3. 有理数的加法
【点评】
本题结合生活实际情境，考查对正负数意义和绝对值的理解运用，解题核心是明确路程与行驶方向无关，需要通过取绝对值计算总路程，易错点是直接将带符号的行程数求和计算路程。
【难度系数】
0.8
15 同学们都知道$|5-(-2)|$表示5与-2的差的绝对值，也可理解为5与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离.
（1）试探索：$|5-(-2)|=$
（2）试探索：使得$|x+5|+|x-2|=7$成立的整数$x$有
（3）根据以上探索，猜想：对于任何有理数$x$，$|x-3|+|x-6|$是否有最小值？如果有，请写出最小值；如果没有，请说明理由.
（1）试探索：$|5-(-2)|=$
7
.（2）试探索：使得$|x+5|+|x-2|=7$成立的整数$x$有
－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2
.（3）根据以上探索，猜想：对于任何有理数$x$，$|x-3|+|x-6|$是否有最小值？如果有，请写出最小值；如果没有，请说明理由.
答案
15.(1) 7
(2) －5，－4，－3，－2，－1，0，1，2
(3) 有最小值，最小值为3
(2) －5，－4，－3，－2，－1，0，1，2
(3) 有最小值，最小值为3
解析
【分析】
第(1)问：有两种解题思路，一是先按照有理数减法法则计算5与-2的差，再求差的绝对值；二是直接利用题中给出的绝对值几何意义，计算数轴上5和-2对应两点的距离。
第(2)问：先将$|x+5|$转化为$|x-(-5)|$，理解为数轴上x对应点到-5对应点的距离，$|x-2|$是x对应点到2对应点的距离。先计算-5到2的固定距离正好是7，因此只要x落在-5和2之间（包含两个端点）就满足等式，再找出该区间内的整数即可。
第(3)问：类比前两问的思路，$|x-3|$是x到3的距离，$|x-6|$是x到6的距离，两个距离之和的最小值出现在x位于3和6之间的位置，此时和等于3到6的固定距离。
【解析】
(1) 计算得：$|5-(-2)|=|5+2|=|7|=7$。
(2) $\because |x+5|$表示x到-5的距离，$|x-2|$表示x到2的距离，且-5到2的距离为$|2-(-5)|=7$，$\therefore$ 当x在-5到2之间（含端点）时等式成立，符合条件的整数x为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2。
(3) 有最小值。理由：$|x-3|$表示x到3的距离，$|x-6|$表示x到6的距离，当x在3和6之间（含端点）时，两个距离的和最小，等于3到6的距离$|6-3|=3$，因此最小值为3。
【答案】
(1) 7
(2) -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2
(3) 有最小值，最小值为3
【知识点】
绝对值的意义，数轴两点距离，数形结合思想
【点评】
本题通过绝对值的几何意义简化计算，避免了分类讨论去绝对值的繁琐步骤，能帮助学生更好地理解绝对值的内涵，体会数形结合思想解题的便捷性。
【难度系数】
0.65
第(1)问：有两种解题思路，一是先按照有理数减法法则计算5与-2的差，再求差的绝对值；二是直接利用题中给出的绝对值几何意义，计算数轴上5和-2对应两点的距离。
第(2)问：先将$|x+5|$转化为$|x-(-5)|$，理解为数轴上x对应点到-5对应点的距离，$|x-2|$是x对应点到2对应点的距离。先计算-5到2的固定距离正好是7，因此只要x落在-5和2之间（包含两个端点）就满足等式，再找出该区间内的整数即可。
第(3)问：类比前两问的思路，$|x-3|$是x到3的距离，$|x-6|$是x到6的距离，两个距离之和的最小值出现在x位于3和6之间的位置，此时和等于3到6的固定距离。
【解析】
(1) 计算得：$|5-(-2)|=|5+2|=|7|=7$。
(2) $\because |x+5|$表示x到-5的距离，$|x-2|$表示x到2的距离，且-5到2的距离为$|2-(-5)|=7$，$\therefore$ 当x在-5到2之间（含端点）时等式成立，符合条件的整数x为-5、-4、-3、-2、-1、0、1、2。
(3) 有最小值。理由：$|x-3|$表示x到3的距离，$|x-6|$表示x到6的距离，当x在3和6之间（含端点）时，两个距离的和最小，等于3到6的距离$|6-3|=3$，因此最小值为3。
【答案】
(1) 7
(2) -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2
(3) 有最小值，最小值为3
【知识点】
绝对值的意义，数轴两点距离，数形结合思想
【点评】
本题通过绝对值的几何意义简化计算，避免了分类讨论去绝对值的繁琐步骤，能帮助学生更好地理解绝对值的内涵，体会数形结合思想解题的便捷性。
【难度系数】
0.65
