例 老师要通知7个学生，每分钟通知1人，要通知到所有学生，至少需要多少分钟？
分析
用图表分析：

老师首先用1分钟通知第1个学生；第2分钟由老师和第1个学生分别通知1个学生，那么现在通知的一共有$1+2=3$(个)学生；可以推出第3分钟通知的一共有$3+4=7$(个)学生。
解:至少需要3分钟。

1+2=3（个）
3+4=7（个）
答：至少需要3分钟。

【分析】
要解决通知7个学生至少需要多少分钟的问题，需采用“打电话”的最优通知策略：老师和已经接到通知的学生，每分钟都可以同时通知1个未接到通知的学生，这样每分钟新通知的人数是前一分钟已通知总人数（含老师）的数量。我们逐步计算每分钟累计通知的学生数，直到覆盖所有7个学生即可。
【解析】
第1分钟：老师通知1个学生，累计通知1个学生；
第2分钟：老师和已通知的1个学生各通知1个学生，新通知2个学生，累计通知$1+2=3$个学生；
第3分钟：已通知的3人（老师+2个学生）各通知1个学生，新通知4个学生，累计通知$3+4=7$个学生，刚好通知完7个学生。
因此至少需要3分钟。
【答案】
至少需要3分钟。
【知识点】
打电话问题，最优通知策略
【点评】
本题考查“打电话”类优化问题，核心是利用师生同时通知的策略最大化每分钟通知的人数，属于基础应用题型，需掌握累计通知人数的计算规律。
【难度系数】
0.6

1. 老师要通知15名学生，每分钟通知1人。
(1)方案一:老师一个一个接着通知,需要()分钟。
方案二:把15名学生分成3组,每组5人,设一名组长。老师通知组长,组长再一个一个接着通知其他4名学生,需要()分钟。
方案三:老师依次通知4名学生,而每名学生接到通知后再通知其他学生,每个人不空闲(如下图),需要()分钟。

通过比较,发现方案()为最优方案。
(2)根据上题的最优方案,你发现了什么规律。请把下表填完整。

1.(1)15 7 4 三
(2)4分钟:8 15 16
5分钟:16 31 32

【分析】
本题是通知方案的优化问题，需分别分析三种方案的通知逻辑计算时间，再总结最优方案的规律：方案一为逐个通知，时间等于学生总数；方案二为分组通知，先通知组长再由组长通知组员，总时间为通知组长与组员的时间和；方案三为“人人不空闲”的倍增通知，每分钟所有已通知人员都参与通知，总人数（含老师）每分钟翻倍，效率最高。
【解析】
(1) 方案一：老师逐个通知，每分钟通知1人，通知15名学生需要15分钟；
方案二：分3组，每组5人，先通知3名组长需3分钟（每分钟通知1名组长），每个组长通知组内4名学生需4分钟，总时间为3+4=7分钟；
方案三：“人人不空闲”的倍增通知，第n分钟总人数（含老师）为2ⁿ，要通知15名学生，总人数需≥15+1=16，2⁴=16，故需4分钟；时间最短的方案三为最优方案。
(2) 规律：第n分钟，新通知人数为2ⁿ⁻¹，累计学生数为2ⁿ-1，累计总人数（含老师）为2ⁿ。
因此：
4分钟时：新通知人数=2^(4-1)=8，累计学生数=2⁴-1=15，累计总人数=2⁴=16；
5分钟时：新通知人数=2^(5-1)=16，累计学生数=2⁵-1=31，累计总人数=2⁵=32。
【答案】
1.(1)15 7 4 三
(2)4分钟:8 15 16；5分钟:16 31 32
【知识点】
最优通知方案、倍增规律
【点评】
本题通过通知问题考查优化思想，核心是理解“人人不空闲”的倍增通知能最大化提升效率，同时总结出通知问题的数量规律，培养逻辑推理与优化意识，是数学广角的典型应用题型。
【难度系数】
0.5