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2. 如图,把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点B'处,B'C与AD相交于点E,此时△CDE恰好为等边三角形,若AB=6 cm,则AD=
12
cm.答案
2.12
解析
【分析】
解题时可结合已知图形的性质逐步推导：首先利用平行四边形对边平行、对边相等的性质，得到角的等量关系和CD的长度；再结合折叠前后对应角相等的性质，推出∠DAC=∠ACB'，进而得到AE=CE；最后根据等边三角形三边相等的性质，得到CE、DE的长度，将AE和DE相加即可得到AD的长度。
【解析】
1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：$AB=CD=6\mathrm{cm}$，$AD// BC$，由两直线平行内错角相等得$∠ DAC=∠ ACB$。
2. 由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即$∠ ACB=∠ ACB'$，因此$∠ DAC=∠ ACB'$，根据等角对等边可得$AE=CE$。
3. 因为$△ CDE$为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质可得：$CE=DE=CD=6\mathrm{cm}$，因此$AE=CE=6\mathrm{cm}$。
4. 线段AD由AE和DE两段组成，因此$AD=AE+DE=6\mathrm{cm}+6\mathrm{cm}=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的等量转化推导出AE与CE相等，再结合特殊图形的边长性质求解线段长度，有助于巩固图形变换与特殊四边形、特殊三角形的相关性质应用。
【难度系数】
0.7
解题时可结合已知图形的性质逐步推导：首先利用平行四边形对边平行、对边相等的性质，得到角的等量关系和CD的长度；再结合折叠前后对应角相等的性质，推出∠DAC=∠ACB'，进而得到AE=CE；最后根据等边三角形三边相等的性质，得到CE、DE的长度，将AE和DE相加即可得到AD的长度。
【解析】
1. 已知四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得：$AB=CD=6\mathrm{cm}$，$AD// BC$，由两直线平行内错角相等得$∠ DAC=∠ ACB$。
2. 由折叠的性质可知，折叠前后对应角相等，即$∠ ACB=∠ ACB'$，因此$∠ DAC=∠ ACB'$，根据等角对等边可得$AE=CE$。
3. 因为$△ CDE$为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质可得：$CE=DE=CD=6\mathrm{cm}$，因此$AE=CE=6\mathrm{cm}$。
4. 线段AD由AE和DE两段组成，因此$AD=AE+DE=6\mathrm{cm}+6\mathrm{cm}=12\mathrm{cm}$。
【答案】
12
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是通过角的等量转化推导出AE与CE相等，再结合特殊图形的边长性质求解线段长度，有助于巩固图形变换与特殊四边形、特殊三角形的相关性质应用。
【难度系数】
0.7
3.如图,在$□ ABCD$中,$BC=2AB=8$,连接$AC$,分别以点$A,C$为圆心,大于$\frac{1}{2}AC$的长为半径作弧,两弧交于点$E,F$,作直线$EF$,交$AD$于点$M$,交$BC$于点$N$,若点$N$恰好为$BC$的中点,则$AC$的长为
$4\sqrt{3}$
.答案
3.$4\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先识别尺规作图的结果：EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此连接AN可得AN=CN。再结合已知条件BC=2AB=8、N是BC中点，可求出AB、BN、CN的长度，发现AB=BN=AN=4，即可判定△ABN是等边三角形，得到∠B=60°。最后过A作BC的垂线构造直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
1. 由尺规作图的作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∵点N在EF上，
∴AN=CN。
2. 已知BC=2AB=8，可得AB=4，BC=8，
又
∵N是BC的中点，
∴BN=CN=4，
∴AB=BN=AN=4，即△ABN是等边三角形，
∴∠B=60°。
3. 过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，∠B=60°，AB=4，
∴∠BAH=30°，则BH=½AB=2，
由勾股定理得：$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
4.
∵BC=8，BH=2，
∴HC=BC-BH=8-2=6，
在Rt△AHC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、特殊三角形的判定和勾股定理的应用，解题的关键是先根据垂直平分线的性质得到相等线段，进而推出等边三角形得到特殊角，再构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.6
首先识别尺规作图的结果：EF是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此连接AN可得AN=CN。再结合已知条件BC=2AB=8、N是BC中点，可求出AB、BN、CN的长度，发现AB=BN=AN=4，即可判定△ABN是等边三角形，得到∠B=60°。最后过A作BC的垂线构造直角三角形，利用勾股定理即可求出AC的长度。
【解析】
1. 由尺规作图的作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，
∵点N在EF上，
∴AN=CN。
2. 已知BC=2AB=8，可得AB=4，BC=8，
又
∵N是BC的中点，
∴BN=CN=4，
∴AB=BN=AN=4，即△ABN是等边三角形，
∴∠B=60°。
3. 过点A作AH⊥BC于点H，
在Rt△ABH中，∠B=60°，AB=4，
∴∠BAH=30°，则BH=½AB=2，
由勾股定理得：$AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。
4.
∵BC=8，BH=2，
∴HC=BC-BH=8-2=6，
在Rt△AHC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=\sqrt{12+36}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
【答案】
$4\sqrt{3}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查了尺规作图的识别、特殊三角形的判定和勾股定理的应用，解题的关键是先根据垂直平分线的性质得到相等线段，进而推出等边三角形得到特殊角，再构造直角三角形求解。
【难度系数】
0.6
三、解答题
1. 如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E，F分别为线段BC，AD的中点，连接EF交AC于点O，连接AE，CF.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形.
(2)若OF=3，求CD的长.
1. 如图，四边形ABCD为平行四边形，线段AC为对角线，点E，F分别为线段BC，AD的中点，连接EF交AC于点O，连接AE，CF.
(1)求证:四边形AECF为平行四边形.
(2)若OF=3，求CD的长.
答案
1.(1)略
(2)6
(2)6
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AECF是平行四边形，先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E、F分别是BC、AD中点的条件，推导出AF与EC平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
(2) 求CD的长时，先由(1)中平行四边形AECF的性质得到O是AC的中点，结合F是AD中点的条件，可知OF是△ACD的中位线，根据中位线定理即可得到CD与OF的数量关系，代入OF的长度就能求出CD。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵点E是BC的中点，点F是AD的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}AD$，$EC=\frac{1}{2}BC$，
∴AF=EC，
又
∵AF//EC，
∴四边形AECF为平行四边形。
(2) 解：由(1)可知四边形AECF是平行四边形，
∴对角线AC和EF互相平分，即O是AC的中点，
又
∵F是AD的中点，
∴OF是△ACD的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$OF=\frac{1}{2}CD$，
已知OF=3，
∴CD=2OF=2×3=6。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 6
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形中位线定理
【点评】
本题围绕平行四边形和三角形中位线的相关知识点展开考察，解题时需要结合图形梳理线段间的位置、数量关系，熟练掌握基础定理即可快速求解，是几何部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明四边形AECF是平行四边形，先利用平行四边形ABCD的性质得到AD与BC平行且相等，再结合E、F分别是BC、AD中点的条件，推导出AF与EC平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
(2) 求CD的长时，先由(1)中平行四边形AECF的性质得到O是AC的中点，结合F是AD中点的条件，可知OF是△ACD的中位线，根据中位线定理即可得到CD与OF的数量关系，代入OF的长度就能求出CD。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AD=BC。
∵点E是BC的中点，点F是AD的中点，
∴$AF=\frac{1}{2}AD$，$EC=\frac{1}{2}BC$，
∴AF=EC，
又
∵AF//EC，
∴四边形AECF为平行四边形。
(2) 解：由(1)可知四边形AECF是平行四边形，
∴对角线AC和EF互相平分，即O是AC的中点，
又
∵F是AD的中点，
∴OF是△ACD的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$OF=\frac{1}{2}CD$，
已知OF=3，
∴CD=2OF=2×3=6。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) 6
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形中位线定理
【点评】
本题围绕平行四边形和三角形中位线的相关知识点展开考察，解题时需要结合图形梳理线段间的位置、数量关系，熟练掌握基础定理即可快速求解，是几何部分的基础典型题。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在$□ ABCD$中,AC,BD交于点O,过点O作直线EF,GH,分别交平行四边形的四条边于E,G,F,H四点,连接EG,GF,FH,HE.
(1)试证明$OE = OF$;
(2)试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
(1)试证明$OE = OF$;
(2)试判断四边形EGFH的形状,并说明理由.
答案
解：(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，OA=OC，
∴ ∠EAO = ∠FCO。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO = ∠FCO \\OA = OC \\∠AOE = ∠COF\end{array} $
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ OE = OF。
(2) 四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
同理可证：△BOG ≌ △DOH，
∴ OG = OH。
又∵ OE = OF，即四边形EGFH的对角线互相平分，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，OA=OC，
∴ ∠EAO = ∠FCO。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO = ∠FCO \\OA = OC \\∠AOE = ∠COF\end{array} $
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ OE = OF。
(2) 四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
同理可证：△BOG ≌ △DOH，
∴ OG = OH。
又∵ OE = OF，即四边形EGFH的对角线互相平分，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
解析
【分析】
(1) 要证明$OE = OF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用平行四边形的性质可得对角线互相平分、对边平行，进而得到全等需要的等角和等边条件，用ASA判定三角形全等即可得证。(2) 判断四边形EGFH的形状时，在已证$OE=OF$的基础上，同理可证$OG=OH$，结合“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD//BC$，$OA=OC$，
∴ $∠EAO = ∠FCO$。
在$△AOE$和$△COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO = ∠FCO \\OA = OC \\∠AOE = ∠COF\end{array} $
∴ $△AOE ≌ △COF$（ASA），
∴ $OE = OF$。
(2) 四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
同理可证：$△BOG ≌ △DOH$，
∴ $OG = OH$。
又
∵ $OE = OF$，即四边形EGFH的对角线互相平分，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
【答案】
(1) $OE=OF$，证明见解析；
(2) 四边形EGFH是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础典型题，解题核心是通过平行四边形的性质推导三角形全等的条件，再结合全等的性质和四边形判定定理得出结论，解题思路通用性强，相关方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$OE = OF$，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先利用平行四边形的性质可得对角线互相平分、对边平行，进而得到全等需要的等角和等边条件，用ASA判定三角形全等即可得证。(2) 判断四边形EGFH的形状时，在已证$OE=OF$的基础上，同理可证$OG=OH$，结合“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判定定理即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $AD//BC$，$OA=OC$，
∴ $∠EAO = ∠FCO$。
在$△AOE$和$△COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠EAO = ∠FCO \\OA = OC \\∠AOE = ∠COF\end{array} $
∴ $△AOE ≌ △COF$（ASA），
∴ $OE = OF$。
(2) 四边形EGFH是平行四边形，理由如下：
同理可证：$△BOG ≌ △DOH$，
∴ $OG = OH$。
又
∵ $OE = OF$，即四边形EGFH的对角线互相平分，
∴ 四边形EGFH是平行四边形。
【答案】
(1) $OE=OF$，证明见解析；
(2) 四边形EGFH是平行四边形。
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形相关的基础典型题，解题核心是通过平行四边形的性质推导三角形全等的条件，再结合全等的性质和四边形判定定理得出结论，解题思路通用性强，相关方法需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
