9 如图,$AB=AC,AD=AE,∠ BAC=∠ DAE$,下列结论不一定正确的是 （）

A.$∠ BAD=∠ CAE$
B.$△ ABD ≌ △ ACE$
C.$AB=BC$
D.$BD=CE$

9. C

【分析】
要判断各选项是否正确，先根据已知角的关系推导相等角，再利用全等三角形判定定理判断三角形全等，进而分析边的关系，最后判断选项。已知∠BAC=∠DAE，通过角的和差可得到∠BAD=∠CAE，结合已知边相等可判定三角形全等，再逐一分析选项即可。
【解析】
1. 推导角相等：因为∠BAC=∠DAE，所以∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD=∠CAE，故A选项正确。
2. 判定三角形全等：在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，根据SAS（边角边）判定定理，可得△ABD≌△ACE，故B选项正确。
3. 由全等得边相等：因为△ABD≌△ACE，所以对应边BD=CE，故D选项正确。
4. 分析C选项：题目仅给出AB=AC，没有条件表明AB=BC，因此AB=BC不一定成立，故C选项不一定正确。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定；角的和差
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质，属于基础题，需熟练掌握SAS判定定理，通过角的和差推导相等角是解题关键，要注意区分已知条件与结论，避免误判。
【难度系数】
0.5

10 如图,若$AC=AE$,$BC=DE$,$∠ C=55°$,$∠ A=40°$,则$∠ CBE=$.

10. 95° 【解析】$\because AC=AE,BC=DE,\therefore AC-BC=AE-DE,$即 $AB = AD.$ 在$△ ABE$ 和$△ ADC$ 中,$\begin{cases}AB=AD,\\∠A=∠A,\\AE=AC,\end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ ADC. \therefore ∠E=∠C=55°. \therefore ∠CBE=∠A+∠E=40°+55°=95°.$

【分析】要计算∠CBE的度数，首先根据已知的AC=AE和BC=DE，通过线段的差得到AB=AD，再利用SAS证明△ABE与△ADC全等，得到对应角∠E=∠C，最后根据三角形外角的性质，∠CBE是△ABE的外角，等于∠A与∠E的和，即可求出结果。
【解析】
1. 由AC=AE，BC=DE，根据等式的性质，得AC - BC = AE - DE，即AB = AD。
2. 在△ABE和△ADC中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠A = ∠A, \\ AE = AC, \end{cases}$
所以△ABE ≌ △ADC（SAS）。
3. 根据全等三角形的对应角相等，得∠E = ∠C = 55°。
4. 根据三角形外角的性质，∠CBE是△ABE的外角，因此∠CBE = ∠A + ∠E = 40° + 55° = 95°。
【答案】95°
【知识点】三角形全等判定、三角形外角性质
【点评】本题考查三角形全等的判定及外角性质，解题关键是通过线段差得到相等边证明全等，再利用外角定理计算角度，属于中等难度的几何基础题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】0.5

11 如图,$AB ⊥ BD$,垂足为$B$,$ED ⊥ BD$,垂足为$D$,$AB=CD$,$BC=DE$,则$∠ ACE=$$°$.

11. 90

【分析】要计算∠ACE的度数，需先梳理图形中角的关系：∠ACB、∠ACE、∠ECD在同一直线BD上，三者和为180°，因此只需算出∠ACB与∠ECD的和即可。已知AB⊥BD、ED⊥BD，可得∠B=∠D=90°，结合AB=CD、BC=DE，可通过SAS证明△ABC≌△CDE，得到对应角∠ACB=∠CED；再利用直角三角形两锐角互余，推出∠ACB+∠ECD=90°，最终求出∠ACE的度数。
【解析】
∵ AB⊥BD，ED⊥BD（已知），
∴ ∠B=∠D=90°（垂直的定义）。
在△ABC和△CDE中，
$\{\begin{array}{l}AB=CD（已知）, \\∠B=∠D（已证）, \\BC=DE（已知）,\end{array} $
∴ △ABC≌△CDE（SAS）。
∴ ∠ACB=∠CED（全等三角形对应角相等）。
在Rt△CDE中，∠CED + ∠ECD=90°（直角三角形两锐角互余），
∴ ∠ACB + ∠ECD=90°。
又
∵ 点B、C、D共线，
∴ ∠ACB + ∠ACE + ∠ECD=180°（平角的定义），
∴ ∠ACE=180° - (∠ACB + ∠ECD)=180° - 90°=90°。
【答案】90
【知识点】全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】本题是全等三角形应用的基础题型，通过证明三角形全等转化角的关系，结合平角、直角三角形的性质求解，重点考查学生对全等判定定理的掌握和角的关系分析能力。
【难度系数】0.6

12 如图,在$△ ABC$中,$AB=7$,$BC=5$,$AC=4$,$AD$平分$∠ BAC$交$BC$于点$D$,在$AB$上截取$AE=$$AC$,则$△ BDE$的周长为。

12. 8

【分析】要计算△BDE的周长，需通过全等三角形转化线段。已知AD平分∠BAC，且AE=AC，可利用SAS证明△AED≌△ACD，得到ED=CD，从而将△BDE的周长转化为BE + BD + CD，即BE + BC，再结合已知AB、AC、BC的长度计算即可。
【解析】
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD。
在△AED和△ACD中：
$\{\begin{array}{l}AE=AC \\∠EAD=∠CAD \\AD=AD\end{array} $
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴ED=CD。
△BDE的周长=BE + BD + ED = BE + BD + CD = BE + BC。
∵AE=AC=4，AB=7，
∴BE=AB - AE=7 - 4=3。
又
∵BC=5，
∴△BDE的周长=3 + 5=8。
【答案】8
【知识点】全等三角形判定与性质、角平分线定义、三角形周长计算
【点评】本题通过全等三角形实现线段的转化，将所求三角形的周长转化为已知线段的和，是几何中求周长的常用方法，需熟练掌握全等三角形的判定定理。
【难度系数】0.6

13 如图,在$△ ABC$中,$AB=CB$,$∠ ABC=90°$,$D$为$AB$延长线上一点,点$E$在边$BC$上,且$BE=$$BD$,连接$AE,DE,DC$.
(1) 求证:$△ ABE ≌ △ CBD$;
(2) 若$∠ CAE=30°$,求$∠ CDB$的度数.

13. (1) $\because ∠ABC=90°,∴ ∠CBD=180°-∠ABC=90°.$ 在$△ ABE$ 和$△ CBD$ 中,$\begin{cases}AB=CB,\\∠ABE=∠CBD,\\BE=BD,\end{cases}$$\therefore △ ABE≌△ CBD$
(2) $\because AB=CB,∠ABC=90°,∴ △ ABC$ 是等腰直角三角形.
$\therefore ∠BAC=∠ACB=45°. \because △ ABE≌△ CBD,∴ ∠AEB=∠CDB. \because ∠AEB$ 为$△ AEC$ 的外角,$∴ ∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+30°=75°. ∴ ∠CDB=75°$

【分析】
第(1)问要证△ABE≌△CBD，需找对应边、对应角相等：已知AB=CB，∠ABC=90°，D在AB延长线上得∠CBD=90°，即∠ABE=∠CBD，又BE=BD，满足SAS全等条件；第(2)问先由AB=CB、∠ABC=90°得△ABC是等腰直角三角形，再利用全等三角形对应角相等，结合三角形外角性质计算角度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，
∴ ∠CBD=180°−∠ABC=90°，
∴ ∠ABE=∠CBD=90°。
在△ABE和△CBD中，
$\{\begin{array}{l}AB=CB, \\∠ABE=∠CBD, \\BE=BD,\end{array} $
∴ △ABE≌△CBD（SAS）。
(2) 解：
∵ AB=CB，∠ABC=90°，
∴ △ABC是等腰直角三角形，
∴ ∠ACB=45°。
由(1)知△ABE≌△CBD，
∴ ∠AEB=∠CDB。
∵ ∠AEB是△AEC的外角，
∴ ∠AEB=∠ACB + ∠CAE=45°+30°=75°，
∴ ∠CDB=75°。
【答案】
(1) 证明成立；(2) ∠CDB的度数为75°
【知识点】
全等三角形判定（SAS）、等腰直角三角形性质、三角形外角性质
【点评】
本题结合全等三角形、等腰直角三角形及外角性质，需逐步推导，难度适中，考查几何定理的综合应用能力。
【难度系数】
0.6

14 [2026 海门期中]如图,在$△ ABC$和$△ CED$中,$AB=CE$,$∠ B=∠ E$,$BC=ED$.
(1) 求证:$AB// CD$;
(2) 若$AB=5$,$AE=2$,求$CD$的长.

14. (1) 在$△ ABC$ 和$△ CED$ 中,$\begin{cases}AB=CE,\\∠B=∠E,\\BC=ED,\end{cases}$$\therefore △ ABC≌△ CED. \therefore ∠CAB=∠DCE. \therefore AB// CD$
(2) $\because △ ABC≌△ CED,∴ CE=AB=5,CD=AC. \because AE=2,∴ CD=AC=CE-AE=5-2=3$

【分析】
要解决本题，首先观察△ABC和△CED，已知两边及夹角对应相等，可通过SAS证明两三角形全等；利用全等三角形的对应角相等，得到内错角相等，进而证明AB//CD；第二问利用全等三角形对应边相等，结合已知线段长度计算CD的长。
【解析】
(1) 证明：在△ABC和△CED中，
$\begin{cases}AB=CE, \\∠B=∠E, \\BC=ED,\end{cases}$
∴△ABC≌△CED（SAS），
∴∠CAB=∠DCE（全等三角形对应角相等），
根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB//CD。
(2) 解：
∵△ABC≌△CED，
∴CE=AB=5，CD=AC（全等三角形对应边相等），
又
∵AE=2，
∴AC=CE - AE=5 - 2=3，
∴CD=AC=3。
【答案】
(1) 证明成立；(2) CD的长为3。
【知识点】
全等三角形的判定、全等三角形的性质、平行线的判定
【点评】
本题是全等三角形与平行线判定的综合应用，核心是利用SAS证明三角形全等，再结合全等的性质解决平行证明和线段长度计算，属于基础题型，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.5

15 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=BC$,点$E$在$BC$上,连接$AE$,过点$C$作$CF⊥ AE$于点$F$,延长$CF$到点$D$,使$CD=AE$,连接$BD$.求证:$BD⊥ BC$.

15. $\because ∠ACB=90°,CF⊥AE,∴ ∠ACF+∠CAE=∠ACF+∠BCD=90°. ∴ ∠CAE=∠BCD.$ 在$△ ACE$ 和$△ CBD$ 中,$\begin{cases}AC=CB,\\∠CAE=∠BCD,\\AE=CD,\end{cases}$$\therefore △ ACE≌△ CBD. \therefore ∠CBD=∠ACE=90°,即 BD⊥BC$

【分析】要证明$BD⊥BC$，需证$∠ CBD=90°$，已知$∠ ACB=90°$，故只需证明$△ ACE$与$△ CBD$全等，得到对应角$∠ CBD=∠ ACB$。根据已知条件，可通过同角的余角相等推出$∠ CAE=∠ BCD$，结合$AC=BC$、$AE=CD$，用SAS判定全等即可完成证明。
【解析】
$\because ∠ ACB=90°$，$CF⊥ AE$，
$\therefore ∠ AFC=90°$，
$\therefore ∠ CAE + ∠ ACF=90°$，$∠ BCD + ∠ ACF=90°$，
$\therefore ∠ CAE=∠ BCD$。
在$△ ACE$和$△ CBD$中，
$\{\begin{array}{l}AC=CB, \\∠ CAE=∠ BCD, \\AE=CD,\end{array} $
$\therefore △ ACE≌△ CBD$（SAS），
$\therefore ∠ CBD=∠ ACE=90°$，
即$BD⊥ BC$。
【答案】
证明：$\because ∠ ACB=90°$，$CF⊥ AE$，$\therefore ∠ AFC=90°$，$\therefore ∠ CAE + ∠ ACF=90°$，$∠ BCD + ∠ ACF=90°$，$\therefore ∠ CAE=∠ BCD$。在$△ ACE$和$△ CBD$中，$\{\begin{array}{l}AC=CB,\\∠ CAE=∠ BCD,\\AE=CD,\end{array} $$\therefore △ ACE≌△ CBD$（SAS），$\therefore ∠ CBD=∠ ACE=90°$，即$BD⊥ BC$。
【知识点】
全等三角形的判定（SAS），垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形判定与性质的基础应用，核心是利用同角的余角相等找到全等所需的夹角，进而证明垂直，需熟练掌握SAS判定全等的方法。
【难度系数】
0.5