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2.（1）有长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2所示.
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出$2a^2+5ab+2b^2$因式分解的结果，画出你的拼图.
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为：
$a^2+2a+1=(a+1)^2$
.（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示.
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出$2a^2+5ab+2b^2$因式分解的结果，画出你的拼图.
答案
（1）① $a^2+2a+1$；$(a+1)^2$ ② $a^2+2a+1=(a+1)^2$
（2）略.
（2）略.
解析
【分析】
（1）①计算图2的长方形面积可采用两种思路：思路一为拆分求和，将大长方形拆分为若干个已知边长的小正方形和小长方形，分别计算各小图形的面积再求和；思路二为整体计算，先确定大长方形的长和宽，再利用长方形面积=长×宽直接计算。②由于两种方法计算的是同一个图形的面积，因此两个表示面积的代数式相等，即可得到对应等式。
（2）①推导完全平方公式时，可借助图3的卡片拼出边长为$(a+b)$的大正方形，分别通过整体求面积、拆分求小图形面积和两种方式得到等式，即可推出完全平方公式，画出对应拼图即可。②推导$2a^2+5ab+2b^2$的因式分解结果时，可将对应数量的三类卡片拼为一个大长方形，大长方形的长和宽的乘积即为该多项式，据此可得因式分解结果，画出对应拼图即可。
【解析】
（1）①方法1：拆分计算各小图形面积之和。观察图2可知，大长方形包含1个边长为$a$的正方形（面积为$a^2$）、2个长为1、宽为$a$的长方形（总面积为$2× a×1=2a$）、1个边长为1的正方形（面积为$1^2=1$），因此总面积为$a^2+2a+1$。
方法2：整体计算大长方形面积。观察可得大长方形的长和宽均为$a+1$，因此面积为$(a+1)×(a+1)=(a+1)^2$。
②两种方法计算的是同一个长方形的面积，因此两个代数式相等，可得等式$a^2+2a+1=(a+1)^2$。
（2）①推导完全平方和公式：取1张边长为$a$的正方形、2张长为$b$宽为$a$的长方形、1张边长为$b$的正方形，拼成边长为$(a+b)$的大正方形。整体计算大正方形面积为$(a+b)^2$，拆分计算各小图形面积和为$a^2+2ab+b^2$，因此得完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，拼图符合要求即可。
②推导$2a^2+5ab+2b^2$的因式分解：取2张边长为$a$的正方形、5张长为$b$宽为$a$的长方形、2张边长为$b$的正方形，拼成长为$2a+b$、宽为$a+2b$的大长方形。整体计算大长方形面积为$(2a+b)(a+2b)$，拆分计算面积和为$2a^2+5ab+2b^2$，因此$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$，拼图符合要求即可。
【答案】
（1）① $a^2+2a+1$；$(a+1)^2$ ② $a^2+2a+1=(a+1)^2$
（2）略
【知识点】
完全平方公式，因式分解的几何意义，整式面积计算
【点评】
本题通过几何拼图的形式考查整式运算与因式分解的相关知识，将代数公式与几何图形相结合，体现了数形结合的数学思想，能够帮助学生更直观地理解代数公式的内涵，掌握此类题的核心是抓住两种面积计算方法的等量关系。
【难度系数】
0.7
（1）①计算图2的长方形面积可采用两种思路：思路一为拆分求和，将大长方形拆分为若干个已知边长的小正方形和小长方形，分别计算各小图形的面积再求和；思路二为整体计算，先确定大长方形的长和宽，再利用长方形面积=长×宽直接计算。②由于两种方法计算的是同一个图形的面积，因此两个表示面积的代数式相等，即可得到对应等式。
（2）①推导完全平方公式时，可借助图3的卡片拼出边长为$(a+b)$的大正方形，分别通过整体求面积、拆分求小图形面积和两种方式得到等式，即可推出完全平方公式，画出对应拼图即可。②推导$2a^2+5ab+2b^2$的因式分解结果时，可将对应数量的三类卡片拼为一个大长方形，大长方形的长和宽的乘积即为该多项式，据此可得因式分解结果，画出对应拼图即可。
【解析】
（1）①方法1：拆分计算各小图形面积之和。观察图2可知，大长方形包含1个边长为$a$的正方形（面积为$a^2$）、2个长为1、宽为$a$的长方形（总面积为$2× a×1=2a$）、1个边长为1的正方形（面积为$1^2=1$），因此总面积为$a^2+2a+1$。
方法2：整体计算大长方形面积。观察可得大长方形的长和宽均为$a+1$，因此面积为$(a+1)×(a+1)=(a+1)^2$。
②两种方法计算的是同一个长方形的面积，因此两个代数式相等，可得等式$a^2+2a+1=(a+1)^2$。
（2）①推导完全平方和公式：取1张边长为$a$的正方形、2张长为$b$宽为$a$的长方形、1张边长为$b$的正方形，拼成边长为$(a+b)$的大正方形。整体计算大正方形面积为$(a+b)^2$，拆分计算各小图形面积和为$a^2+2ab+b^2$，因此得完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，拼图符合要求即可。
②推导$2a^2+5ab+2b^2$的因式分解：取2张边长为$a$的正方形、5张长为$b$宽为$a$的长方形、2张边长为$b$的正方形，拼成长为$2a+b$、宽为$a+2b$的大长方形。整体计算大长方形面积为$(2a+b)(a+2b)$，拆分计算面积和为$2a^2+5ab+2b^2$，因此$2a^2+5ab+2b^2=(2a+b)(a+2b)$，拼图符合要求即可。
【答案】
（1）① $a^2+2a+1$；$(a+1)^2$ ② $a^2+2a+1=(a+1)^2$
（2）略
【知识点】
完全平方公式，因式分解的几何意义，整式面积计算
【点评】
本题通过几何拼图的形式考查整式运算与因式分解的相关知识，将代数公式与几何图形相结合，体现了数形结合的数学思想，能够帮助学生更直观地理解代数公式的内涵，掌握此类题的核心是抓住两种面积计算方法的等量关系。
【难度系数】
0.7
