登录
1. 要使分式$\dfrac{x-3}{x^2+6x+9}$有意义，那么$x$的取值范围是 （）
A.$x≠3$
B.$x≠3$且$x≠-3$
C.$x≠0$且$x≠-3$
D.$x≠-3$
A.$x≠3$
B.$x≠3$且$x≠-3$
C.$x≠0$且$x≠-3$
D.$x≠-3$
答案
D
解析
分式有意义的条件是分母不为0，先对分母因式分解得$x^2+6x+9=(x+3)^2$，令分母不等于0，即$(x+3)^2≠0$，解得$x≠-3$。
2. 分式$\frac{x+a}{3x-1}$中,当$x=-a$时,下列结论正确的是 （）
A.分式的值为零
B.分式无意义
C.若$a≠-\frac{1}{3}$,分式的值为零
D.若$a≠\frac{1}{3}$,分式的值为零
A.分式的值为零
B.分式无意义
C.若$a≠-\frac{1}{3}$,分式的值为零
D.若$a≠\frac{1}{3}$,分式的值为零
答案
C
解析
根据分式值为0的条件：分子为0，且分母不为0。将x=-a代入分式：
1. 分子：x+a = -a +a = 0，分子满足为0的条件；
2. 分母：3x-1 = 3×(-a)-1 = -3a-1，要使分式有意义，需分母≠0，即-3a-1≠0，解得a≠-1/3。
因此当a≠-1/3时，分式的值为0，选项C正确。
1. 分子：x+a = -a +a = 0，分子满足为0的条件；
2. 分母：3x-1 = 3×(-a)-1 = -3a-1，要使分式有意义，需分母≠0，即-3a-1≠0，解得a≠-1/3。
因此当a≠-1/3时，分式的值为0，选项C正确。
3. 当分式$\dfrac{6}{2x - 3}$的值为整数时，自然数$x$的取值可能有 （）
A.3个
B.4个
C.6个
D.8个
A.3个
B.4个
C.6个
D.8个
答案
B
解析
要使分式$\dfrac{6}{2x-3}$的值为整数，则分母$2x-3$必须是6的整数因数，即$2x-3$的可能取值为$\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$。
分别求解对应x并筛选自然数：
1. $2x-3=1$，得$x=2$，符合要求；
2. $2x-3=-1$，得$x=1$，符合要求；
3. $2x-3=2$，得$x=2.5$，不是自然数，舍去；
4. $2x-3=-2$，得$x=0.5$，不是自然数，舍去；
5. $2x-3=3$，得$x=3$，符合要求；
6. $2x-3=-3$，得$x=0$，符合要求；
7. $2x-3=6$，得$x=4.5$，不是自然数，舍去；
8. $2x-3=-6$，得$x=-1.5$，不是自然数，舍去。
最终符合条件的自然数x共有4个。
分别求解对应x并筛选自然数：
1. $2x-3=1$，得$x=2$，符合要求；
2. $2x-3=-1$，得$x=1$，符合要求；
3. $2x-3=2$，得$x=2.5$，不是自然数，舍去；
4. $2x-3=-2$，得$x=0.5$，不是自然数，舍去；
5. $2x-3=3$，得$x=3$，符合要求；
6. $2x-3=-3$，得$x=0$，符合要求；
7. $2x-3=6$，得$x=4.5$，不是自然数，舍去；
8. $2x-3=-6$，得$x=-1.5$，不是自然数，舍去。
最终符合条件的自然数x共有4个。
4. 下列各分式中,最简分式是 （）
A.$\dfrac{34(x-y)}{85(x+y)}$
B.$\dfrac{x^2+y^2}{x^2y+xy^2}$
C.$\dfrac{y^2-x^2}{x+y}$
D.$\dfrac{x^2-y^{22}}{(x+y)^2}$
A.$\dfrac{34(x-y)}{85(x+y)}$
B.$\dfrac{x^2+y^2}{x^2y+xy^2}$
C.$\dfrac{y^2-x^2}{x+y}$
D.$\dfrac{x^2-y^{22}}{(x+y)^2}$
答案
B
解析
根据最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式是最简分式，逐一判断：
1. 选项A：分子系数34=17×2，分母系数85=17×5，分子分母存在公因式17，约分后得$\frac{2(x-y)}{5(x+y)}$，不是最简分式；
2. 选项B：分子$x^2+y^2$无法因式分解，分母$x^2y+xy^2=xy(x+y)$，分子分母没有公因式，是最简分式；
3. 选项C：分子$y^2-x^2=(y-x)(y+x)$，和分母$x+y$存在公因式$x+y$，约分后得$y-x$，不是最简分式；
4. 选项D：分子$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$（题干指数为输入笔误，符合七年级知识点的常规形式为平方），和分母$(x+y)^2$存在公因式$x+y$，约分后得$\frac{x-y}{x+y}$，不是最简分式。
综上，只有B是最简分式。
1. 选项A：分子系数34=17×2，分母系数85=17×5，分子分母存在公因式17，约分后得$\frac{2(x-y)}{5(x+y)}$，不是最简分式；
2. 选项B：分子$x^2+y^2$无法因式分解，分母$x^2y+xy^2=xy(x+y)$，分子分母没有公因式，是最简分式；
3. 选项C：分子$y^2-x^2=(y-x)(y+x)$，和分母$x+y$存在公因式$x+y$，约分后得$y-x$，不是最简分式；
4. 选项D：分子$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$（题干指数为输入笔误，符合七年级知识点的常规形式为平方），和分母$(x+y)^2$存在公因式$x+y$，约分后得$\frac{x-y}{x+y}$，不是最简分式。
综上，只有B是最简分式。
5.两个工程队共同参与一项筑路工程,甲队单独施工1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$,这时增加了乙队,两队又共同工作了半个月,总工程全部完成,求乙队单独完成总工程需多少个月。设乙队单独完成总工程需$x$个月,则下列方程正确的是
()
A.$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{x}=1$
B.$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{x}=1$
C.$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2x}=1$
D.$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{x})=1$
()
A.$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{x}=1$
B.$\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{x}=1$
C.$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2x}=1$
D.$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{x})=1$
答案
D
解析
根据工程问题的基本关系：工作量=工作效率×工作时间分析：
1. 甲队1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，因此甲的月工作效率为$\frac{1}{3}$；乙队单独完成总工程需$x$个月，因此乙的月工作效率为$\frac{1}{x}$。
2. 甲先单独施工1个月，完成的工作量为$\frac{1}{3}$；之后两队共同工作半个月，这部分的总工作量为两队效率和乘以共同工作时间，即$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{x})$。
3. 所有工作量之和等于总工程1，因此所列方程为$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{x})=1$。
1. 甲队1个月完成总工程的$\frac{1}{3}$，因此甲的月工作效率为$\frac{1}{3}$；乙队单独完成总工程需$x$个月，因此乙的月工作效率为$\frac{1}{x}$。
2. 甲先单独施工1个月，完成的工作量为$\frac{1}{3}$；之后两队共同工作半个月，这部分的总工作量为两队效率和乘以共同工作时间，即$\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{x})$。
3. 所有工作量之和等于总工程1，因此所列方程为$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{x})=1$。
6.已知$2x-3y=0$,则分式$\dfrac{x^2+5xy}{4x^2-3y^2}$的值是$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$\dfrac{13}{8}$
解析
已知$2x - 3y = 0$，可得$2x = 3y$，即$y = \frac{2}{3}x$，由分式有意义的条件可知$x≠0$，$y≠0$。
将$y = \frac{2}{3}x$代入分式计算：
分子：$x^2 + 5xy = x^2 + 5x·\frac{2}{3}x = x^2 + \frac{10}{3}x^2 = \frac{13}{3}x^2$
分母：$4x^2 - 3y^2 = 4x^2 - 3·(\frac{2}{3}x)^2 = 4x^2 - 3·\frac{4}{9}x^2 = 4x^2 - \frac{4}{3}x^2 = \frac{8}{3}x^2$
约去不为0的$x^2$，可得原式$=\frac{\frac{13}{3}x^2}{\frac{8}{3}x^2} = \frac{13}{8}$
将$y = \frac{2}{3}x$代入分式计算：
分子：$x^2 + 5xy = x^2 + 5x·\frac{2}{3}x = x^2 + \frac{10}{3}x^2 = \frac{13}{3}x^2$
分母：$4x^2 - 3y^2 = 4x^2 - 3·(\frac{2}{3}x)^2 = 4x^2 - 3·\frac{4}{9}x^2 = 4x^2 - \frac{4}{3}x^2 = \frac{8}{3}x^2$
约去不为0的$x^2$，可得原式$=\frac{\frac{13}{3}x^2}{\frac{8}{3}x^2} = \frac{13}{8}$
7.若关于$x$的分式方程$\dfrac{3}{x-4}+\dfrac{x+m}{4-x}=1$有增根，则$m$的值是。
答案
$-1$
解析
1. 确定增根：该分式方程的分母为$x-4$和$4-x$，令分母为0，即$x-4=0$，解得$x=4$，因此这个分式方程的增根为$x=4$。
2. 去分母转化为整式方程：给原方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$，可得：$3 - (x + m) = x - 4$。
3. 代入增根计算$m$的值：将增根$x=4$代入上述整式方程，得到$3-(4+m)=4-4$，化简后为$-1 - m = 0$，解得$m=-1$。
2. 去分母转化为整式方程：给原方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$，可得：$3 - (x + m) = x - 4$。
3. 代入增根计算$m$的值：将增根$x=4$代入上述整式方程，得到$3-(4+m)=4-4$，化简后为$-1 - m = 0$，解得$m=-1$。
8. 甲、乙两人做机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等，求甲、乙每小时各做多少个。若设甲每小时做x个，则可列方程为$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-6}$。
答案
甲每小时做18个零件，乙每小时做12个零件。
解析
1. 先根据设元表示乙的工作效率：设甲每小时做x个零件，由甲每小时比乙多做6个，可知乙每小时做$(x-6)$个零件。
2. 利用工作时间计算公式：$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，可得甲做90个零件的时间为$\frac{90}{x}$小时，乙做60个零件的时间为$\frac{60}{x-6}$小时。
3. 根据“甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等”的等量关系，列出方程$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-6}$。
4. 解分式方程：
方程两边同乘最简公分母$x(x-6)$，去分母得：$90(x-6)=60x$
展开括号：$90x-540=60x$
移项、合并同类项得：$30x=540$
系数化为1得：$x=18$
检验：将$x=18$代入$x(x-6)$，得$18×12=216≠0$，故$x=18$是原方程的解，且符合实际意义。
则乙每小时做的零件数为：$x-6=18-6=12$。
2. 利用工作时间计算公式：$\mathrm{工作时间}=\frac{\mathrm{工作总量}}{\mathrm{工作效率}}$，可得甲做90个零件的时间为$\frac{90}{x}$小时，乙做60个零件的时间为$\frac{60}{x-6}$小时。
3. 根据“甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等”的等量关系，列出方程$\frac{90}{x}=\frac{60}{x-6}$。
4. 解分式方程：
方程两边同乘最简公分母$x(x-6)$，去分母得：$90(x-6)=60x$
展开括号：$90x-540=60x$
移项、合并同类项得：$30x=540$
系数化为1得：$x=18$
检验：将$x=18$代入$x(x-6)$，得$18×12=216≠0$，故$x=18$是原方程的解，且符合实际意义。
则乙每小时做的零件数为：$x-6=18-6=12$。
9. 分式$\frac{1}{x^2 - 1}, \frac{x - 1}{x^2 - x}, \frac{1}{x^2 + 2x + 1}$的最简公分母是________。
答案
$x(x-1)(x+1)^2$
解析
求分式的最简公分母，先将各分母分别因式分解：
1. 第一个分母：$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$
2. 第二个分母：$x^2 - x = x(x-1)$
3. 第三个分母：$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$
取所有出现的因式的最高次幂相乘，得到最简公分母为$x(x-1)(x+1)^2$。
1. 第一个分母：$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$
2. 第二个分母：$x^2 - x = x(x-1)$
3. 第三个分母：$x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$
取所有出现的因式的最高次幂相乘，得到最简公分母为$x(x-1)(x+1)^2$。
