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10.(2024·重庆改编)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物物质,如图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图,其中灰球代表碳原子,白球代表氢原子.第1种(如图①)有4个氢原子,第2种(如图②)有6个氢原子,第3种(如图③)有8个氢原子,…,按照这一规律,第$n$种化合物的分子结构模型中有
2n+2
个氢原子.(用含$n$的式子表示)答案
10.(2n+2)
解析
【分析】首先观察题目给出的前4种化合物的氢原子数量：第1种有4个，第2种有6个，第3种有8个，第4种有10个，可发现氢原子数量随序号n的增加呈等差数列变化，公差为2，首项为4，据此推导第n种的氢原子数。
【解析】第1种（n=1）：氢原子数为$4=2×1+2$；第2种（n=2）：氢原子数为$6=2×2+2$；第3种（n=3）：氢原子数为$8=2×3+2$；第4种（n=4）：氢原子数为$10=2×4+2$；由此归纳可得，第n种化合物的氢原子数为$2n+2$。
【答案】$2n+2$
【知识点】找规律、代数式
【点评】本题通过烷烃分子结构的氢原子数量变化，考查学生的观察归纳能力，属于基础的规律探究题，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】第1种（n=1）：氢原子数为$4=2×1+2$；第2种（n=2）：氢原子数为$6=2×2+2$；第3种（n=3）：氢原子数为$8=2×3+2$；第4种（n=4）：氢原子数为$10=2×4+2$；由此归纳可得，第n种化合物的氢原子数为$2n+2$。
【答案】$2n+2$
【知识点】找规律、代数式
【点评】本题通过烷烃分子结构的氢原子数量变化，考查学生的观察归纳能力，属于基础的规律探究题，难度不大。
【难度系数】0.6
11. (1)某种商品的原价为 $x$ 元,第一次降价 $m\%$,第二次在第一次降价后的基础上再降价 $m\%$,第二次降价后的价格是多少元?
(2)某报刊零售部从报社以每份0.4元的价格购进了$a$份报纸,又以每份0.5元的价格出售了$b$份,剩下的以每份0.2元的价格退回给报社,该报刊零售部的利润是多少元?
(2)某报刊零售部从报社以每份0.4元的价格购进了$a$份报纸,又以每份0.5元的价格出售了$b$份,剩下的以每份0.2元的价格退回给报社,该报刊零售部的利润是多少元?
答案
解:(1)第一次降价后的价格为(1−m%)x元,第二次降价后的价格为(1−m%)x·(1−m%)=(1−m%)²x元.
(2)该报刊零售部的利润是[0.5b+0.2(a−b)−0.4a]元.
(2)该报刊零售部的利润是[0.5b+0.2(a−b)−0.4a]元.
解析
【分析】
本题分为两个小问题，第(1)问是连续两次降价的价格计算，需明确每次降价的基数不同，第一次降价以原价为基数，第二次降价以第一次降价后的价格为基数；第(2)问是利润计算，利润等于总收入减去总成本，需分别计算总收入和总成本的各部分构成，再作差。
【解析】
(1) 第一次降价是在原价$x$元的基础上降价$m\%$，则第一次降价后的价格为：$x(1 - m\%)$元；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降价$m\%$，因此第二次降价后的价格为：$x(1 - m\%) · (1 - m\%) = (1 - m\%)^2 x$元。
(2) 总收入包括两部分：卖出$b$份报纸的收入为$0.5b$元，退回$(a - b)$份报纸的收入为$0.2(a - b)$元，故总收入为$[0.5b + 0.2(a - b)]$元；总成本是购进$a$份报纸的费用，即$0.4a$元；因此利润 = 总收入 - 总成本 = $0.5b + 0.2(a - b) - 0.4a$元。
【答案】
(1) $(1 - m\%)^2 x$元；(2) $[0.5b + 0.2(a - b) - 0.4a]$元
【知识点】
列代数式、百分比应用、利润计算
【点评】
本题为基础的代数式应用题，分别考查连续降价的价格推导和利润的计算，核心是理清各量之间的关系，找准每次运算的基数和利润的构成，属于初中代数的基础题型，能帮助学生巩固代数式的实际应用。
【难度系数】
0.6
本题分为两个小问题，第(1)问是连续两次降价的价格计算，需明确每次降价的基数不同，第一次降价以原价为基数，第二次降价以第一次降价后的价格为基数；第(2)问是利润计算，利润等于总收入减去总成本，需分别计算总收入和总成本的各部分构成，再作差。
【解析】
(1) 第一次降价是在原价$x$元的基础上降价$m\%$，则第一次降价后的价格为：$x(1 - m\%)$元；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降价$m\%$，因此第二次降价后的价格为：$x(1 - m\%) · (1 - m\%) = (1 - m\%)^2 x$元。
(2) 总收入包括两部分：卖出$b$份报纸的收入为$0.5b$元，退回$(a - b)$份报纸的收入为$0.2(a - b)$元，故总收入为$[0.5b + 0.2(a - b)]$元；总成本是购进$a$份报纸的费用，即$0.4a$元；因此利润 = 总收入 - 总成本 = $0.5b + 0.2(a - b) - 0.4a$元。
【答案】
(1) $(1 - m\%)^2 x$元；(2) $[0.5b + 0.2(a - b) - 0.4a]$元
【知识点】
列代数式、百分比应用、利润计算
【点评】
本题为基础的代数式应用题，分别考查连续降价的价格推导和利润的计算，核心是理清各量之间的关系，找准每次运算的基数和利润的构成，属于初中代数的基础题型，能帮助学生巩固代数式的实际应用。
【难度系数】
0.6
12. 棱长为$a$的正方体按如图所示的方式摆在一起.
(1) 填表:
(2) 照这样的规律摆下去,$n$个正方体摆成的图形的表面积是多少?
(1) 填表:
(2) 照这样的规律摆下去,$n$个正方体摆成的图形的表面积是多少?
答案
解:(1)从左到右依次填6a²,10a²,14a²,18a².
(2)6a²+(n−1)·4a².
(2)6a²+(n−1)·4a².
解析
【分析】
首先，单个棱长为$a$的正方体表面积为$6a^2$，每增加1个正方体，会与前一个正方体重合1个面，导致总表面积减少2个面的面积（即$2a^2$）；而新增正方体本身表面积为$6a^2$，减去重合的$2a^2$，实际净增加$4a^2$。据此可计算不同数量正方体的表面积，再推导$n$个正方体的表面积规律。
【解析】
(1) 计算各数量正方体的表面积：
1个正方体：表面积$=6× a^2=6a^2$；
2个正方体：重合1处，减少$2a^2$，总表面积$=6a^2×2 - 2a^2=10a^2$；
3个正方体：重合2处，减少$2×2a^2$，总表面积$=6a^2×3 - 2×2a^2=14a^2$；
4个正方体：重合3处，减少$2×3a^2$，总表面积$=6a^2×4 - 2×3a^2=18a^2$；
故填表从左到右依次为$6a^2,10a^2,14a^2,18a^2$。
(2) $n$个正方体时，重合次数为$(n-1)$次，总表面积$=6na^2 - 2(n-1)a^2$，化简得：
$6na^2 - 2na^2 + 2a^2 = 4na^2 + 2a^2 = 6a^2 + (n-1)·4a^2$。
【答案】
(1) $6a^2,10a^2,14a^2,18a^2$；(2) $6a^2+(n−1)·4a^2$
【知识点】
立体图形表面积、规律探究
【点评】
本题通过正方体拼接的表面积变化，考查学生对立体图形表面积的计算及规律总结能力，核心是理解拼接时重合面对表面积的影响，难度适中。
【难度系数】
0.5
首先，单个棱长为$a$的正方体表面积为$6a^2$，每增加1个正方体，会与前一个正方体重合1个面，导致总表面积减少2个面的面积（即$2a^2$）；而新增正方体本身表面积为$6a^2$，减去重合的$2a^2$，实际净增加$4a^2$。据此可计算不同数量正方体的表面积，再推导$n$个正方体的表面积规律。
【解析】
(1) 计算各数量正方体的表面积：
1个正方体：表面积$=6× a^2=6a^2$；
2个正方体：重合1处，减少$2a^2$，总表面积$=6a^2×2 - 2a^2=10a^2$；
3个正方体：重合2处，减少$2×2a^2$，总表面积$=6a^2×3 - 2×2a^2=14a^2$；
4个正方体：重合3处，减少$2×3a^2$，总表面积$=6a^2×4 - 2×3a^2=18a^2$；
故填表从左到右依次为$6a^2,10a^2,14a^2,18a^2$。
(2) $n$个正方体时，重合次数为$(n-1)$次，总表面积$=6na^2 - 2(n-1)a^2$，化简得：
$6na^2 - 2na^2 + 2a^2 = 4na^2 + 2a^2 = 6a^2 + (n-1)·4a^2$。
【答案】
(1) $6a^2,10a^2,14a^2,18a^2$；(2) $6a^2+(n−1)·4a^2$
【知识点】
立体图形表面积、规律探究
【点评】
本题通过正方体拼接的表面积变化，考查学生对立体图形表面积的计算及规律总结能力，核心是理解拼接时重合面对表面积的影响，难度适中。
【难度系数】
0.5
