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知识点一 线段的垂直平分线
1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
2. 与线段两个端点距离
3. 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离
例1 如图，已知在$△ ABC$中，$DE$垂直平分$BC$，若$AB=5$，$△ ABD$的周长是13，则线段$AC$的长是 （
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析 因为$DE$垂直平分$BC$，所以$DC = DB$. 所以$△ ABD$的周长$=AB + BD + AD = AB + CD + AD = AB + AC =13$. 因为$AB=5$，所以$AC=8$.
答案 C
1. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离
相等
.2. 与线段两个端点距离
相等
的点在这条线段的垂直平分线上.3. 线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离
相等
的所有点的集合.例1 如图，已知在$△ ABC$中，$DE$垂直平分$BC$，若$AB=5$，$△ ABD$的周长是13，则线段$AC$的长是 （
C
）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
解析 因为$DE$垂直平分$BC$，所以$DC = DB$. 所以$△ ABD$的周长$=AB + BD + AD = AB + CD + AD = AB + AC =13$. 因为$AB=5$，所以$AC=8$.
答案 C
答案
1. 相等
2. 相等
3. 相等
例1. C
2. 相等
3. 相等
例1. C
解析
【分析】
前3道填空题考察线段垂直平分线的基础概念，分别对应其性质、判定、集合定义，识记相关概念即可作答。例1的解题思路为：首先根据DE是BC的垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质得到BD=CD；再将△ABD的周长中的BD等量替换为CD，可将周长转化为AB与AC的和；最后代入已知的周长和AB的长度，即可求出AC的长度。
【解析】
1. 由线段垂直平分线的性质可知：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，故填相等。
2. 由线段垂直平分线的判定可知：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故填相等。
3. 由线段垂直平分线的集合定义可知：线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合，故填相等。
例1：
∵DE垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质，
∴DC = DB。
△ABD的周长 = AB + BD + AD，将BD替换为DC可得：
周长 = AB + CD + AD = AB + AC。
已知△ABD周长为13，AB=5，代入得：5 + AC =13，解得AC=8。
【答案】
1. 相等
2. 相等
3. 相等
例1：C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；线段等量代换
【点评】
本组题目属于基础题型，填空题侧重基础概念的识记，例题侧重性质的简单应用，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转换，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
前3道填空题考察线段垂直平分线的基础概念，分别对应其性质、判定、集合定义，识记相关概念即可作答。例1的解题思路为：首先根据DE是BC的垂直平分线，结合线段垂直平分线的性质得到BD=CD；再将△ABD的周长中的BD等量替换为CD，可将周长转化为AB与AC的和；最后代入已知的周长和AB的长度，即可求出AC的长度。
【解析】
1. 由线段垂直平分线的性质可知：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，故填相等。
2. 由线段垂直平分线的判定可知：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故填相等。
3. 由线段垂直平分线的集合定义可知：线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合，故填相等。
例1：
∵DE垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质，
∴DC = DB。
△ABD的周长 = AB + BD + AD，将BD替换为DC可得：
周长 = AB + CD + AD = AB + AC。
已知△ABD周长为13，AB=5，代入得：5 + AC =13，解得AC=8。
【答案】
1. 相等
2. 相等
3. 相等
例1：C
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定；线段等量代换
【点评】
本组题目属于基础题型，填空题侧重基础概念的识记，例题侧重性质的简单应用，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转换，熟练掌握相关基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.85
例2 如图，在$△ ABC$中，边$AB$的垂直平分线$l_1$交$BC$于点$D$，边$AC$的垂直平分线$l_2$交$BC$于点$E$，$l_1$与$l_2$相交于点$O$，连接$OA$，$OB$，$OC$。
（1）若$△ ADE$的周长为8 cm，求线段$BC$的长；
（2）判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上。
—解题要点
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”是解本题的关键。
解（1）因为$l_1$是边$AB$的垂直平分线，
所以$DA＝DB$.
因为$l_2$是边$AC$的垂直平分线，
所以$EA＝EC$.
因为$△ ADE$的周长为8 cm，
所以$BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝8$ cm.
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上.
理由：因为$l_1$是边$AB$的垂直平分线，
所以$OA＝OB$.
因为$l_2$是边$AC$的垂直平分线，
所以$OA＝OC$.
所以$OB＝OC$.
所以点$O$在$BC$的垂直平分线上。
（1）若$△ ADE$的周长为8 cm，求线段$BC$的长；
（2）判断点$O$是否在$BC$的垂直平分线上。
—解题要点
本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握“线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等”是解本题的关键。
解（1）因为$l_1$是边$AB$的垂直平分线，
所以$DA＝DB$.
因为$l_2$是边$AC$的垂直平分线，
所以$EA＝EC$.
因为$△ ADE$的周长为8 cm，
所以$BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝8$ cm.
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上.
理由：因为$l_1$是边$AB$的垂直平分线，
所以$OA＝OB$.
因为$l_2$是边$AC$的垂直平分线，
所以$OA＝OC$.
所以$OB＝OC$.
所以点$O$在$BC$的垂直平分线上。
答案
解：
（1）∵ $l_1$是边$AB$的垂直平分线，
∴ $DA=DB$。
∵ $l_2$是边$AC$的垂直平分线，
∴ $EA=EC$。
∵ $△ ADE$的周长为8 cm，
∴ $BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8\ \mathrm{cm}$。
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上，理由如下：
∵ $l_1$是边$AB$的垂直平分线，
∴ $OA=OB$。
∵ $l_2$是边$AC$的垂直平分线，
∴ $OA=OC$。
∴ $OB=OC$。
∴ 点$O$在$BC$的垂直平分线上。
（1）∵ $l_1$是边$AB$的垂直平分线，
∴ $DA=DB$。
∵ $l_2$是边$AC$的垂直平分线，
∴ $EA=EC$。
∵ $△ ADE$的周长为8 cm，
∴ $BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8\ \mathrm{cm}$。
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上，理由如下：
∵ $l_1$是边$AB$的垂直平分线，
∴ $OA=OB$。
∵ $l_2$是边$AC$的垂直平分线，
∴ $OA=OC$。
∴ $OB=OC$。
∴ 点$O$在$BC$的垂直平分线上。
解析
【分析】
（1）求解线段BC的长，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。已知$l_1$是AB的垂直平分线，可得$DA=DB$；$l_2$是AC的垂直平分线，可得$EA=EC$。观察BC的组成：$BC=BD+DE+EC$，将BD替换为DA、EC替换为EA，可发现BC的长度恰好等于$△ ADE$的周长，结合已知的$△ ADE$周长即可求出BC的长。
（2）判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明$OB=OC$即可。点O在AB的垂直平分线$l_1$上，可得$OA=OB$；点O在AC的垂直平分线$l_2$上，可得$OA=OC$，通过等量代换得到$OB=OC$，即可得出结论。
【解析】
（1）
∵ $l_1$是边$AB$的垂直平分线，
∴ $DA=DB$。
∵ $l_2$是边$AC$的垂直平分线，
∴ $EA=EC$。
∵ $△ ADE$的周长为8 cm，
∴ $BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8\ \mathrm{cm}$。
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上，理由如下：
∵ $l_1$是边$AB$的垂直平分线，
∴ $OA=OB$。
∵ $l_2$是边$AC$的垂直平分线，
∴ $OA=OC$。
∴ $OB=OC$。
∴ 点$O$在$BC$的垂直平分线上。
【答案】
（1）线段$BC$的长为$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$；
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质与判定的应用，解题核心是利用性质完成线段的等量转化，结合判定定理完成证明，解题思路清晰，属于对基础知识点的直接考察。
【难度系数】
0.8
（1）求解线段BC的长，首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。已知$l_1$是AB的垂直平分线，可得$DA=DB$；$l_2$是AC的垂直平分线，可得$EA=EC$。观察BC的组成：$BC=BD+DE+EC$，将BD替换为DA、EC替换为EA，可发现BC的长度恰好等于$△ ADE$的周长，结合已知的$△ ADE$周长即可求出BC的长。
（2）判断点O是否在BC的垂直平分线上，依据线段垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，因此只需证明$OB=OC$即可。点O在AB的垂直平分线$l_1$上，可得$OA=OB$；点O在AC的垂直平分线$l_2$上，可得$OA=OC$，通过等量代换得到$OB=OC$，即可得出结论。
【解析】
（1）
∵ $l_1$是边$AB$的垂直平分线，
∴ $DA=DB$。
∵ $l_2$是边$AC$的垂直平分线，
∴ $EA=EC$。
∵ $△ ADE$的周长为8 cm，
∴ $BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8\ \mathrm{cm}$。
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上，理由如下：
∵ $l_1$是边$AB$的垂直平分线，
∴ $OA=OB$。
∵ $l_2$是边$AC$的垂直平分线，
∴ $OA=OC$。
∴ $OB=OC$。
∴ 点$O$在$BC$的垂直平分线上。
【答案】
（1）线段$BC$的长为$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$；
（2）点$O$在$BC$的垂直平分线上。
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题考查线段垂直平分线性质与判定的应用，解题核心是利用性质完成线段的等量转化，结合判定定理完成证明，解题思路清晰，属于对基础知识点的直接考察。
【难度系数】
0.8
