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1. 等腰三角形的一个内角为$110°$，则这个等腰三角形的底角的度数是（
A.$35°$
B.$55°$
C.$35°$或$55°$
D.$110°$
A
）A.$35°$
B.$55°$
C.$35°$或$55°$
D.$110°$
答案
1. A
解析
【分析】
首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等，同时三角形内角和为180°。解题时先对110°的内角是顶角还是底角进行分类讨论：若110°为底角，计算两个底角的和会超过180°，不符合三角形内角和定理，因此该角只能是顶角，再结合内角和即可计算出底角的度数。
【解析】
解：已知等腰三角形的一个内角为110°，分两种情况讨论：
① 若该角为底角：
∵ 等腰三角形两底角相等，
∴ 两个底角的和为 $110° + 110° = 220°$，
又
∵ 三角形内角和为 $180°$，$220°＞180°$，不符合三角形内角和定理，故该情况不成立；
② 若该角为顶角：
则底角的度数为 $\frac{180° - 110°}{2} = 35°$。
综上，这个等腰三角形的底角度数为35°，故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题时需注意结合三角形内角和定理，先判断已知钝角的类型，避免忽略内角和的限制，错认为两种情况都成立。
【难度系数】
0.75
首先回忆等腰三角形的性质：等腰三角形两个底角相等，同时三角形内角和为180°。解题时先对110°的内角是顶角还是底角进行分类讨论：若110°为底角，计算两个底角的和会超过180°，不符合三角形内角和定理，因此该角只能是顶角，再结合内角和即可计算出底角的度数。
【解析】
解：已知等腰三角形的一个内角为110°，分两种情况讨论：
① 若该角为底角：
∵ 等腰三角形两底角相等，
∴ 两个底角的和为 $110° + 110° = 220°$，
又
∵ 三角形内角和为 $180°$，$220°＞180°$，不符合三角形内角和定理，故该情况不成立；
② 若该角为顶角：
则底角的度数为 $\frac{180° - 110°}{2} = 35°$。
综上，这个等腰三角形的底角度数为35°，故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形性质的基础应用题，解题时需注意结合三角形内角和定理，先判断已知钝角的类型，避免忽略内角和的限制，错认为两种情况都成立。
【难度系数】
0.75
2. 已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个等腰三角形的周长是(
A.17
B.22
C.13
D.17或22
B
)A.17
B.22
C.13
D.17或22
答案
2. B
解析
【分析】
本题考查等腰三角形周长计算，解题思路如下：首先，等腰三角形两条腰长度相等，已知的两边长4和9都有可能为腰，因此需要分两种情况讨论；其次，构成三角形必须满足三边关系（任意两边之和大于第三边），需要对每种情况的三边长进行验证，排除无法构成三角形的情况；最后对符合条件的情况计算周长即可得到答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为4，底边长为9，则三角形三边长为4、4、9
∵ $4 + 4 = 8 ＜ 9$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求
∴ 该情况无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为9，底边长为4，则三角形三边长为9、9、4
∵ $4 + 9 = 13 ＞ 9$，满足三角形三边关系
∴ 该情况成立，此时三角形周长为$9 + 9 + 4 = 22$。
综上，这个等腰三角形的周长为22，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的易错题，很多同学会忽略验证三角形三边关系，直接认为两种情况都成立误选D，解题时要养成先判断三边能否构成三角形，再计算相关量的习惯，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
本题考查等腰三角形周长计算，解题思路如下：首先，等腰三角形两条腰长度相等，已知的两边长4和9都有可能为腰，因此需要分两种情况讨论；其次，构成三角形必须满足三边关系（任意两边之和大于第三边），需要对每种情况的三边长进行验证，排除无法构成三角形的情况；最后对符合条件的情况计算周长即可得到答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若腰长为4，底边长为9，则三角形三边长为4、4、9
∵ $4 + 4 = 8 ＜ 9$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求
∴ 该情况无法构成三角形，舍去；
② 若腰长为9，底边长为4，则三角形三边长为9、9、4
∵ $4 + 9 = 13 ＞ 9$，满足三角形三边关系
∴ 该情况成立，此时三角形周长为$9 + 9 + 4 = 22$。
综上，这个等腰三角形的周长为22，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形相关的易错题，很多同学会忽略验证三角形三边关系，直接认为两种情况都成立误选D，解题时要养成先判断三边能否构成三角形，再计算相关量的习惯，避免漏判出错。
【难度系数】
0.6
3. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AD=CD$，$∠ C=40°$，则$∠ BAD$的度数为（
A.$35°$
B.$30°$
C.$25°$
D.$20°$
D
）A.$35°$
B.$30°$
C.$25°$
D.$20°$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，首先根据AD=CD结合等边对等角的性质求出∠DAC的度数，再利用三角形外角的性质计算出∠ADB的度数，之后由AB=AD得到∠B与∠ADB相等，最后在△ABD中利用三角形内角和定理即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵ AD=CD，∠C=40°
∴ ∠DAC=∠C=40°（等腰三角形等边对等角）
∵ ∠ADB是△ADC的外角
∴ ∠ADB=∠C+∠DAC=40°+40°=80°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又
∵ AB=AD
∴ ∠B=∠ADB=80°（等腰三角形等边对等角）
在△ABD中，根据三角形内角和为180°：
∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-80°-80°=20°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题的关键是理清各角之间的数量关系，逐步推导所求角的度数，是三角形角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，首先根据AD=CD结合等边对等角的性质求出∠DAC的度数，再利用三角形外角的性质计算出∠ADB的度数，之后由AB=AD得到∠B与∠ADB相等，最后在△ABD中利用三角形内角和定理即可求出∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵ AD=CD，∠C=40°
∴ ∠DAC=∠C=40°（等腰三角形等边对等角）
∵ ∠ADB是△ADC的外角
∴ ∠ADB=∠C+∠DAC=40°+40°=80°（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）
又
∵ AB=AD
∴ ∠B=∠ADB=80°（等腰三角形等边对等角）
在△ABD中，根据三角形内角和为180°：
∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-80°-80°=20°
故选：D
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形性质与三角形角度计算的综合题，解题的关键是理清各角之间的数量关系，逐步推导所求角的度数，是三角形角度计算的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在等腰三角形 $ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ AD $ 是边 $ BC $ 上的高，则下列结论不正确的是 （
A.$ BD = CD $
B.$ ∠ BAC = ∠ ABC $
C.$ AD $ 平分 $ ∠ BAC $
D.$ S_{△ ABD} = S_{△ ACD} $
B
）A.$ BD = CD $
B.$ ∠ BAC = ∠ ABC $
C.$ AD $ 平分 $ ∠ BAC $
D.$ S_{△ ABD} = S_{△ ACD} $
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质——三线合一，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合。结合已知条件AB=AC、AD是BC边上的高，可推导出AD同时是BC的中线和∠BAC的角平分线，再依次验证每个选项是否正确，找出错误选项即可。
【解析】
解：已知在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质：
1. AD是BC边上的中线，因此BD=CD，故A选项结论正确，不符合题意；
2. AD是∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC，故C选项结论正确，不符合题意；
3. △ABD和△ACD中，底BD=CD，高均为AD，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，故D选项结论正确，不符合题意；
4. 等腰△ABC中AB=AC，根据等边对等角可得底角∠B=∠C，顶角∠BAC仅当△ABC为等边三角形时才与底角相等，题干未说明△ABC是等边三角形，因此∠BAC≠∠ABC，故B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，等边对等角，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线重合的特点，同时注意普通等腰三角形顶角和底角不相等，仅等边三角形三个内角均相等。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等腰三角形的核心性质——三线合一，即等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合。结合已知条件AB=AC、AD是BC边上的高，可推导出AD同时是BC的中线和∠BAC的角平分线，再依次验证每个选项是否正确，找出错误选项即可。
【解析】
解：已知在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，根据等腰三角形“三线合一”的性质：
1. AD是BC边上的中线，因此BD=CD，故A选项结论正确，不符合题意；
2. AD是∠BAC的角平分线，因此AD平分∠BAC，故C选项结论正确，不符合题意；
3. △ABD和△ACD中，底BD=CD，高均为AD，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得$S_{△ABD}=S_{△ACD}$，故D选项结论正确，不符合题意；
4. 等腰△ABC中AB=AC，根据等边对等角可得底角∠B=∠C，顶角∠BAC仅当△ABC为等边三角形时才与底角相等，题干未说明△ABC是等边三角形，因此∠BAC≠∠ABC，故B选项结论错误，符合题意。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，等边对等角，三角形面积计算
【点评】
本题属于基础题，重点考查等腰三角形三线合一性质的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线三线重合的特点，同时注意普通等腰三角形顶角和底角不相等，仅等边三角形三个内角均相等。
【难度系数】
0.8
5. 若等腰三角形的一个外角是$128°$，则这个等腰三角形的顶角的度数是
76°或 52°
。答案
5. 76°或 52°
解析
【分析】
首先根据外角与相邻内角互补，求出与该外角相邻的内角度数为52°。由于题目未明确该外角是顶角的外角还是底角的外角，因此需要分两种情况讨论：①该内角是等腰三角形的底角；②该内角是等腰三角形的顶角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°分别计算顶角的度数，最后验证两种情况均符合三角形的性质即可。
【解析】
解：
∵等腰三角形的一个外角为128°，
∴与这个外角相邻的内角度数为$180°-128°=52°$，分两种情况讨论：
①若$52°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等，
则顶角的度数为：$180°-52°×2=180°-104°=76°$；
②若$52°$是等腰三角形的顶角，此时顶角就是$52°$，底角为$(180°-52°)÷2=64°$，符合三角形内角和定理。
综上，这个等腰三角形的顶角的度数是$76°$或$52°$。
【答案】
$76°$或$52°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题考查等腰三角形性质的应用，易错点是忽略分情况讨论，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要明确未说明的角需要分顶角、底角两种情况分析，同时注意验证结果是否符合三角形内角和要求。
【难度系数】
0.7
首先根据外角与相邻内角互补，求出与该外角相邻的内角度数为52°。由于题目未明确该外角是顶角的外角还是底角的外角，因此需要分两种情况讨论：①该内角是等腰三角形的底角；②该内角是等腰三角形的顶角，结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°分别计算顶角的度数，最后验证两种情况均符合三角形的性质即可。
【解析】
解：
∵等腰三角形的一个外角为128°，
∴与这个外角相邻的内角度数为$180°-128°=52°$，分两种情况讨论：
①若$52°$是等腰三角形的底角，根据等腰三角形两底角相等，
则顶角的度数为：$180°-52°×2=180°-104°=76°$；
②若$52°$是等腰三角形的顶角，此时顶角就是$52°$，底角为$(180°-52°)÷2=64°$，符合三角形内角和定理。
综上，这个等腰三角形的顶角的度数是$76°$或$52°$。
【答案】
$76°$或$52°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题考查等腰三角形性质的应用，易错点是忽略分情况讨论，只计算其中一种情况导致漏解，解题时要明确未说明的角需要分顶角、底角两种情况分析，同时注意验证结果是否符合三角形内角和要求。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，若C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6. D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确“△ABC是以AB为腰的等腰三角形”的含义，需分两种情况讨论：①AB=AC，即点A为等腰三角形的顶角顶点；②AB=BC，即点B为等腰三角形的顶角顶点。我们可以先通过勾股定理算出AB的长度，再分别在网格中找出满足两种情况的格点C，最后排除无法构成三角形的点，统计符合要求的点的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
分两种情况讨论：
1. 当$AB=AC$时，找所有到点A的距离为$\sqrt{13}$的格点：满足横、纵坐标与A的差的平方和为13的格点，除点B外，共有2个符合条件的格点，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形；
2. 当$AB=BC$时，找所有到点B的距离为$\sqrt{13}$的格点：满足横、纵坐标与B的差的平方和为13的格点，除点A外，共有2个符合条件的格点，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形。
综上，符合要求的点C共有$2+2=4$个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理的应用，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是掌握等腰三角形的判定，按照“AB为腰”的要求分两类讨论，逐一排查格点，注意不要漏解，同时要排除三点共线无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确“△ABC是以AB为腰的等腰三角形”的含义，需分两种情况讨论：①AB=AC，即点A为等腰三角形的顶角顶点；②AB=BC，即点B为等腰三角形的顶角顶点。我们可以先通过勾股定理算出AB的长度，再分别在网格中找出满足两种情况的格点C，最后排除无法构成三角形的点，统计符合要求的点的个数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$
分两种情况讨论：
1. 当$AB=AC$时，找所有到点A的距离为$\sqrt{13}$的格点：满足横、纵坐标与A的差的平方和为13的格点，除点B外，共有2个符合条件的格点，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形；
2. 当$AB=BC$时，找所有到点B的距离为$\sqrt{13}$的格点：满足横、纵坐标与B的差的平方和为13的格点，除点A外，共有2个符合条件的格点，且均不与A、B共线，可构成等腰三角形。
综上，符合要求的点C共有$2+2=4$个。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，勾股定理的应用，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是掌握等腰三角形的判定，按照“AB为腰”的要求分两类讨论，逐一排查格点，注意不要漏解，同时要排除三点共线无法构成三角形的情况。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$△ ABC$中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD。若$CD=AD$，$∠ B=20°$，则下列结论错误的是（
A.$∠ CAD=40°$
B.$∠ ACD=70°$
C.$AD=BD$
D.$∠ ACB=90°$
A
）A.$∠ CAD=40°$
B.$∠ ACD=70°$
C.$AD=BD$
D.$∠ ACB=90°$
答案
7. A
解析
【分析】
首先根据题中的作图步骤判断出直线MN是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得CD=BD；结合已知CD=AD，可推出AD=BD=CD，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和定理、邻补角的性质逐一计算各角的度数，最后对照选项判断正误即可。
【解析】
由作图步骤可知，MN是BC的垂直平分线，
∴ CD=BD，故C选项结论正确，不符合题意；
∵ ∠B=20°，
∴ ∠DCB=∠B=20°，
∴ ∠CDB=180°-∠B-∠DCB=180°-20°-20°=140°，
∴ ∠CDA=180°-∠CDB=180°-140°=40°，
又
∵ CD=AD，即△ACD是等腰三角形，
∴ ∠CAD=∠ACD=(180°-∠CDA)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
故B选项结论正确，不符合题意，A选项结论错误，符合题意；
∠ACB=∠ACD+∠DCB=70°+20°=90°，故D选项结论正确，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线和等腰三角形的相关性质，解题的关键是先根据作图特征确定MN是BC的垂直平分线，再结合等边对等角的性质逐步推导角度。
【难度系数】
0.7
首先根据题中的作图步骤判断出直线MN是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得CD=BD；结合已知CD=AD，可推出AD=BD=CD，再利用等腰三角形“等边对等角”的性质、三角形内角和定理、邻补角的性质逐一计算各角的度数，最后对照选项判断正误即可。
【解析】
由作图步骤可知，MN是BC的垂直平分线，
∴ CD=BD，故C选项结论正确，不符合题意；
∵ ∠B=20°，
∴ ∠DCB=∠B=20°，
∴ ∠CDB=180°-∠B-∠DCB=180°-20°-20°=140°，
∴ ∠CDA=180°-∠CDB=180°-140°=40°，
又
∵ CD=AD，即△ACD是等腰三角形，
∴ ∠CAD=∠ACD=(180°-∠CDA)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
故B选项结论正确，不符合题意，A选项结论错误，符合题意；
∠ACB=∠ACD+∠DCB=70°+20°=90°，故D选项结论正确，不符合题意。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合尺规作图考查线段垂直平分线和等腰三角形的相关性质，解题的关键是先根据作图特征确定MN是BC的垂直平分线，再结合等边对等角的性质逐步推导角度。
【难度系数】
0.7
