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8. 如图，点O在直线l上，点A在直线l外，要在直线l上找出一点P使△APO为等腰三角形，这样的点P有多少个？
答案
点P有4个
解析
【分析】
要找到直线l上使△APO为等腰三角形的点P，需按照等腰三角形腰和底的不同情况分类讨论：先将OA分为作为腰、作为底边两类大情况，其中OA为腰时还要区分顶角顶点是O还是A两种子情况，分别通过画圆或作垂直平分线的方式找与直线l的交点，排除不能构成三角形的点后统计个数即可。
【解析】
我们分3种情况讨论：
1. 以O为顶角顶点，OA为腰：此时满足$OP=OA$。以O为圆心，OA长度为半径画弧，与直线l交于2个点，这2个点均满足条件，可作为点P；
2. 以A为顶角顶点，OA为腰：此时满足$AP=AO$。以A为圆心，AO长度为半径画弧，与直线l交于O点和另外1个点，O点与A、O共线不能构成三角形，舍去，因此得到1个符合条件的点P；
3. 以OA为等腰三角形的底边：此时满足$PO=PA$。作线段OA的垂直平分线，与直线l交于1个点，该点到O、A的距离相等，符合条件，可作为点P。
综上，符合条件的点P共有$2+1+1=4$个。
【答案】
点P有4个
【知识点】
等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是对等腰三角形的构成进行不重不漏的分类讨论，很多学生容易因遗漏某一种情况导致计数错误，解题时明确区分顶角顶点、腰和底边的不同情况，结合几何作图找交点的方法能有效避免漏解。
【难度系数】
0.6
要找到直线l上使△APO为等腰三角形的点P，需按照等腰三角形腰和底的不同情况分类讨论：先将OA分为作为腰、作为底边两类大情况，其中OA为腰时还要区分顶角顶点是O还是A两种子情况，分别通过画圆或作垂直平分线的方式找与直线l的交点，排除不能构成三角形的点后统计个数即可。
【解析】
我们分3种情况讨论：
1. 以O为顶角顶点，OA为腰：此时满足$OP=OA$。以O为圆心，OA长度为半径画弧，与直线l交于2个点，这2个点均满足条件，可作为点P；
2. 以A为顶角顶点，OA为腰：此时满足$AP=AO$。以A为圆心，AO长度为半径画弧，与直线l交于O点和另外1个点，O点与A、O共线不能构成三角形，舍去，因此得到1个符合条件的点P；
3. 以OA为等腰三角形的底边：此时满足$PO=PA$。作线段OA的垂直平分线，与直线l交于1个点，该点到O、A的距离相等，符合条件，可作为点P。
综上，符合条件的点P共有$2+1+1=4$个。
【答案】
点P有4个
【知识点】
等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题解题的核心是对等腰三角形的构成进行不重不漏的分类讨论，很多学生容易因遗漏某一种情况导致计数错误，解题时明确区分顶角顶点、腰和底边的不同情况，结合几何作图找交点的方法能有效避免漏解。
【难度系数】
0.6
9. 如图所示，在$△ ABC$中，$AB = AC$，$∠ ABC=36°$，$D$，$E$是$BC$上两点，且$∠ BAD=∠ DAE=∠ EAC$，则图中有多少个等腰三角形？
答案
图中有6个等腰三角形
解析
【分析】
解题时先利用已知等腰$△ ABC$的条件，结合三角形内角和定理算出顶角$∠ BAC$的度数，再根据三个角相等的条件求出$∠ BAD$、$∠ DAE$、$∠ EAC$的度数，最后依据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，按顺序逐一判断图中的三角形是否为等腰三角形，避免漏数或多数。
【解析】
1. 先计算各角度数：
已知$AB=AC$，$∠ ABC=36°$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ ACB=∠ ABC=36°$，
由三角形内角和为$180°$，得$∠ BAC=180°-36°×2=108°$。
因为$∠ BAD=∠ DAE=∠ EAC$，所以每个角的度数为$108°÷3=36°$。
2. 逐个判断等腰三角形：
① $△ ABC$：$AB=AC$，是等腰三角形；
② $△ ABD$：$∠ BAD=∠ ABD=36°$，根据等角对等边得$AD=BD$，是等腰三角形；
③ $△ ADE$：$∠ ADB=180°-36°-36°=108°$，故$∠ ADE=180°-108°=72°$，同理得$∠ AED=72°$，$∠ ADE=∠ AED$，得$AD=AE$，是等腰三角形；
④ $△ AEC$：$∠ EAC=∠ ACE=36°$，根据等角对等边得$AE=CE$，是等腰三角形；
⑤ $△ ABE$：$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72°$，$∠ AEB=72°$，$∠ BAE=∠ AEB$，得$AB=BE$，是等腰三角形；
⑥ $△ ADC$：$∠ DAC=∠ DAE+∠ EAC=72°$，$∠ ADC=72°$，$∠ DAC=∠ ADC$，得$AC=DC$，是等腰三角形。
综上共有6个等腰三角形。
【答案】
图中有6个等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心是运用等腰三角形的性质和判定解决计数问题，解题的关键是准确计算出各内角的度数，按固定顺序枚举三角形可有效避免漏数、多数的错误。
【难度系数】
0.6
解题时先利用已知等腰$△ ABC$的条件，结合三角形内角和定理算出顶角$∠ BAC$的度数，再根据三个角相等的条件求出$∠ BAD$、$∠ DAE$、$∠ EAC$的度数，最后依据“等角对等边”的等腰三角形判定定理，按顺序逐一判断图中的三角形是否为等腰三角形，避免漏数或多数。
【解析】
1. 先计算各角度数：
已知$AB=AC$，$∠ ABC=36°$，根据等腰三角形等边对等角的性质，得$∠ ACB=∠ ABC=36°$，
由三角形内角和为$180°$，得$∠ BAC=180°-36°×2=108°$。
因为$∠ BAD=∠ DAE=∠ EAC$，所以每个角的度数为$108°÷3=36°$。
2. 逐个判断等腰三角形：
① $△ ABC$：$AB=AC$，是等腰三角形；
② $△ ABD$：$∠ BAD=∠ ABD=36°$，根据等角对等边得$AD=BD$，是等腰三角形；
③ $△ ADE$：$∠ ADB=180°-36°-36°=108°$，故$∠ ADE=180°-108°=72°$，同理得$∠ AED=72°$，$∠ ADE=∠ AED$，得$AD=AE$，是等腰三角形；
④ $△ AEC$：$∠ EAC=∠ ACE=36°$，根据等角对等边得$AE=CE$，是等腰三角形；
⑤ $△ ABE$：$∠ BAE=∠ BAD+∠ DAE=72°$，$∠ AEB=72°$，$∠ BAE=∠ AEB$，得$AB=BE$，是等腰三角形；
⑥ $△ ADC$：$∠ DAC=∠ DAE+∠ EAC=72°$，$∠ ADC=72°$，$∠ DAC=∠ ADC$，得$AC=DC$，是等腰三角形。
综上共有6个等腰三角形。
【答案】
图中有6个等腰三角形
【知识点】
等腰三角形的判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题核心是运用等腰三角形的性质和判定解决计数问题，解题的关键是准确计算出各内角的度数，按固定顺序枚举三角形可有效避免漏数、多数的错误。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在 $△ ABC$ 中，$ED // BC$，$∠ ABC$ 和 $∠ ACB$ 的平分线分别交 $ED$ 于点 $G$，$F$。若 $FG = 2$，$ED = 4$，求 $EB + DC$ 的值。
答案
10. 解 因为BG平分∠EBC，
所以∠EBG=∠GBC.
因为ED//BC，所以∠EGB=∠GBC.
所以∠EBG=∠EGB. 所以EB=EG.
同理可得DF=DC. 所以EB+DC=EG+DF=ED+FG=4+2=6.
所以∠EBG=∠GBC.
因为ED//BC，所以∠EGB=∠GBC.
所以∠EBG=∠EGB. 所以EB=EG.
同理可得DF=DC. 所以EB+DC=EG+DF=ED+FG=4+2=6.
解析
【分析】
解题时先观察题干给出的条件：存在角平分线、平行线，首先结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，可得到相等的角，再利用等角对等边的判定定理，将EB转化为EG、DC转化为DF，最后通过线段的和差关系，把EG+DF转化为ED与FG的和，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵BG平分∠ABC，
∴∠EBG=∠GBC，
∵$ED // BC$，
∴∠EGB=∠GBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBG=∠EGB，
∴EB=EG（等角对等边），
同理，CF平分∠ACB，故∠DCF=∠FCB，
∵$ED // BC$，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF，
∴$EB+DC=EG+DF$，
又
∵线段ED上的点按E、F、G、D顺序排列，
∴$EG+DF=(EF+FG)+(DG+FG)=(EF+FG+DG)+FG=ED+FG$，
已知$ED=4$，$FG=2$，
∴$EB+DC=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“角平分线+平行线”模型的典型应用，解题核心是通过该模型快速得到等腰三角形，实现线段的等量转化，再结合线段和差关系求解，需要熟练掌握相关几何性质，提升对图形中线段关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
解题时先观察题干给出的条件：存在角平分线、平行线，首先结合角平分线的定义和平行线内错角相等的性质，可得到相等的角，再利用等角对等边的判定定理，将EB转化为EG、DC转化为DF，最后通过线段的和差关系，把EG+DF转化为ED与FG的和，代入已知数值即可求出结果。
【解析】
解：
∵BG平分∠ABC，
∴∠EBG=∠GBC，
∵$ED // BC$，
∴∠EGB=∠GBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠EBG=∠EGB，
∴EB=EG（等角对等边），
同理，CF平分∠ACB，故∠DCF=∠FCB，
∵$ED // BC$，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠DFC，
∴DC=DF，
∴$EB+DC=EG+DF$，
又
∵线段ED上的点按E、F、G、D顺序排列，
∴$EG+DF=(EF+FG)+(DG+FG)=(EF+FG+DG)+FG=ED+FG$，
已知$ED=4$，$FG=2$，
∴$EB+DC=4+2=6$。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题是“角平分线+平行线”模型的典型应用，解题核心是通过该模型快速得到等腰三角形，实现线段的等量转化，再结合线段和差关系求解，需要熟练掌握相关几何性质，提升对图形中线段关系的分析能力。
【难度系数】
0.7
