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【例2】如图13.3-12，在$△ ABC$中，$∠ B=25°$，$∠ BAC=31°$，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分$∠ ACD$，交AD于点E.
(1) 求$∠ ACD$的度数.
(2) 求$∠ AEC$的度数.
【点拨】(1) 显然可以直接利用三角形内外角关系求解.(2) 观察所求$∠ AEC$为$△ ECD$的外角，而$∠ D$为$90°$，故由第 (1) 问结果和角平分线条件不难解决.
(1) 求$∠ ACD$的度数.
(2) 求$∠ AEC$的度数.
【点拨】(1) 显然可以直接利用三角形内外角关系求解.(2) 观察所求$∠ AEC$为$△ ECD$的外角，而$∠ D$为$90°$，故由第 (1) 问结果和角平分线条件不难解决.
答案
解： (1)
∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠B=25°，∠BAC=31°，
∴∠ACD=25°+31°=56°.
(2)
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°.
∵∠ACD=56°，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD=28°，
∴∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118°.
∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠B=25°，∠BAC=31°，
∴∠ACD=25°+31°=56°.
(2)
∵AD⊥BD，
∴∠D=90°.
∵∠ACD=56°，CE平分∠ACD，
∴∠ECD=$\frac{1}{2}$∠ACD=28°，
∴∠AEC=∠ECD+∠D=28°+90°=118°.
解析
【分析】
(1) 求∠ACD的度数时，首先观察角的位置，∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接将已知的∠B和∠BAC的度数相加即可求解。
(2) 求∠AEC的度数时，首先由AD是BC边上的高可得∠D=90°；再结合CE平分∠ACD的条件，先求出∠ECD的度数；最后观察∠AEC是△ECD的外角，再次利用三角形外角的性质，将∠ECD和∠D的度数相加即可得到∠AEC的度数。
【解析】
(1)
∵∠ACD是△ABC的外角，满足外角性质$∠ ACD=∠ B+∠ BAC$，
已知$∠ B=25°$，$∠ BAC=31°$，
∴$∠ ACD=25°+31°=56°$。
(2)
∵AD是BC边上的高，即$AD⊥ BD$，
∴$∠ D=90°$，
∵CE平分$∠ ACD$，$∠ ACD=56°$，
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×56°=28°$，
又
∵$∠ AEC$是$△ ECD$的外角，满足外角性质$∠ AEC=∠ ECD+∠ D$，
∴$∠ AEC=28°+90°=118°$。
【答案】
(1) $\boxed{56°}$
(2) $\boxed{118°}$
【知识点】
三角形外角定理，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于三角形外角性质的基础应用题型，解题核心是准确识别图形中外角对应的不相邻内角，结合角平分线、垂直的性质逐步推导即可，解题时需注意角的位置关系和数量关系的对应。
【难度系数】
0.85
(1) 求∠ACD的度数时，首先观察角的位置，∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，直接将已知的∠B和∠BAC的度数相加即可求解。
(2) 求∠AEC的度数时，首先由AD是BC边上的高可得∠D=90°；再结合CE平分∠ACD的条件，先求出∠ECD的度数；最后观察∠AEC是△ECD的外角，再次利用三角形外角的性质，将∠ECD和∠D的度数相加即可得到∠AEC的度数。
【解析】
(1)
∵∠ACD是△ABC的外角，满足外角性质$∠ ACD=∠ B+∠ BAC$，
已知$∠ B=25°$，$∠ BAC=31°$，
∴$∠ ACD=25°+31°=56°$。
(2)
∵AD是BC边上的高，即$AD⊥ BD$，
∴$∠ D=90°$，
∵CE平分$∠ ACD$，$∠ ACD=56°$，
∴$∠ ECD=\frac{1}{2}∠ ACD=\frac{1}{2}×56°=28°$，
又
∵$∠ AEC$是$△ ECD$的外角，满足外角性质$∠ AEC=∠ ECD+∠ D$，
∴$∠ AEC=28°+90°=118°$。
【答案】
(1) $\boxed{56°}$
(2) $\boxed{118°}$
【知识点】
三角形外角定理，角平分线的定义，垂直的定义
【点评】
本题属于三角形外角性质的基础应用题型，解题核心是准确识别图形中外角对应的不相邻内角，结合角平分线、垂直的性质逐步推导即可，解题时需注意角的位置关系和数量关系的对应。
【难度系数】
0.85
1. 如图，$∠ A=110°$，$∠ B=30°$，则$∠ ACD$的度数是(
A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
D
)A.$110°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
1. D
解析
【分析】
拿到题目首先观察图形，可判断∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。本题中与∠ACD不相邻的两个内角为∠A和∠B，因此只需将两个内角的度数相加，即可求出∠ACD的度数，无需复杂计算。
【解析】
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ACD = ∠A + ∠B
已知∠A=110°，∠B=30°，代入得：
∠ACD = 110° + 30° = 140°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 角度的和差计算
【点评】
本题属于基础题，侧重考查三角形外角性质的直接应用，计算量小，只要熟记相关基础性质就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
拿到题目首先观察图形，可判断∠ACD是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。本题中与∠ACD不相邻的两个内角为∠A和∠B，因此只需将两个内角的度数相加，即可求出∠ACD的度数，无需复杂计算。
【解析】
∵∠ACD是△ABC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠ACD = ∠A + ∠B
已知∠A=110°，∠B=30°，代入得：
∠ACD = 110° + 30° = 140°
故选D。
【答案】
D
【知识点】
1. 三角形外角的性质
2. 角度的和差计算
【点评】
本题属于基础题，侧重考查三角形外角性质的直接应用，计算量小，只要熟记相关基础性质就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
2. 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A的度数为（
A.95°
B.85°
C.75°
D.65°
B
）A.95°
B.85°
C.75°
D.65°
答案
2. B
解析
【分析】
解题时先根据角平分线的定义求出△ABC的外角∠ACD的度数，再利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，代入已知角度即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=2×60°=120°，
又
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
已知∠B=35°，
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.角平分线的定义
2.三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查角平分线性质和三角形外角性质，熟练掌握相关性质即可快速求解，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
解题时先根据角平分线的定义求出△ABC的外角∠ACD的度数，再利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，代入已知角度即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=2×60°=120°，
又
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B，
已知∠B=35°，
∴∠A=∠ACD-∠B=120°-35°=85°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.角平分线的定义
2.三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题，综合考查角平分线性质和三角形外角性质，熟练掌握相关性质即可快速求解，计算量小，不易出错。
【难度系数】
0.8
3. 如图，一副常规直角三角板叠放在一起，则图中∠α的度数为
75°
.答案
3. 75°
解析
【分析】
首先明确常规直角三角板的内角度数：含30°角的直角三角板三个内角分别为30°、60°、90°，等腰直角三角板三个内角分别为45°、45°、90°。观察图形，设AC与BE的交点为F，∠α与∠BFC是对顶角，只需求出∠BFC的度数即可得到∠α的度数。在△BFC中，已知∠FBC=45°（等腰直角三角板的锐角），∠FCB=60°（含30°角三角板的锐角），根据三角形内角和为180°，即可算出∠BFC的度数，进而得到∠α的度数。
【解析】
解：设AC与BE交于点F。
根据常规三角板的角度特征可知：
∠FBC = 45°，∠FCB = 60°。
在△BFC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BFC = 180° - ∠ FBC - ∠ FCB = 180° - 45° - 60° = 75°$。
∵ ∠α与∠BFC是对顶角，对顶角相等，
∴ $∠ α = ∠ BFC = 75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，三角板角度特征
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查对三角板固定角度的记忆和三角形内角和定理的简单应用，解题的关键是准确识别图形中三角板对应的内角度数，结合对顶角相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
首先明确常规直角三角板的内角度数：含30°角的直角三角板三个内角分别为30°、60°、90°，等腰直角三角板三个内角分别为45°、45°、90°。观察图形，设AC与BE的交点为F，∠α与∠BFC是对顶角，只需求出∠BFC的度数即可得到∠α的度数。在△BFC中，已知∠FBC=45°（等腰直角三角板的锐角），∠FCB=60°（含30°角三角板的锐角），根据三角形内角和为180°，即可算出∠BFC的度数，进而得到∠α的度数。
【解析】
解：设AC与BE交于点F。
根据常规三角板的角度特征可知：
∠FBC = 45°，∠FCB = 60°。
在△BFC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BFC = 180° - ∠ FBC - ∠ FCB = 180° - 45° - 60° = 75°$。
∵ ∠α与∠BFC是对顶角，对顶角相等，
∴ $∠ α = ∠ BFC = 75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
三角形内角和定理，对顶角的性质，三角板角度特征
【点评】
本题属于基础几何题，主要考查对三角板固定角度的记忆和三角形内角和定理的简单应用，解题的关键是准确识别图形中三角板对应的内角度数，结合对顶角相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
4. 某零件的形状如图所示，按规定∠A=90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，聪明的李叔叔通过量得∠BCD的度数就断定这个零件是否合格，那么∠BCD=
140°
时，这个零件合格。答案
4. 140°
解析
【分析】
要得到零件合格时∠BCD的度数，可通过作辅助线构造三角形外角求解。我们可以连接AC并延长，将∠BCD拆分为两个三角形外角的和，再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”的性质，推导∠BCD与已知角∠A、∠B、∠D的关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：连接AC并延长至点E。
根据三角形外角的性质可得：
∠DCE是△ADC的外角，因此$∠ DCE = ∠ D + ∠ DAC$；
∠BCE是△ABC的外角，因此$∠ BCE = ∠ B + ∠ BAC$。
将上述两个等式左右两边分别相加：
$∠ DCE + ∠ BCE = ∠ D + ∠ DAC + ∠ B + ∠ BAC$，
即$∠ BCD = ∠ D + ∠ B + (∠ DAC + ∠ BAC) = ∠ D + ∠ B + ∠ A$。
已知$∠ A=90°$，$∠ B=20°$，$∠ D=30°$，代入得：
$∠ BCD = 30° + 20° + 90° = 140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
三角形外角的性质，角的和差运算
【点评】
本题是三角形外角性质的实际应用问题，通过作辅助线将不规则图形的角度转化为三角形外角的和差关系，是解决这类角度计算问题的常用思路，熟练掌握三角形外角的性质可快速解题。
【难度系数】
0.7
要得到零件合格时∠BCD的度数，可通过作辅助线构造三角形外角求解。我们可以连接AC并延长，将∠BCD拆分为两个三角形外角的和，再利用“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”的性质，推导∠BCD与已知角∠A、∠B、∠D的关系，代入数值计算即可。
【解析】
解：连接AC并延长至点E。
根据三角形外角的性质可得：
∠DCE是△ADC的外角，因此$∠ DCE = ∠ D + ∠ DAC$；
∠BCE是△ABC的外角，因此$∠ BCE = ∠ B + ∠ BAC$。
将上述两个等式左右两边分别相加：
$∠ DCE + ∠ BCE = ∠ D + ∠ DAC + ∠ B + ∠ BAC$，
即$∠ BCD = ∠ D + ∠ B + (∠ DAC + ∠ BAC) = ∠ D + ∠ B + ∠ A$。
已知$∠ A=90°$，$∠ B=20°$，$∠ D=30°$，代入得：
$∠ BCD = 30° + 20° + 90° = 140°$。
【答案】
$140°$
【知识点】
三角形外角的性质，角的和差运算
【点评】
本题是三角形外角性质的实际应用问题，通过作辅助线将不规则图形的角度转化为三角形外角的和差关系，是解决这类角度计算问题的常用思路，熟练掌握三角形外角的性质可快速解题。
【难度系数】
0.7
