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5. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$E$分别在$BC$，$AC$边上，且$∠ ADE=∠ B$，求证：$∠ BAD=∠ CDE$. 
第5题图
第5题图答案
5. 证明：
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE. 又
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE.
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE. 又
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE.
解析
【分析】
要证明∠BAD=∠CDE，可通过角的等量关系推导：首先找到△ABD的外角∠ADC，根据三角形外角性质可得∠ADC与∠B、∠BAD的数量关系；同时∠ADC可拆分为∠ADE与∠CDE的和，结合已知∠ADE=∠B的条件，通过等量代换消去相等的角，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD，
又根据角的和的定义，∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴ ∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
已知∠ADE=∠B，将其代入上式，等式两边同时减去相等的量，可得∠BAD=∠CDE。
【答案】
证明：
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE. 又
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE.
【知识点】
三角形外角的性质、等量代换、角的和差运算
【点评】
本题是基础的几何证明类题目，解题关键是找到公共角∠ADC的两种不同表达形式，结合已知条件通过简单的等量代换即可完成证明，主要考查对三角形外角性质的掌握程度和基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明∠BAD=∠CDE，可通过角的等量关系推导：首先找到△ABD的外角∠ADC，根据三角形外角性质可得∠ADC与∠B、∠BAD的数量关系；同时∠ADC可拆分为∠ADE与∠CDE的和，结合已知∠ADE=∠B的条件，通过等量代换消去相等的角，即可推导出待证结论。
【解析】
证明：
∵ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD，
又根据角的和的定义，∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴ ∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，
已知∠ADE=∠B，将其代入上式，等式两边同时减去相等的量，可得∠BAD=∠CDE。
【答案】
证明：
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠CDE，
∴∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE. 又
∵∠ADE=∠B，
∴∠BAD=∠CDE.
【知识点】
三角形外角的性质、等量代换、角的和差运算
【点评】
本题是基础的几何证明类题目，解题关键是找到公共角∠ADC的两种不同表达形式，结合已知条件通过简单的等量代换即可完成证明，主要考查对三角形外角性质的掌握程度和基础逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
6. 如图1，直线$MN ⊥$直线$PQ$，垂足为点$O$，点$A$，$B$分别在射线$OM$，$OP$上（不与点$O$重合），$AC$是$∠ MAB$的平分线，$AC$的反向延长线与$∠ ABQ$的平分线交于点$D$，$BD$与$MN$交于点$E$.
（1）当$∠ BAO=50°$时，求$∠ ABD$，$∠ D$的度数.
（2）如图2，当点$A$，$B$在射线$OM$，$OP$上任意移动时（不与点$O$重合），$∠ D$的大小是否变化？若不变化，请求出$∠ D$的度数；若变化，请说明理由.
（1）当$∠ BAO=50°$时，求$∠ ABD$，$∠ D$的度数.
（2）如图2，当点$A$，$B$在射线$OM$，$OP$上任意移动时（不与点$O$重合），$∠ D$的大小是否变化？若不变化，请求出$∠ D$的度数；若变化，请说明理由.
答案
6. 解： (1)
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB=90°.
∵∠BAO=50°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=40°.
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABO=20°.
∵∠BAO=50°，
∴∠BAM=180°-∠BAO=130°.
∵AC平分∠BAM，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAM=65°，
∴∠D=∠CAB-∠ABD=65°-20°=45°.
(2) ∠D的度数不变化，永远是45°. 理由如下：
∵∠BAM=∠AOB+∠ABO，∠AOB=90°，
∴∠BAM-∠ABO=90°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAM-$\frac{1}{2}$∠ABO=45°.
∵AC平分∠BAM，BD平分∠ABO，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABO，∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAM，
∴∠CAB-∠ABD=45°，即∠D=∠CAB-∠ABD=45°.
∵MN⊥PQ，
∴∠AOB=90°.
∵∠BAO=50°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=40°.
∵BD平分∠ABO，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABO=20°.
∵∠BAO=50°，
∴∠BAM=180°-∠BAO=130°.
∵AC平分∠BAM，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAM=65°，
∴∠D=∠CAB-∠ABD=65°-20°=45°.
(2) ∠D的度数不变化，永远是45°. 理由如下：
∵∠BAM=∠AOB+∠ABO，∠AOB=90°，
∴∠BAM-∠ABO=90°，
∴$\frac{1}{2}$∠BAM-$\frac{1}{2}$∠ABO=45°.
∵AC平分∠BAM，BD平分∠ABO，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABO，∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAM，
∴∠CAB-∠ABD=45°，即∠D=∠CAB-∠ABD=45°.
解析
【分析】
对于（1），首先根据MN⊥PQ得到直角∠AOB=90°，结合已知∠BAO的度数利用直角三角形两锐角互余求出∠ABO，再根据BD是∠ABQ的平分线求出∠ABD；接下来先求出邻补角∠MAB的度数，由AC是∠MAB的平分线求出∠CAB，最后根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），可得∠CAB=∠D+∠ABD，代入计算即可求出∠D。
对于（2），要判断∠D是否变化，只需将（1）的特殊角度换成一般关系推导：先利用三角形外角性质得到∠MAB=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO，再结合角平分线的定义，分别表示出∠CAB和∠ABD，代入∠D=∠CAB-∠ABD即可得到∠D的定值。
【解析】
(1)
∵MN⊥PQ，垂足为O，
∴∠AOB=90°。
已知∠BAO=50°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-50°=40°。
∵BD平分∠ABQ，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABO=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
∵∠MAB与∠BAO互为邻补角，
∴∠MAB=180°-∠BAO=180°-50°=130°。
∵AC平分∠BAM，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAM=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
∵∠CAB是△ABD的外角，
∴∠CAB=∠D+∠ABD，
∴∠D=∠CAB-∠ABD=65°-20°=45°。
(2) ∠D的大小不变化，始终为45°，理由如下：
∵∠BAM是△AOB的外角，∠AOB=90°，
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO，
即∠BAM-∠ABO=90°。
∵AC平分∠BAM，BD平分∠ABO，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAM，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABO。
∴∠D=∠CAB-∠ABD=$\frac{1}{2}$∠BAM - $\frac{1}{2}$∠ABO = $\frac{1}{2}$(∠BAM - ∠ABO) = $\frac{1}{2}$×90°=45°。
【答案】
(1) $∠ ABD=20°$，$∠ D=45°$；
(2) $∠ D$的大小不变化，度数为$45°$。
【知识点】
角平分线的定义；垂直的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的综合题，从特殊值计算到一般规律探究，考查了角的和差、角平分线、垂直及三角形外角的相关性质，解题的关键是熟练掌握角的转化关系，学会用代数推导的方法证明角度定值。
【难度系数】
0.7
对于（1），首先根据MN⊥PQ得到直角∠AOB=90°，结合已知∠BAO的度数利用直角三角形两锐角互余求出∠ABO，再根据BD是∠ABQ的平分线求出∠ABD；接下来先求出邻补角∠MAB的度数，由AC是∠MAB的平分线求出∠CAB，最后根据三角形外角的性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），可得∠CAB=∠D+∠ABD，代入计算即可求出∠D。
对于（2），要判断∠D是否变化，只需将（1）的特殊角度换成一般关系推导：先利用三角形外角性质得到∠MAB=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO，再结合角平分线的定义，分别表示出∠CAB和∠ABD，代入∠D=∠CAB-∠ABD即可得到∠D的定值。
【解析】
(1)
∵MN⊥PQ，垂足为O，
∴∠AOB=90°。
已知∠BAO=50°，
∴∠ABO=90°-∠BAO=90°-50°=40°。
∵BD平分∠ABQ，
∴∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABO=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
∵∠MAB与∠BAO互为邻补角，
∴∠MAB=180°-∠BAO=180°-50°=130°。
∵AC平分∠BAM，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAM=$\frac{1}{2}$×130°=65°。
∵∠CAB是△ABD的外角，
∴∠CAB=∠D+∠ABD，
∴∠D=∠CAB-∠ABD=65°-20°=45°。
(2) ∠D的大小不变化，始终为45°，理由如下：
∵∠BAM是△AOB的外角，∠AOB=90°，
∴∠BAM=∠AOB+∠ABO=90°+∠ABO，
即∠BAM-∠ABO=90°。
∵AC平分∠BAM，BD平分∠ABO，
∴∠CAB=$\frac{1}{2}$∠BAM，∠ABD=$\frac{1}{2}$∠ABO。
∴∠D=∠CAB-∠ABD=$\frac{1}{2}$∠BAM - $\frac{1}{2}$∠ABO = $\frac{1}{2}$(∠BAM - ∠ABO) = $\frac{1}{2}$×90°=45°。
【答案】
(1) $∠ ABD=20°$，$∠ D=45°$；
(2) $∠ D$的大小不变化，度数为$45°$。
【知识点】
角平分线的定义；垂直的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的综合题，从特殊值计算到一般规律探究，考查了角的和差、角平分线、垂直及三角形外角的相关性质，解题的关键是熟练掌握角的转化关系，学会用代数推导的方法证明角度定值。
【难度系数】
0.7
7. (2025·南充) 如图，把含有$60°$的直角三角板斜边放在直线$l$上，则$∠ α$的度数是（
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
D
）A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
7. D
解析
【分析】
首先明确直角三角板的内角特点：存在一个90°直角，已知一个锐角为60°。求解∠α有两种思路：思路1：观察到∠α是该直角三角形的外角，可直接利用三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和计算；思路2：先求出三角板与∠α相邻的锐角的度数，再结合平角为180°，通过作差求出∠α的度数。
【解析】
方法一：根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可知，∠α是直角三角板的外角，与它不相邻的两个内角分别为90°和60°，因此：
$∠α=90°+60°=150°$
方法二：先计算直角三角板的第三个锐角：
$180°-90°-60°=30°$
该30°角与∠α在直线$l$上组成平角，平角度数为180°，因此：
$∠α=180°-30°=150°$
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质、平角的定义、直角三角形内角特征
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确识别角与角之间的位置关系，可灵活选择不同的几何性质求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
首先明确直角三角板的内角特点：存在一个90°直角，已知一个锐角为60°。求解∠α有两种思路：思路1：观察到∠α是该直角三角形的外角，可直接利用三角形外角的性质，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和计算；思路2：先求出三角板与∠α相邻的锐角的度数，再结合平角为180°，通过作差求出∠α的度数。
【解析】
方法一：根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可知，∠α是直角三角板的外角，与它不相邻的两个内角分别为90°和60°，因此：
$∠α=90°+60°=150°$
方法二：先计算直角三角板的第三个锐角：
$180°-90°-60°=30°$
该30°角与∠α在直线$l$上组成平角，平角度数为180°，因此：
$∠α=180°-30°=150°$
【答案】
D
【知识点】
三角形外角的性质、平角的定义、直角三角形内角特征
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的关键是准确识别角与角之间的位置关系，可灵活选择不同的几何性质求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
