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9.(2025·内江改编)若关于x的一元二次方程$(a-1)x^2 +2x +1=0$有实数根，则实数a的取值范围是
$a≤2且a≠1$
。答案
9.$a≤2$且$a≠1$
解析
【分析】
解题时需同时满足两个条件：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含条件；②方程有实数根，说明根的判别式大于等于0。先根据一元二次方程的定义求出a的第一个限制条件，再根据判别式列不等式求解a的范围，最后取两个条件的公共部分即可得到结果。
【解析】
解：
∵该方程是关于x的一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵方程有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为2，常数项为1
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
去括号：$4 - 4a + 4 ≥ 0$
合并同类项：$8 - 4a ≥ 0$
移项得：$-4a ≥ -8$
两边同时除以-4（不等号方向改变），得：$a ≤ 2$
结合$a≠1$的条件，最终得到a的取值范围。
【答案】
$a≤2$且$a≠1$
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.根的判别式的应用
3.一元一次不等式的解法
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，仅通过判别式求解得到错误答案$a≤2$，解题时需先明确方程类型的限制条件，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.7
解题时需同时满足两个条件：①题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是容易遗漏的隐含条件；②方程有实数根，说明根的判别式大于等于0。先根据一元二次方程的定义求出a的第一个限制条件，再根据判别式列不等式求解a的范围，最后取两个条件的公共部分即可得到结果。
【解析】
解：
∵该方程是关于x的一元二次方程
∴二次项系数不为0，即$a-1≠0$，解得$a≠1$
又
∵方程有实数根
∴根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中二次项系数为$a-1$，一次项系数为2，常数项为1
代入得：$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$
计算得：$4 - 4(a-1) ≥ 0$
去括号：$4 - 4a + 4 ≥ 0$
合并同类项：$8 - 4a ≥ 0$
移项得：$-4a ≥ -8$
两边同时除以-4（不等号方向改变），得：$a ≤ 2$
结合$a≠1$的条件，最终得到a的取值范围。
【答案】
$a≤2$且$a≠1$
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.根的判别式的应用
3.一元一次不等式的解法
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，易错点是容易忽略“一元二次方程二次项系数不为0”这个隐含条件，仅通过判别式求解得到错误答案$a≤2$，解题时需先明确方程类型的限制条件，再结合根的情况列不等式求解。
【难度系数】
0.7
10.若关于$x$的方程$(a-2)x^2 -3x -1=0$有实数根，则$a$的取值范围是（
A.$a≥ -\frac{1}{4}$
B.$a≥ -1$，且$a≠2$
C.$a≥ -\frac{1}{4}$且$a≠2$
D.$a≠2$
A
）A.$a≥ -\frac{1}{4}$
B.$a≥ -1$，且$a≠2$
C.$a≥ -\frac{1}{4}$且$a≠2$
D.$a≠2$
答案
10.A
解析
【分析】
题目仅说明方程有实数根，未明确是一元二次方程，因此需分两种情况讨论：① 当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，判断是否存在实根；② 当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，利用根的判别式Δ≥0求解a的范围，最后将两种情况的范围合并，即可得到a的最终取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a-2=0$，即$a=2$时，原方程化为$-3x-1=0$，属于一元一次方程，解得$x=-\frac{1}{3}$，有实数根，符合题意，因此$a=2$可取。
2. 当$a-2≠0$，即$a≠2$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta≥0$。
代入公式$\Delta=b^2-4ac$，其中二次项系数为$a-2$，一次项系数为$-3$，常数项为$-1$，可得：
$\Delta=(-3)^2-4×(a-2)×(-1)=9+4(a-2)=4a+1$
令$\Delta≥0$，即$4a+1≥0$，解得$a≥-\frac{1}{4}$，此时$a$的取值范围为$a≥-\frac{1}{4}$且$a≠2$。
综合两种情况，$a=2$满足$a≥-\frac{1}{4}$，因此$a$的取值范围是$a≥-\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 方程根的判定 2. 一元二次方程根的判别式 3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认方程为一元二次方程，直接附加$a≠2$的限制条件错选C，遇到二次项系数含参数的方程有实根类问题，需先分类讨论方程类型，再综合得到参数的最终取值范围。
【难度系数】
0.6
题目仅说明方程有实数根，未明确是一元二次方程，因此需分两种情况讨论：① 当二次项系数为0时，方程为一元一次方程，判断是否存在实根；② 当二次项系数不为0时，方程为一元二次方程，利用根的判别式Δ≥0求解a的范围，最后将两种情况的范围合并，即可得到a的最终取值范围。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当$a-2=0$，即$a=2$时，原方程化为$-3x-1=0$，属于一元一次方程，解得$x=-\frac{1}{3}$，有实数根，符合题意，因此$a=2$可取。
2. 当$a-2≠0$，即$a≠2$时，原方程是一元二次方程，若方程有实数根，则判别式$\Delta≥0$。
代入公式$\Delta=b^2-4ac$，其中二次项系数为$a-2$，一次项系数为$-3$，常数项为$-1$，可得：
$\Delta=(-3)^2-4×(a-2)×(-1)=9+4(a-2)=4a+1$
令$\Delta≥0$，即$4a+1≥0$，解得$a≥-\frac{1}{4}$，此时$a$的取值范围为$a≥-\frac{1}{4}$且$a≠2$。
综合两种情况，$a=2$满足$a≥-\frac{1}{4}$，因此$a$的取值范围是$a≥-\frac{1}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
1. 方程根的判定 2. 一元二次方程根的判别式 3. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是默认方程为一元二次方程，直接附加$a≠2$的限制条件错选C，遇到二次项系数含参数的方程有实根类问题，需先分类讨论方程类型，再综合得到参数的最终取值范围。
【难度系数】
0.6
11. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + \sqrt{k-1}x -1=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是（
A.$k ＞ -3$
B.$k ≥ 1$
C.$k ＞ -3$且$k ≠ 0$
D.$k ＞ 1$
B
）A.$k ＞ -3$
B.$k ≥ 1$
C.$k ＞ -3$且$k ≠ 0$
D.$k ＞ 1$
答案
11.B
解析
【分析】
求解本题需要结合两个限制条件分析：一是方程中的二次根式要有意义，被开方数必须非负；二是一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0。先分别根据两个条件列出关于k的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，即可得到k的取值范围。
【解析】
1. 考虑二次根式有意义的条件：
方程中存在$\sqrt{k-1}$，因此被开方数满足$k-1≥0$，解得$k≥1$。
2. 结合一元二次方程根的判别式分析：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有两个不相等的实数根时$\Delta=b^2-4ac＞0$。
本题中$a=1$，$b=\sqrt{k-1}$，$c=-1$，代入得：
$\Delta=(\sqrt{k-1})^2 -4×1×(-1)=k-1+4=k+3＞0$，解得$k＞-3$。
3. 取两个解集的公共部分：$k≥1$已经满足$k＞-3$，因此k的取值范围是$k≥1$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式有意义的隐含限制条件，仅通过判别式求解k的范围，解题时要先分析式子中的隐含限制，再结合给定条件计算。
【难度系数】
0.7
求解本题需要结合两个限制条件分析：一是方程中的二次根式要有意义，被开方数必须非负；二是一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于0。先分别根据两个条件列出关于k的不等式，再取两个不等式解集的公共部分，即可得到k的取值范围。
【解析】
1. 考虑二次根式有意义的条件：
方程中存在$\sqrt{k-1}$，因此被开方数满足$k-1≥0$，解得$k≥1$。
2. 结合一元二次方程根的判别式分析：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，有两个不相等的实数根时$\Delta=b^2-4ac＞0$。
本题中$a=1$，$b=\sqrt{k-1}$，$c=-1$，代入得：
$\Delta=(\sqrt{k-1})^2 -4×1×(-1)=k-1+4=k+3＞0$，解得$k＞-3$。
3. 取两个解集的公共部分：$k≥1$已经满足$k＞-3$，因此k的取值范围是$k≥1$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式有意义的条件，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题的易错点是忽略二次根式有意义的隐含限制条件，仅通过判别式求解k的范围，解题时要先分析式子中的隐含限制，再结合给定条件计算。
【难度系数】
0.7
12. 新考向·新定义问题 在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则如下：$a☆b=a^2 + b^2$，$a★b=\frac{ab}{2}$，则方程$1☆x = x★6$的解为
$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
$x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
.答案
12.$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
解析
【分析】
这是一道新定义运算结合一元二次方程求解的题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解题目给出的两种新运算的规则，将含有新运算的式子转化为我们熟悉的整式运算表达式；第二步把转化后的式子代入方程，整理成一元二次方程的一般形式；第三步利用公式法求解一元二次方程，得到方程的解。
【解析】
根据题目给出的新运算规则计算：
1. 方程左边：由$a☆b=a^2 + b^2$，代入$a=1,b=x$，得$1☆x=1^2+x^2=1+x^2$；
2. 方程右边：由$a★b=\frac{ab}{2}$，代入$a=x,b=6$，得$x★6=\frac{x×6}{2}=3x$；
3. 代入原方程得$1+x^2=3x$，移项整理为一元二次方程一般形式：$x^2-3x+1=0$；
4. 确定参数$a=1,b=-3,c=1$，计算判别式$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×1=5＞0$，方程有两个不相等的实数根；
5. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算、公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心考查对新运算规则的转化能力，以及一元二次方程公式法求解的掌握程度，解题关键是正确将新运算转化为常规代数式，再按一元二次方程的求解步骤计算即可。
【难度系数】
0.7
这是一道新定义运算结合一元二次方程求解的题目，解题思路分为三步：第一步先准确理解题目给出的两种新运算的规则，将含有新运算的式子转化为我们熟悉的整式运算表达式；第二步把转化后的式子代入方程，整理成一元二次方程的一般形式；第三步利用公式法求解一元二次方程，得到方程的解。
【解析】
根据题目给出的新运算规则计算：
1. 方程左边：由$a☆b=a^2 + b^2$，代入$a=1,b=x$，得$1☆x=1^2+x^2=1+x^2$；
2. 方程右边：由$a★b=\frac{ab}{2}$，代入$a=x,b=6$，得$x★6=\frac{x×6}{2}=3x$；
3. 代入原方程得$1+x^2=3x$，移项整理为一元二次方程一般形式：$x^2-3x+1=0$；
4. 确定参数$a=1,b=-3,c=1$，计算判别式$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-4×1×1=5＞0$，方程有两个不相等的实数根；
5. 代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，得$x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$，即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$
【知识点】
新定义运算、公式法解一元二次方程、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于新定义类基础题，核心考查对新运算规则的转化能力，以及一元二次方程公式法求解的掌握程度，解题关键是正确将新运算转化为常规代数式，再按一元二次方程的求解步骤计算即可。
【难度系数】
0.7
13. 用公式法解下列方程：
(1) $\frac{1}{2}x - 3 = 0.5x^2$.
(2) $3x^2 = 2\sqrt{3}x - 1$.
(1) $\frac{1}{2}x - 3 = 0.5x^2$.
(2) $3x^2 = 2\sqrt{3}x - 1$.
答案
13.解:(1)整理,得$x^2-x+6=0$. 这里$a=1,b=-1,c=6$. 因为$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-4×1×6=-23＜0$,所以原方程没有实数根.(2)整理,得$3x^2-2\sqrt{3}x+1=0$. 这里$a=3,b=-2\sqrt{3},c=1$. 因为$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2-4×3×1=0$. 所以$x=\frac{-(-2\sqrt{3})\pm\sqrt{0}}{2×3}=\frac{2\sqrt{3}}{6}$,即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
解析
【分析】
用公式法解一元二次方程需按照固定步骤进行：第一步先把原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，整理时可将分数、小数系数化为整数方便后续计算；第二步准确确定$a$、$b$、$c$的取值，注意要带上系数的符号；第三步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；第四步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根即可。
【解析】
(1) 整理原方程：
将$\frac{1}{2}x - 3 = 0.5x^2$移项得$0.5x^2 - \frac{1}{2}x + 3 = 0$，两边同乘2化为整系数方程，得$x^2 - x + 6 = 0$。
可得$a=1$，$b=-1$，$c=6$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2 - 4×1×6=-23＜0$，因此原方程没有实数根。
(2) 整理原方程：
将$3x^2 = 2\sqrt{3}x - 1$移项得$3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$。
可得$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2 - 4×3×1=12-12=0$，说明方程有两个相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-(-2\sqrt{3})\pm\sqrt{0}}{2×3}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) 原方程没有实数根；
(2) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 根的判别式
3. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题的核心是严格遵循解题步骤，尤其要注意先将方程化为一般形式，确定$a$、$b$、$c$时不要弄错符号，计算判别式时要保证运算准确，当判别式小于0时可直接判定方程无实数根，无需再代入求根公式。
【难度系数】
0.8
用公式法解一元二次方程需按照固定步骤进行：第一步先把原方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，整理时可将分数、小数系数化为整数方便后续计算；第二步准确确定$a$、$b$、$c$的取值，注意要带上系数的符号；第三步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；第四步若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$计算方程的根即可。
【解析】
(1) 整理原方程：
将$\frac{1}{2}x - 3 = 0.5x^2$移项得$0.5x^2 - \frac{1}{2}x + 3 = 0$，两边同乘2化为整系数方程，得$x^2 - x + 6 = 0$。
可得$a=1$，$b=-1$，$c=6$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2 - 4×1×6=-23＜0$，因此原方程没有实数根。
(2) 整理原方程：
将$3x^2 = 2\sqrt{3}x - 1$移项得$3x^2 - 2\sqrt{3}x + 1 = 0$。
可得$a=3$，$b=-2\sqrt{3}$，$c=1$。
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2 - 4×3×1=12-12=0$，说明方程有两个相等的实数根。
代入求根公式得：$x=\frac{-(-2\sqrt{3})\pm\sqrt{0}}{2×3}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
【答案】
(1) 原方程没有实数根；
(2) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 根的判别式
3. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，解题的核心是严格遵循解题步骤，尤其要注意先将方程化为一般形式，确定$a$、$b$、$c$时不要弄错符号，计算判别式时要保证运算准确，当判别式小于0时可直接判定方程无实数根，无需再代入求根公式。
【难度系数】
0.8
14.已知$a,b,c$分别是三角形的三边长，且关于$x$的方程$(a+b)x^2 + 2cx + (a - b)=0$有两个相等的实数根，试判断该三角形的形状，并说明理由。
答案
14.解:该三角形是直角三角形. 理由如下:$\because$关于$x$的方程$(a+b)x^2+2cx+(a-b)=0$有两个相等的实数根,$\therefore\Delta=(2c)^2-4(a+b)(a-b)=0$,即$4(c^2-a^2+b^2)=0$. $\therefore c^2-a^2+b^2=0$,即$a^2=c^2+b^2$. $\because a,b,c$是该三角形的三边长,$\therefore$该三角形是直角三角形.
解析
【分析】
解题时首先从题目的已知条件“方程有两个相等的实数根”入手，回忆一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。首先确认该方程为一元二次方程：由于a、b是三角形的边长，因此a+b＞0，二次项系数不为0，满足一元二次方程的定义。接下来将方程的各项系数对应代入判别式公式Δ=B²-4AC（其中A为二次项系数、B为一次项系数、C为常数项），令Δ=0，化简后得到三角形三边的数量关系，最后结合勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状。
【解析】
该三角形是直角三角形，理由如下：
∵关于$x$的方程$(a+b)x^2 + 2cx + (a - b)=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(2c)^2-4(a+b)(a-b)=0$，
即$4(c^2-a^2+b^2)=0$，
∴$c^2-a^2+b^2=0$，整理得$a^2=c^2+b^2$，
∵$a,b,c$是该三角形的三边长，符合勾股定理的逆定理，
∴该三角形是直角三角形。
【答案】
该三角形是直角三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的情况和三角形形状判断结合起来，解题的关键是熟练掌握根的判别式的应用，通过判别式建立三边的等量关系，再结合勾股定理逆定理得出结论，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从题目的已知条件“方程有两个相等的实数根”入手，回忆一元二次方程根的判别式的性质：当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根。首先确认该方程为一元二次方程：由于a、b是三角形的边长，因此a+b＞0，二次项系数不为0，满足一元二次方程的定义。接下来将方程的各项系数对应代入判别式公式Δ=B²-4AC（其中A为二次项系数、B为一次项系数、C为常数项），令Δ=0，化简后得到三角形三边的数量关系，最后结合勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状。
【解析】
该三角形是直角三角形，理由如下：
∵关于$x$的方程$(a+b)x^2 + 2cx + (a - b)=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(2c)^2-4(a+b)(a-b)=0$，
即$4(c^2-a^2+b^2)=0$，
∴$c^2-a^2+b^2=0$，整理得$a^2=c^2+b^2$，
∵$a,b,c$是该三角形的三边长，符合勾股定理的逆定理，
∴该三角形是直角三角形。
【答案】
该三角形是直角三角形
【知识点】
一元二次方程根的判别式、勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的情况和三角形形状判断结合起来，解题的关键是熟练掌握根的判别式的应用，通过判别式建立三边的等量关系，再结合勾股定理逆定理得出结论，能有效考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
15.(教材习题变式)已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$.
(1)求证:该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个根$x_1,x_2$分别是一个矩形的长和对角线的长,且矩形的宽为5,试求$k$的值.
(1)求证:该一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(2)若该方程的两个根$x_1,x_2$分别是一个矩形的长和对角线的长,且矩形的宽为5,试求$k$的值.
答案
15.解:(1)证明:$\because x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,$\therefore a=1,b=-(2k+1)$,$c=k^2+k$. $\therefore\Delta=b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+k)=1＞0$.$\therefore$该一元二次方程总有两个不相等的实数根. (2)$\because x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$,$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2k+1\pm1}{2}$,即$x_1=k,x_2=k+1$. $\because k＜k+1$,$\therefore k$为矩形的长,$k+1$为矩形的对角线的长. 由题意,得$(k+1)^2=k^2+5^2$,解得$k=12$. $\therefore k$的值为12.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是验证根的判别式$\Delta=b^2-4ac$恒大于0。首先先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式计算，判断计算结果的符号即可完成证明。
(2) 先使用公式法求出该一元二次方程的两个根，结合矩形对角线长度大于边长的性质，区分两个根对应的是矩形的长还是对角线，再根据矩形中长、宽、对角线满足勾股定理的等量关系列方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$中，
$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2+k$，
则判别式$\Delta=b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+k)$
$=4k^2+4k+1-4k^2-4k$
$=1＞0$，
因此该一元二次方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据公式法解一元二次方程，可得
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2k+1\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{2k+1\pm1}{2}$，
计算得两个根为$x_1=k$，$x_2=k+1$。
因为$k＜k+1$，结合题意可知$k$为矩形的长，$k+1$为矩形的对角线长，
已知矩形的宽为5，根据勾股定理可得：
$(k+1)^2=k^2+5^2$，
展开整理得$k^2+2k+1=k^2+25$，
化简得$2k=24$，
解得$k=12$。
【答案】
(1) 该一元二次方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $k=12$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
3. 勾股定理应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，既考查了一元二次方程的核心性质，又结合了矩形特征与勾股定理的几何知识，解题时需先通过代数方法得到方程根的表达式，再结合几何性质建立等量关系求解，重点考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.75
(1) 要证明一元二次方程总有两个不相等的实数根，核心思路是验证根的判别式$\Delta=b^2-4ac$恒大于0。首先先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式计算，判断计算结果的符号即可完成证明。
(2) 先使用公式法求出该一元二次方程的两个根，结合矩形对角线长度大于边长的性质，区分两个根对应的是矩形的长还是对角线，再根据矩形中长、宽、对角线满足勾股定理的等量关系列方程，求解即可得到$k$的值。
【解析】
(1) 证明：在一元二次方程$x^2-(2k+1)x+k^2+k=0$中，
$a=1$，$b=-(2k+1)$，$c=k^2+k$，
则判别式$\Delta=b^2-4ac=[-(2k+1)]^2-4×1×(k^2+k)$
$=4k^2+4k+1-4k^2-4k$
$=1＞0$，
因此该一元二次方程总有两个不相等的实数根。
(2) 解：根据公式法解一元二次方程，可得
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{2k+1\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{2k+1\pm1}{2}$，
计算得两个根为$x_1=k$，$x_2=k+1$。
因为$k＜k+1$，结合题意可知$k$为矩形的长，$k+1$为矩形的对角线长，
已知矩形的宽为5，根据勾股定理可得：
$(k+1)^2=k^2+5^2$，
展开整理得$k^2+2k+1=k^2+25$，
化简得$2k=24$，
解得$k=12$。
【答案】
(1) 该一元二次方程总有两个不相等的实数根，证明成立；
(2) $k=12$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 公式法解一元二次方程
3. 勾股定理应用
【点评】
本题是代数与几何结合的基础综合题，既考查了一元二次方程的核心性质，又结合了矩形特征与勾股定理的几何知识，解题时需先通过代数方法得到方程根的表达式，再结合几何性质建立等量关系求解，重点考查基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.75
