11.小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A(餐厅)，B(客厅)，C(走廊)三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况.
(1)若小明任意按下一个开关，则能打开客厅灯的概率为.
(2)若小明任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯亮的概率是多少？请用画树状图法或列表法说明.

11.解:(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如下：

由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中客厅灯和走廊灯亮的结果有2种,$\therefore$正好客厅灯和走廊灯亮的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

【分析】
(1) 首先明确总共有3个开关，对应3种等可能的按压结果，其中打开客厅灯只有1种符合条件的结果，直接根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”计算即可。
(2) 这是两步不放回的概率问题，适合用树状图法列举所有等可能的结果：第一步先列出第一次按压开关的3种可能，第二步对应每种第一次的情况，列出按压剩余2个开关的可能，统计总结果数；再找出“正好客厅灯（B）和走廊灯（C）亮”的结果数，也就是两次按压的开关为B和C的情况，最后代入概率公式计算。
【解析】
解：(1) 任意按下一个开关，总共有A、B、C这3种等可能的结果，其中能打开客厅灯（对应开关B）的结果有1种，
∴ 能打开客厅灯的概率为 $\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图分析所有可能的按压情况：

由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中正好客厅灯（B）和走廊灯（C）亮的结果有2种（即按压开关组合为B、C或C、B），
∴ 正好客厅灯和走廊灯亮的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 画树状图如下：

正好客厅灯和走廊灯亮的概率为$\frac{1}{3}$。
【知识点】
概率公式，树状图法求概率
【点评】
本题属于概率的基础应用题型，第一问考查一步概率的直接计算，第二问考查两步不放回事件的概率求解，核心是要准确列举所有等可能的结果，再筛选符合要求的结果代入公式计算，掌握列表或树状图列举结果的方法是解题关键。
【难度系数】
0.7

12. 有同型号的A,B两把锁和同型号的a,b,c三把钥匙,其中a钥匙只能打开A锁,b钥匙只能打开B锁,c钥匙不能打开这两把锁.
(1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙,则取出c钥匙的概率为.
(2)从两把锁中随机取出一把锁,从三把钥匙中随机取出一把钥匙,求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率.

12.解:(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如下：

由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种,即Aa,Bb,$\therefore$取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

【分析】
(1) 第一问是一步随机试验的概率计算，首先明确所有等可能结果总数：从3把钥匙中随机取1把，总共有3种等可能的结果，取出c钥匙的符合条件的结果仅1种，直接根据古典概型概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$计算即可。
(2) 第二问是两步随机试验，先取锁再取钥匙，可通过树状图梳理所有等可能结果：第一步取锁有A、B共2种等可能结果，每种取锁结果对应第二步取钥匙有a、b、c共3种等可能结果，先算出总结果数，再筛选出“钥匙能打开锁”的符合条件的结果（取A锁配a钥匙、取B锁配b钥匙），最后代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 从a、b、c三把钥匙中随机抽取一把，共有3种等可能的结果，其中取出c钥匙的结果有1种，
因此取出c钥匙的概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 画树状图如下：

由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即(A,a)、(B,b)，
因此取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如下：

由树状图可知,共有6种等可能的结果,其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种,即Aa,Bb,$\therefore$取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.
【知识点】
1. 概率公式
2. 树状图法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，第一问是简单的一步概率计算，直接套用公式即可求解；第二问是两步试验的概率计算，通过树状图能清晰、无遗漏地罗列出所有等可能结果，再筛选符合条件的结果计算概率即可，解题核心是保证罗列的结果不重复、不遗漏。
【难度系数】
0.8

13.“综合与实践”是《义务教育数学课程标准(2022年版)》中四大学习领域之一，某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习，设置了“A.制作视力表”“B.猜想、证明与拓广”“C.池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格：

请根据以上信息解答下列问题：
(1)填空：$a=$，$b=$，$c=$.
(2)该校九年级学生共有500名，请估计选择“B.猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数.
(3)本次调查中，选择“A.制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率.

13.解:(1)0.1 16 0.4
(2)$500×0.4=200$(人).答:估计选择“B.猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数为200人.
(3)列表如下：

共有12种等可能的结果,其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种,$\therefore$恰好选到一名女生和一名男生的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

【分析】
(1) 先根据C项目的频数和对应频率计算出本次调查的总人数，再结合“频率=频数÷总人数”“各组频数之和等于总人数”“各组频率之和为1”的性质，分别计算a、b、c的值；
(2) 利用样本估计总体的思想，用九年级总人数乘以样本中选择B项目的频率，即可估算出全年级选择该项目的人数；
(3) 明确选择A项目的4人（3女1男），采用不放回列表的方式列出所有抽取2人的等可能结果，再统计恰好1女1男的结果数，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 本次调查的总人数为：$20÷0.5=40$（人）
则$a=4÷40=0.1$
$b=40-4-20=16$
$c=16÷40=0.4$
(2) 用样本中选择B项目的频率估计总体对应频率，可得：
$500×0.4=200$（人）
答：估计选择“B.猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数为200人。
(3) 对选择A项目的3名女生、1名男生列表如下：

由表可得，共有12种等可能的结果，其中恰好选到一名女生和一名男生的结果有6种，
$\therefore$恰好选到一名女生和一名男生的概率为$\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $0.1$；$16$；$0.4$
(2) 200人
(3) ，概率为$\frac{1}{2}$
【知识点】
频数与频率的关系；用样本估计总体；列表法求概率
【点评】
本题是统计与概率的基础综合题，考查了统计中核心量的计算、样本估计总体的思想，以及随机事件概率的求解方法，解题时需注意抽取是不放回的，避免重复计数。
【难度系数】
0.7